数与形思维拓展（单元练习）数学六年级上册人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 数与形思维拓展（单元练习）数学六年级上册人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-21 16:15:07 | ||
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文档简介
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数与形思维拓展（单元练习）数学六年级上册人教版
一、选择题
1．16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
2．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
3．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（ ）个点。
A．16 B．21 C．25 D．36
4．如下图，等边三角形的边长是1cm，第n个图形的周长是（ ）cm。
A．n B． C． D．
5．按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（ ）厘米。
A．50 B．55 C．95 D．100
6．找规律，第6幅图中共有（ ）个小正方形。
A．25 B．36 C．49 D．50
二、填空题
7．找规律：摆1个六边形用6根小棒，照这样摆下去，摆第17个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。
8．结合下面的图和算式，我发现：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )。
9．若，则n＝( )。
10．阳阳在桌面上用小正方体按下图方式摆放。请找规律并填空。
正方体个数\个 1 2 3 4 ……
露出的面数\个 5 8 ( ) ( ) …… ( )
11．请根据下图中的规律，按要求回答问题。
(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。
(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。
12．下图是小明用火柴搭成的1条、2条、3条“金鱼”，……则搭第m条“金鱼”需要火柴( )根。
13．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高( )cm，( )个杯子叠起来高55cm。
14．李叔叔早上跑步去离家6千米远的皂李湖锻炼，请根据折线统计图回答问题：
(1)如果李叔叔中途不休息，用( )分钟就可以跑到皂李湖。
(2)李叔叔在皂李湖休息了( )分钟才返回的。
(3)返回时，李叔叔是骑公共自行车的，他返回时骑车的平均速度是每小时( )千米。
三、解答题
15．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
16．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
17．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？
32－1＝8 42－22＝12 52－32＝16
18．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：
那么左下图表示的数字是（ ），在右下图中画出表示62的图。
19．观察日历找规律。
（1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？
（2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？
（3）你还能在日历中找到什么规律？
20．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
21．探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（ ）；
②（ ）。
参考答案：
1．C
【分析】观察几个图片，可以发现：任何一个大于1的“正方形数”正好等于每个正方形图中，每列点子个数的平方；“三角形数”等于相邻自然数相加的和，可分别总结出每个“正方形数”、“三角形数”的规律，并按此规律继续推理出几个“正方形数”、“三角形数”，再结合选项判断即可。
【详解】图一中：等号左边是4，就是22，也就是这个正方形每列的点子数的平方；等号右边是1＋3，是两个相邻“三角形数”之和，因此，可把1看作第一个“三角形数”，1＋2＝3，3就是第二个“三角形数”；
图二中：32＝9＝3＋6，9是“正方形数”，3是第二个“三角形数”，1＋2＋3＝6，6是第三个“三角形数”；
图三中：42＝16＝6＋10，16是“正方形数”，6是第三个三角形数，1＋2＋3＋4＝10，10是第四个“三角形数”；
以此类推：
图四中：应该是52＝25＝10＋15，25是“正方形数”，这里10是第四个“三角形数”，15是第五个“三角形数”；
图五中：应该是62＝36＝15＋21；
图六中：应该是72＝49＝21＋28；
……
A．13＝3＋10：13不是一个数的平方，也就不是“正方形数”，不合题意；
B．25＝9＋16：9、16都不是“三角形数”，不合题意；
C．36＝15＋21：36是6的平方，15和21是相邻的“三角形数”，符合题意；
D．49＝18＋31：18、31都不是“三角形数”，不合题意。
故答案为：C
【点睛】本题较为复杂，需要运用数形结合的思想，通过观察总结“三角形数”、“正方形数”的规律，并加以应用。
2．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
3．D
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个点，1＝12；
第2个图形有1＋3＝4个点，4＝22；
第3个图形有1＋3＋5＝9个点，9＝33；
……
第n个图形有n2个点；
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图形有n2个点；
当n＝6时，n2＝62＝36；
则第六个点阵中有36个点。
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
4．C
【分析】通过观察图形发现：第1个图形的周长是3cm；第2个图形的周长是4cm；第3个图形的周长是5cm；……。3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，……。由此发现规律：第n个图形的周长是（n＋2）cm。
【详解】第n个图形的周长比ncm多2cm，即第n个图形的周长是（n＋2）cm。
故答案为：C
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
5．B
【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。
【详解】第1个图形长10厘米，
第2个图形长15厘米，
第3个图形长20厘米，
……
所以第n个图形长：厘米
当n＝10时，
5＋5×10
＝5＋50
＝55（厘米）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
6．C
【分析】观察图可知：第①幅图是两行两列的摆放，小正方形的个数是2×2＝4；第②幅图是3行3列的摆放，小正方形的个数是3×3＝9；第③幅图是4行4列的摆放，小正方形的个数是4×4＝16；可得出规律：第几幅图，行数和列数都加1，计算出小正方形的个数即可。
【详解】6＋1＝7
7×7＝49（个）
第6幅图中共有49个小正方形。
故答案为：C
【点睛】首先认真观察，找到规律，是解决此题的关键。
7． 86 1＋5n
【分析】通过观察发现：摆1个六边形小棒的根数是6根，6＝1＋5；摆2个六边形小棒的根数是11根，11＝1＋5×2；摆3个六边形小棒的根数是16根，16＝1＋5×3；……由此发现规律：摆第几个图形需要的小棒的根数就是1加上5乘几，即摆第n个图形需要（1＋5n）根小棒。
【详解】1＋5×17
＝1＋85
＝86（根）
所以，摆第17个图形需要86根小棒，摆第n个图形需要（1＋5n）根小棒。
8．
【分析】观察第一个算式我们可以发现算式左边1＋3为两个连续的奇数相，右边等于22；第二个算式左边l＋3＋5为三个连续的奇数相加，右边等于32；第三个算式左边1＋3＋5＋7为四个连续的奇数相加，右边等于42。当正方形边长由n个相同小正方形的边长组成时，正方形中包含的小正方形总个数可以用算式l＋3＋5…（2n－l）＝n2来进行计算，据此解答。
【详解】由分析可得：大正方形的个数是小正方形的个数从1开始的差是2的等差数列几个项的和，小正方形的总个数等于等差数列项数的平方。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
9．89
【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝4
1＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝9
1＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16
……
1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝ []2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，据此求出n的值。
【详解】根据分析可知，[]2＝2025
（1＋n）2＝2025×4
（1＋n）2＝8100
（1＋n）2＝902
1＋n＝90
n＝90－1
n＝89
若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，则n＝89。
10． 11 14 3n＋2
【分析】观察可知，露出的面数＝正方体个数×3＋2，据此分析。
【详解】3×3＋2
＝9＋2
＝11（个）
4×3＋2
＝12＋2
＝14（个）
n×3＋2＝（3n＋2）个
正方体个数\个 1 2 3 4 ……
露出的面数\个 5 8 11 14 …… 3n＋2
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．(1)10
(2) 45 55
【分析】观察图形可知：
第1个图形：白色三角形有0个，黑色三角形有1个；
第2个图形：白色三角形有1个，1＝0＋1；黑色三角形有3个，3＝1＋2；
第3个图形：白色三角形有3个，3＝1＋2；黑色三角形有6个，6＝1＋2＋3；
第4个图形：白色三角形有6个，6＝1＋2＋3；黑色三角形有10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
第n个图形中白色三角形的个数：0＋1＋2＋3＋…＋（n－1）＝n（n－1）；
第n个图形中黑色三角形的个数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）；
据此规律解答。
【详解】（1）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个；
当n＝5时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×5×（5－1）
＝×5×4
＝10（个）
第5个图形中白色三角形的个数有10个。
（2）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个，黑色三角形有n（n＋1）个；
当n＝10时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×10×（10－1）
＝×10×9
＝45（个）
当n＝10时，黑色三角形有：
n（n＋1）
＝×10×（10＋1）
＝×10×11
＝55（个）
第10个图形中白色三角形的个数有45个，黑色三角形的个数有55个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12．6m＋2
【分析】观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭l条鱼，需要多用6根火柴，则搭m条“金鱼”需要火柴8＋6（m－1）＝（6m＋2）条， 据此即可解答问题。
【详解】根据分析得，每多搭一条金鱼，需要多用6根火柴。
8＋6×（m－1）
＝8＋6m－6
＝（6m＋2）根
所以搭m条金鱼需要火柴（6m＋2）根。
【点睛】此类题找规律的时候一定要注意结合图形进行发现规律。
13． 37 16
【分析】5个杯子比3个杯子多2两个，多出来了6 cm，所以增加一个杯子就增加3厘米，3个杯子总高度是16厘米，每增加一个杯子增加3厘米，所以第一个杯子的高度是10厘米，此后每增加一个杯子就增加3厘米，所以10个杯子的时候，是增加了9个3厘米，所以10个杯子的高度是10＋3×9，总高度是55厘米，也就是增加了45厘米，45里面有15个3厘米，所以在第一个杯子的基础上增加了15个杯子，因此一共有16个杯子。
【详解】22－16＝6（cm）
6÷2＝3（cm）
10＋3×9
＝10＋27
＝37（cm）
55－10＝45（cm）
45÷3＝15（个）
15＋1＝16（个）
所以10个杯子叠起来高37 cm，16个杯子叠起来高55cm。
【点睛】考查数与形的相关知识，重点要知道第一个杯子的高度是多少，每增加一个杯子高度增加多少。
14．(1)40
(2)40
(3)18
【分析】（1）观察折线统计图，李叔叔早上6：00出发，7：00到达皂李湖，共花费1小时，即60分钟，中途休息了60÷3＝20（分钟），所以如果中途不休息，用60－20＝40分钟就可以跑到皂李湖。
（2）7：00到达皂李湖，然后休息一段时间后返回，返回时间是8：00，共花费1小时，即60分钟，所以在皂李湖休息了60÷3×2＝40（分钟）才返回的。
（3）返回所花的时间是60－40＝20分钟，路程是6千米，根据路程÷时间＝速度，代入数据即可得解。
【详解】（1）7：00－6：00＝1（小时）
1小时＝60分钟
60÷3＝20（分钟）
60－20＝40（分钟）
即如果李叔叔中途不休息，用40分钟就可以跑到皂李湖。
（2）8：00－7：00＝1（小时）
1小时＝60分钟
60÷3×2＝40（分钟）
即李叔叔在皂李湖休息了40分钟才返回的。
（3）60－40＝20（分钟）
20分钟＝小时
6÷＝6×3＝18（千米/时）
即他返回时骑车的平均速度是每小时18千米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
15．（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
16．见详解
【分析】折线统计图中，横轴表示离家时间，纵轴表示离家距离，折线越陡表示走路速度越快，需要时间越短；折线越缓表示走路速度越慢，需要时间越长；折线与横轴平行时表示小兰或爸爸在健身房锻炼，据此解答。
【详解】表示小兰步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后跑步回到家中，用了5分钟；
表示妈妈步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后直接返回家里，用了20分钟；
表示爸爸步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后走回家中，用了15分钟。
【点睛】本题主要考查折线统计图，运用数形结合的思想明确折线统计图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
17．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。
【详解】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
18．20；画图见详解
【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。
【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；
62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：
【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。
19．（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）方框中9个数的和是中间数的9倍。
（3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。
（3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律：
如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26
＝33＋54＋75
＝162
＝18×9
答：方框中9个数的和是中间数的9倍。
（3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。
20．4；9；16；25
（1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。
（2）前n个奇数的和为n2；7396
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
21．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝4×5
（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【点睛】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
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数与形思维拓展（单元练习）数学六年级上册人教版
一、选择题
1．16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
2．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
3．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（ ）个点。
A．16 B．21 C．25 D．36
4．如下图，等边三角形的边长是1cm，第n个图形的周长是（ ）cm。
A．n B． C． D．
5．按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（ ）厘米。
A．50 B．55 C．95 D．100
6．找规律，第6幅图中共有（ ）个小正方形。
A．25 B．36 C．49 D．50
二、填空题
7．找规律：摆1个六边形用6根小棒，照这样摆下去，摆第17个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。
8．结合下面的图和算式，我发现：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝( )。
9．若，则n＝( )。
10．阳阳在桌面上用小正方体按下图方式摆放。请找规律并填空。
正方体个数\个 1 2 3 4 ……
露出的面数\个 5 8 ( ) ( ) …… ( )
11．请根据下图中的规律，按要求回答问题。
(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。
(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。
12．下图是小明用火柴搭成的1条、2条、3条“金鱼”，……则搭第m条“金鱼”需要火柴( )根。
13．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高( )cm，( )个杯子叠起来高55cm。
14．李叔叔早上跑步去离家6千米远的皂李湖锻炼，请根据折线统计图回答问题：
(1)如果李叔叔中途不休息，用( )分钟就可以跑到皂李湖。
(2)李叔叔在皂李湖休息了( )分钟才返回的。
(3)返回时，李叔叔是骑公共自行车的，他返回时骑车的平均速度是每小时( )千米。
三、解答题
15．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
16．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
17．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？
32－1＝8 42－22＝12 52－32＝16
18．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：
那么左下图表示的数字是（ ），在右下图中画出表示62的图。
19．观察日历找规律。
（1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？
（2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？
（3）你还能在日历中找到什么规律？
20．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。
前2个奇数的和：（ ）
前3个奇数的和：（ ）
前4个奇数的和：（ ）
前5个奇数的和：（ ）
……
（1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。
（2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。
21．探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝（ ）×（ ）
（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（ ）；
②（ ）。
参考答案：
1．C
【分析】观察几个图片，可以发现：任何一个大于1的“正方形数”正好等于每个正方形图中，每列点子个数的平方；“三角形数”等于相邻自然数相加的和，可分别总结出每个“正方形数”、“三角形数”的规律，并按此规律继续推理出几个“正方形数”、“三角形数”，再结合选项判断即可。
【详解】图一中：等号左边是4，就是22，也就是这个正方形每列的点子数的平方；等号右边是1＋3，是两个相邻“三角形数”之和，因此，可把1看作第一个“三角形数”，1＋2＝3，3就是第二个“三角形数”；
图二中：32＝9＝3＋6，9是“正方形数”，3是第二个“三角形数”，1＋2＋3＝6，6是第三个“三角形数”；
图三中：42＝16＝6＋10，16是“正方形数”，6是第三个三角形数，1＋2＋3＋4＝10，10是第四个“三角形数”；
以此类推：
图四中：应该是52＝25＝10＋15，25是“正方形数”，这里10是第四个“三角形数”，15是第五个“三角形数”；
图五中：应该是62＝36＝15＋21；
图六中：应该是72＝49＝21＋28；
……
A．13＝3＋10：13不是一个数的平方，也就不是“正方形数”，不合题意；
B．25＝9＋16：9、16都不是“三角形数”，不合题意；
C．36＝15＋21：36是6的平方，15和21是相邻的“三角形数”，符合题意；
D．49＝18＋31：18、31都不是“三角形数”，不合题意。
故答案为：C
【点睛】本题较为复杂，需要运用数形结合的思想，通过观察总结“三角形数”、“正方形数”的规律，并加以应用。
2．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
3．D
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个点，1＝12；
第2个图形有1＋3＝4个点，4＝22；
第3个图形有1＋3＋5＝9个点，9＝33；
……
第n个图形有n2个点；
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图形有n2个点；
当n＝6时，n2＝62＝36；
则第六个点阵中有36个点。
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
4．C
【分析】通过观察图形发现：第1个图形的周长是3cm；第2个图形的周长是4cm；第3个图形的周长是5cm；……。3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，……。由此发现规律：第n个图形的周长是（n＋2）cm。
【详解】第n个图形的周长比ncm多2cm，即第n个图形的周长是（n＋2）cm。
故答案为：C
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
5．B
【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。
【详解】第1个图形长10厘米，
第2个图形长15厘米，
第3个图形长20厘米，
……
所以第n个图形长：厘米
当n＝10时，
5＋5×10
＝5＋50
＝55（厘米）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
6．C
【分析】观察图可知：第①幅图是两行两列的摆放，小正方形的个数是2×2＝4；第②幅图是3行3列的摆放，小正方形的个数是3×3＝9；第③幅图是4行4列的摆放，小正方形的个数是4×4＝16；可得出规律：第几幅图，行数和列数都加1，计算出小正方形的个数即可。
【详解】6＋1＝7
7×7＝49（个）
第6幅图中共有49个小正方形。
故答案为：C
【点睛】首先认真观察，找到规律，是解决此题的关键。
7． 86 1＋5n
【分析】通过观察发现：摆1个六边形小棒的根数是6根，6＝1＋5；摆2个六边形小棒的根数是11根，11＝1＋5×2；摆3个六边形小棒的根数是16根，16＝1＋5×3；……由此发现规律：摆第几个图形需要的小棒的根数就是1加上5乘几，即摆第n个图形需要（1＋5n）根小棒。
【详解】1＋5×17
＝1＋85
＝86（根）
所以，摆第17个图形需要86根小棒，摆第n个图形需要（1＋5n）根小棒。
8．
【分析】观察第一个算式我们可以发现算式左边1＋3为两个连续的奇数相，右边等于22；第二个算式左边l＋3＋5为三个连续的奇数相加，右边等于32；第三个算式左边1＋3＋5＋7为四个连续的奇数相加，右边等于42。当正方形边长由n个相同小正方形的边长组成时，正方形中包含的小正方形总个数可以用算式l＋3＋5…（2n－l）＝n2来进行计算，据此解答。
【详解】由分析可得：大正方形的个数是小正方形的个数从1开始的差是2的等差数列几个项的和，小正方形的总个数等于等差数列项数的平方。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
9．89
【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝4
1＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝9
1＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16
……
1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝ []2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，据此求出n的值。
【详解】根据分析可知，[]2＝2025
（1＋n）2＝2025×4
（1＋n）2＝8100
（1＋n）2＝902
1＋n＝90
n＝90－1
n＝89
若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，则n＝89。
10． 11 14 3n＋2
【分析】观察可知，露出的面数＝正方体个数×3＋2，据此分析。
【详解】3×3＋2
＝9＋2
＝11（个）
4×3＋2
＝12＋2
＝14（个）
n×3＋2＝（3n＋2）个
正方体个数\个 1 2 3 4 ……
露出的面数\个 5 8 11 14 …… 3n＋2
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．(1)10
(2) 45 55
【分析】观察图形可知：
第1个图形：白色三角形有0个，黑色三角形有1个；
第2个图形：白色三角形有1个，1＝0＋1；黑色三角形有3个，3＝1＋2；
第3个图形：白色三角形有3个，3＝1＋2；黑色三角形有6个，6＝1＋2＋3；
第4个图形：白色三角形有6个，6＝1＋2＋3；黑色三角形有10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
第n个图形中白色三角形的个数：0＋1＋2＋3＋…＋（n－1）＝n（n－1）；
第n个图形中黑色三角形的个数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）；
据此规律解答。
【详解】（1）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个；
当n＝5时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×5×（5－1）
＝×5×4
＝10（个）
第5个图形中白色三角形的个数有10个。
（2）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个，黑色三角形有n（n＋1）个；
当n＝10时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×10×（10－1）
＝×10×9
＝45（个）
当n＝10时，黑色三角形有：
n（n＋1）
＝×10×（10＋1）
＝×10×11
＝55（个）
第10个图形中白色三角形的个数有45个，黑色三角形的个数有55个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12．6m＋2
【分析】观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭l条鱼，需要多用6根火柴，则搭m条“金鱼”需要火柴8＋6（m－1）＝（6m＋2）条， 据此即可解答问题。
【详解】根据分析得，每多搭一条金鱼，需要多用6根火柴。
8＋6×（m－1）
＝8＋6m－6
＝（6m＋2）根
所以搭m条金鱼需要火柴（6m＋2）根。
【点睛】此类题找规律的时候一定要注意结合图形进行发现规律。
13． 37 16
【分析】5个杯子比3个杯子多2两个，多出来了6 cm，所以增加一个杯子就增加3厘米，3个杯子总高度是16厘米，每增加一个杯子增加3厘米，所以第一个杯子的高度是10厘米，此后每增加一个杯子就增加3厘米，所以10个杯子的时候，是增加了9个3厘米，所以10个杯子的高度是10＋3×9，总高度是55厘米，也就是增加了45厘米，45里面有15个3厘米，所以在第一个杯子的基础上增加了15个杯子，因此一共有16个杯子。
【详解】22－16＝6（cm）
6÷2＝3（cm）
10＋3×9
＝10＋27
＝37（cm）
55－10＝45（cm）
45÷3＝15（个）
15＋1＝16（个）
所以10个杯子叠起来高37 cm，16个杯子叠起来高55cm。
【点睛】考查数与形的相关知识，重点要知道第一个杯子的高度是多少，每增加一个杯子高度增加多少。
14．(1)40
(2)40
(3)18
【分析】（1）观察折线统计图，李叔叔早上6：00出发，7：00到达皂李湖，共花费1小时，即60分钟，中途休息了60÷3＝20（分钟），所以如果中途不休息，用60－20＝40分钟就可以跑到皂李湖。
（2）7：00到达皂李湖，然后休息一段时间后返回，返回时间是8：00，共花费1小时，即60分钟，所以在皂李湖休息了60÷3×2＝40（分钟）才返回的。
（3）返回所花的时间是60－40＝20分钟，路程是6千米，根据路程÷时间＝速度，代入数据即可得解。
【详解】（1）7：00－6：00＝1（小时）
1小时＝60分钟
60÷3＝20（分钟）
60－20＝40（分钟）
即如果李叔叔中途不休息，用40分钟就可以跑到皂李湖。
（2）8：00－7：00＝1（小时）
1小时＝60分钟
60÷3×2＝40（分钟）
即李叔叔在皂李湖休息了40分钟才返回的。
（3）60－40＝20（分钟）
20分钟＝小时
6÷＝6×3＝18（千米/时）
即他返回时骑车的平均速度是每小时18千米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
15．（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
16．见详解
【分析】折线统计图中，横轴表示离家时间，纵轴表示离家距离，折线越陡表示走路速度越快，需要时间越短；折线越缓表示走路速度越慢，需要时间越长；折线与横轴平行时表示小兰或爸爸在健身房锻炼，据此解答。
【详解】表示小兰步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后跑步回到家中，用了5分钟；
表示妈妈步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后直接返回家里，用了20分钟；
表示爸爸步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后走回家中，用了15分钟。
【点睛】本题主要考查折线统计图，运用数形结合的思想明确折线统计图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
17．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。
【详解】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
18．20；画图见详解
【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。
【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；
62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：
【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。
19．（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）方框中9个数的和是中间数的9倍。
（3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。
（3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律：
如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。
（2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26
＝33＋54＋75
＝162
＝18×9
答：方框中9个数的和是中间数的9倍。
（3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。
【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。
20．4；9；16；25
（1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。
（2）前n个奇数的和为n2；7396
【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律；
（1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答；
（2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。
【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4）
前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9）
前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16）
前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25）
（1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。
（2）前n个奇数的和的规律为：n2
当n＝86，86×86＝7396
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。
21．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）
……
①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝4×5
（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【点睛】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
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