2024湘教版数学七年级下册--专项素养综合全练(四)分解因式的五种方法（含解析）

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2024湘教版数学七年级下册
第3章　因式分解
专项素养综合全练(四)分解因式的五种方法
　　　　　　　　　　　　　　　　
方法一　提公因式法
1.将下列各式分解因式.
(1)-8x4y+6x3y2-2x3y;
(2)2m(m-n)2-8m2(n-m).
方法二　公式法
2.将下列各式分解因式.
(1)(2023江西宜春月考)a2(x-y)+b2(y-x).
(2)(2023湖南娄底涟源期末)(a-b)(3a+b)2+(a+3b)2(b-a).
(3)(2023湖南衡阳南岳实验学校期中)(x2-1)2+6(1-x2)+9.
(4)【一题多解】(a2+1)2-4a2.
方法三　分组分解法
3.观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解:
甲:x2-xy+4x-4y
=(x2-xy)+(4x-4y)
=x(x-y)+4(x-y)
=(x-y)(x+4).
乙:a2-b2-c2+2bc
=a2-(b2+c2-2bc)
=a2-(b-c)2
=(a+b-c)(a-b+c).
请你在他们解法的启发下,把下列各式分解因式:
(1)m3-2m2-4m+8.
(2)x2-2xy+y2-9.
方法四　十字相乘法
4.【过程性学习试题】“十字相乘法”能把二次三项式因式分解,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,分解的关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1·a2,把y2项的系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1·c2,并使a1·c2+a2·c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
例:分解因式:x2-2xy-8y2.
解:如图,其中1=1×1,-8=(-4)×2,-2=1×2+1×(-4),∴x2-2xy-8y2=(x-4y)(x+2y).
请同学们通过阅读上述材料,将下题分解因式:
(1)x2-5x+6;
(2)6x2+xy-2y2.
方法五　换元法
5.阅读材料:
因式分解:x4+(2y+4)x2+y2+4y+4.
分析:题中y2+4y+4=(y+2)2,把x2,y+2分别看成u,v,再用公式法分解因式,即可得出结果.
解:设x2=u,y+2=v,则原式=u2+2uv+v2=(u+v)2=(x2+y+2)2.
像这样因式分解的方法叫做换元法.
请你参照上述方法因式分解:
(x-3)(x-2)(x+6)(x+9)+4x2.
专项素养综合全练(四)
分解因式的五种方法
1.解析　(1)原式=-2x3y(4x-3y+1).
(2)原式=2m(m-n)[(m-n)+4m]
=2m(m-n)(5m-n).
2.解析　(1)原式=a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b).
(2)原式=(a-b)[(3a+b)2-(a+3b)2]
=(a-b)[9a2+b2+6ab-(a2+9b2+6ab)]
=(a-b)(8a2-8b2)
=8(a-b)(a2-b2)
=8(a-b)2(a+b).
(3)原式=(x2-1)2-6(x2-1)+9=(x2-1-3)2=(x-2)2(x+2)2.
(4)解法一:原式=(a2+1-2a)(a2+1+2a)=(a-1)2·(a+1)2.
解法二:原式=a4+2a2+1-4a2=a4-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
3.解析　(1)原式=m2(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m+2).
(2)原式=(x-y)2-9=(x-y+3)(x-y-3).
4.解析　(1)如图,
其中1=1×1,6=(-2)×(-3),-5=1×(-3)+1×(-2),∴x2-5x+6=(x-2)(x-3).
(2)如图,
其中6=2×3,-2=(-1)×2,1=2×2+3×(-1),
∴6x2+xy-2y2=(2x-y)(3x+2y).
5.解析　(x-3)(x+6)=x2+3x-18,(x-2)(x+9)=x2+7x-18,
设A=x2+3x-18,则原式=A(A+4x)+4x2=A2+4Ax+4x2=(A+2x)2=(x2+5x-18)2.
方法解读　对于一些较繁较难的数学问题,进行巧妙的换元,可达到事半功倍的效果.
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