江苏省苏州市苏州高新区重点中学教育集团2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版含解析）

苏州高新区第一中学教育集团 2023-2024 学年第一学期
12 月自主学习独立作业
高二年级 数学
（总分 150 分 时间 120 分钟 ）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知向量a

1, 3, 2 ,b 3,2, 5 ，则下列结论正确的是（ ）
A a

． //b B．a b C． a b 2, 5, 3 D． a 14
2．抛物线 x2 16y的焦点到点 2,5 的距离为（ ）
A．2 B． 5 C． 7 D．4
3．设等比数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a2 2，且 a2，a3， a4 2成等差数列，则 S4 （ ）
A．7 B．12 C．15 D．31
4．设 a R，则“ a 1”是“直线 a 1 x ay 3 0与直线 2ax y 5 0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图，在四面体OABC 中，OA a,OB b ,OC c．点M 在OA上，且
OM 2MA,N 为BC中点，则MN等于（ ）
1 2 1 2 1 1
A. a b c B. a b c
2 3 2 3 2 2
1 a 1 b 1 2 2
1
C. c D. a b c
2 2 2 3 3 2
6. 折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，
内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为 1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对
折 5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ）
1
A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.
8 8 8 8
2 2
7．已知F 为椭圆 C x y： 1 a b 0 的右焦点，P为 C上的动点，过 F且垂直于 x轴的直线与 C
a2 b2
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交于 M，N两点，若 MN 等于 PF 的最小值的 3倍，则 C的离心率为（ ）
1
A. B. 1 C. 32 D.
3
3 3 2
8. 已知过点 A 3,0 的直线与抛物线C：y2 12x相交于M，N两点，F为抛物线C的焦点，若 MF 2 NF ，
则 MF （ ）
9
A. B. 9 C. 8 D. 16
2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 对于直线 l：mx y 2m 0，下列说法正确的是（ ）
A. l的斜率一定存在 B. l恒过定点 2,0
C. m 3 时，l的倾斜角为 60° D. m 2时，l不经过第二象限
10. 等差数列 an 中，a1 1，公差 d 1,2 ，且 a3 a9 a15 15，则实数 的可能取值为（ ）
1 19 3
A. B. C. D.
3 217 2
11. 已知点 P在圆O : x2 y2 4上，点 A 3,0 ， B 0,4 ，则（ ）
A. 满足 AP BP的点 P有且只有 1个
22
B. 点 P到直线 AB的距离最大值为
5
C. 点 A,B到直线 l的距离分别为 2和 3，这样的直线恰好有三条
D. 圆 O被过 AB中点的直线m截得的弦长为 7 ，则直线m的方程为14x 48y 75 0
x2 y212.已知 F1， F2分别为椭圆C : 1的左、右焦点， P为椭圆上任意一点（不在 x轴上），△PF F 外接16 12 1 2
圆的圆心为H，半径为 R，△PF1F2 内切圆的圆心为 I ，半径为 r，直线PI交 x轴于点M ，O为坐标原点，
则（ ）
S 3
PI 2
A
8
． PF1F2 最大时， r B． PH PO的最小值为8 C． PM 3 D． R r的取值范围为
2,
3 3
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 已知抛物线 y2 4x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点A， B两点，若 | AF | 4，则点A的坐标为
_________．
14. 圆 x2 y2 4 0与圆 x2 y2 4x 4y 12 0的公共弦的长为_________．
15．已知数列 a nn 满足 an 2 ，在 an 和 an 1之间插入 n个 1，构成数列 bn : a1,1,a2 ,1,1,a3,1,1,1, a4, ，则数列
bn 的前 20项的和为 .
x2 y2
16.已知双曲线 C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 Fa b 1
， F2．点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上，
2
F1A F1B， F2A F2B，则C 的离心率为 ．3
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．第 17 题 10 分，其他每题 12 分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17. 已知三角形的三个顶点是 A 4,0 ， B 6,5 ，C 0,3 ，边 BC上的高所在直线为 l．
（1）求直线 l的方程；（2）求直线 l关于点 B对称的直线 l 的方程．
18. 已知等差数列 an 中，前n项和为 Sn，已知 a1 a3 6，a6 11 .
1
（1）求 Sn；（2）设bn a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn .n n 1
19. 已知动点 P(x, y)与两定点 A( 1,0)， B(2,0) 1的距离的比为 2 .
（1）求动点 P的轨迹方程并说明是什么图形；（2）过点 B作直线 l，l与点 P的轨迹C相交于M 、N 两点，
已知Q( 2,0) S 4 2，若 MNQ ，求直线 l的方程.3
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20. 已知数列 an a
a
满足 2
1 1 1
1
a
n n，T ．
3 2n 1 n a1a2 a2a3 anan 1
（1）求数列 an 的通项公式；（2）若 Tn an 49对任意 n N*恒成立，求实数 的取值范围．
21.已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5，0)，离心率为 5 ．
（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点 ( 4,0)的直线与C 的左支交于M，N 两点，
M在第二象限，直线MA1 与NA2 交于 P ，证明 P 在定直线上．
22. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 O： x2 y2 1，点 F 2,0 ，以线段 FG为直径的圆与圆 O相切，
记动点 G的轨迹为 W．
（1）求 W的方程；（2）设点 M在 x轴上，点 N 0,1 ，在 W上是否存在两点 A，B，使得当 A，B，N三
点共线时， ABM 是以 AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点 M的坐标和直线 AB的方程；若不
存在，请说明理由．
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苏州高新区第一中学教育集团
高二数学 12 月独立作业试卷 2023.12.19（详细解答）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知向量a

1, 3, 2 ,b 3,2, 5 ，则下列结论正确的是（ ）
A．a//b B． a b C． a b 2, 5,

3 D． a 14

【答案】D 【详解】因 a

1, 3, 2 ,b 3,2, 5 ，

对于 A选项，由 a b可得： 1, 3, 2 3,2, 5 ，易知 的值不存在；

对于 B选项，由a b 3 ( 6) 10 7 0 可知 a b不成立；

对于 C选项， a b 1, 3, 2 3,2, 5 ( 2, 5,3) ( 2, 5, 3) ；
对于 D选项， | a | 12 ( 3)2 ( 2)2 14. 故选：D.
2．抛物线 x2 16y的焦点到点 2,5 的距离为（ ）
A．2 B． 5 C． 7 D．4
【答案】B 【详解】抛物线 x2 16y 2的焦点为 F 0,4 ，点 2,5 到焦点距离 d 22 5 4 5 .选：B
3．设等比数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a2 2，且 a2，a3， a4 2成等差数列，则 S4 （ ）
A．7 B．12 C．15 D．31
【答案】C【详解】设公比为 q q 0 ，因为 a2，a3， a4 2成等差数列，所以 2a3 a2 a4 2，
2 2q 2 2q2 2 q= 2 1 2
4
则 ，解得： 或 0（舍去）.因为 a2 2，所以 a1 1，故 S4 15 .故选：C1 2
4．设 a R，则“ a 1”是“直线 a 1 x ay 3 0与直线 2ax y 5 0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A 【详解】因为直线 (a 1)x ay 3 0与直线 2ax y 5 0平行的充要条件是 a 1 2a2且
5(a 1) 6a 1，解得 a 1或 a ．所以由充分必要条件的概念判断可知：“a 1”是“直线
2
a 1 x ay 3 0与直线 2ax y 5 0平行”的充分不必要条件，故选：A

5． 如 图，在四面体OABC

中，OA a,OB b ,OC c．点M 在OA上，且OM 2MA,N 为 BC中点，
则MN等于（ ）
1 a 2

b 1 c 2 a 1

b 1 c 1 a 1

b 1 2 2
1
A. B. C. c D. a b c
2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2
【答案】B
1 2 【详解】连接ON ,MN ON OM 2 1 1 OB OC OA a b c．2 3 3 2 2
故选：B.
6. 折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族
的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为 1的等腰直角三
角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折 5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则
可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ）
1
A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D. 【答案】A
8 8 8 8
2 2
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为 ，公比为 ，故对折 5
2 2
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5
2 2
次后，得到腰长为
2 1
等腰直角三角形，斜边长为 2 ，
2 8 8 4
2
1 2 1 1 2 2
设该等腰直角三角形的内切圆半径为 r，则由等面积法可得 r，解得2 8 2

4 8 8
r 2 1 . 故选：A.
8
2 2
7．已知 F x y为椭圆 C： 的右焦点，P为 C上的动点，过 F且垂直于 x轴的直线与 C
a2
2 1 a b 0 b
交于 M，N两点，若 MN 等于 PF 的最小值的 3倍，则 C的离心率为（ ）
1
A. B. 1 C. 3 D. 3
3 2 3 2
x2 y2
【答案】B 【详解】 F 为椭圆 C： 1 a b 0 的右焦点，P为 C上的动点，
a2 b2
2b2
由椭圆的性质，可得 PF a c 的min . 过 F且垂直于 x轴 直线与 C交于 M，N两点， MN .a
2
MN 等于 PF 的最小值的 3 2b倍， 3 a c .
a
2 2
2 2 2椭圆中 a2 b2 c2， 2 a c 3a 3ac，即 2c2 3ac a2 2c 3ac a 0，则 .
a2
0
a2 a2
e c 1 ， 2e2 3e 1 0，解得 e 或e 1（舍）.故选：B.
a 2
8. 已知过点 A 3,0 的直线与抛物线C：y2 12x相交于M，N两点，F为抛物线C的焦点，若 MF 2 NF ，
则 MF 9（ ）A. B. 9 C. 8 D. 16 【答案】B
2
【详解】如图，过M 作直线 x 3的垂线，垂足为M1，过 N 作直线 x 3的垂线，垂足为N1
设直线MN : y k(x 3),M x1, y1 ,N x2 , y2
y2 12x 2 2 2 2
所以 k x 6k 12 x 9k 0， 0得 k 2 1，
y k x 3
2
x x 6k 12 12则 1 2 6 ①， x1x2 9②k 2 k 2
由抛物线的定义可得 MF MM1 x1 3, NF NN1 x2 3，由 MF 2 NF 可得 x1 2x2 3③
2 8 3
联立①②③可得： k , x1 6, x2 所以MF x1 3 9 .故选：B.9 2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 对于直线 l：mx y 2m 0，下列说法正确的是（ ）
A. l的斜率一定存在 B. l恒过定点 2,0
C. m 3 时，l的倾斜角为 60° D. m 2时，l不经过第二象限
【答案】ABD 【详解】直线 l方程为mx y 2m 0，斜率为 m，一定存在，A正确；
2m 0 2m 0，所以直线过点 (2,0)，B正确；
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m 3 时斜率为 3，倾斜角为120 ，C错误；
m 2时，直线方程为 2x y 4 0，即 y 2x 4，斜率是 2，为正，与坐标轴的交点分别是 (2,0)和
(0, 4)，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确，故选：ABD．
10. 等差数列 an 中， a1 1，公差 d 1,2 ，且 a3 a9 a15 15，则实数 的可能取值为（ ）
1 19 3
A. B. C. D.
3 217 2
【答案】AB 【详解】因为等差数列 an 中， a1 1，且 a3 a9 a15 15，
1 2d (1 8d ) 1 14d 15 13 16d
2 1 8d 15 15
所以 ，整理得 2 ，
1 8d 1 8d 1 8d
因为 d 1,2 15 15 15 ，所以1 8d 9,17 ， , ，
1 8d 17 9
2 15 19 1所以 , 1 19 ，所以实数 的可能取值为 ， ．故选：AB．1 8d 17 3 3 17
11. 已知点 P在圆O : x2 y2 4上，点 A 3,0 ， B 0,4 ，则（ ）
A. 满足 AP BP的点 P有且只有 1个
22
B. 点 P到直线 AB的距离最大值为
5
C. 点 A,B到直线 l的距离分别为 2和 3，这样的直线恰好有三条
D. 圆 O被过 AB中点的直线m截得的弦长为 7 ，则直线m的方程为14x 48y 75 0
【答案】BC
3
【详解】A选项， AB中点坐标为 , 2 ， AB 5，
2
2 2
AB 3 2 5
5
所以以 为直径的圆的方程为 x y 2 ，半径为 ，
2 2 2
0,0 3 9 5与 , 2 的距离为 4 ，
2 4 2
5 5 5 2 2
2 2 3 2 5 ，所以圆 x y 2 与圆 x2 y2 4相交，2 2 2 2 2
所以足 AP BP的点 P有 2个，所以 A选项错误.
x y
B选项，直线 AB的方程为 1,4x 3y 12 0，
3 4
0,0 12到直线4x 3y 12 0的距离为 2，
5
12 22
所以点 P到直线 AB的距离最大值为 2 ，所以 B选项正确.
5 5
C选项，以A为圆心，半径为 2作圆；以 B为圆心，半径为3作圆；如下图所
示，
AB 5 2 3，所以两圆外切，公切线有3条，
所以点 A,B到直线 l的距离分别为 2和 3，这样的直线恰好有三条，C选项正确
高二数学参考答案 第 1页 共 9 页
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3
D选项， AB中点坐标为 , 2

，
2

3 x
3
1

x
3
2 x 2 2
由 2 解得 或 ，
x
2 y2 4 y 7 7 y 1 2 2

2
所以直线 x 3 与圆O相交所得弦长为 7 ，所以 D选项错误.故选：BC2
2
12. x y
2
已知 F1， F2分别为椭圆C : 1的左、右焦点， P为椭圆上任意一点（不在 x轴上），△PF1F2外接16 12
圆的圆心为H，半径为 R，△PF1F2 内切圆的圆心为 I ，半径为 r，直线PI交 x轴于点M ，O为坐标原点，
则（ ）
S 3
PI 2
A
8
． PF1F2 最大时， r B． PH PO的最小值为8 C． PM 3 D． R r的取值范围为
2,
3 3
2 2
【答案】BCD 【详解】由C : x y 1，得 a 4，b 2 3，c 2，
16 12
A选项：设 P x, y ，则 4 x 4， 2 3 y 2 3，
S 1 PF F F1F2 y c y 2 y ，所以当点 P在短轴端点时，面积最大1 2 2
值为 4 3，此时由内切圆性质可知
S 1 PF F r PF PF F F 1 r 2 a 2 c 6 r，1 2 2 1 2 1 2 2
S 2 3
则 r PF1F2 ，A选项错误；设 PF1 m， PF2 n，则6 3
m n 2a 8，
B选项：如图所示，设 PF1中点为G，则GH PF1，所以
1 1 1 PH PO PH PF1 PF2 PH PF PH PF，2 2 1 2 2
又 PH PF1 PG GH
2
PF1 PG PF
1 1 2 1
1 PF1 m ，同理 PH PF2 n
2
，
2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 m n
2

所以 PH PO 1 2 mn m n 2 2 4 4 4 2 4 2 2 8，当且仅
PH PF PH PF m n m n

当m n时，等号成立，B选项正确；
PI PF1 PF2 PI PF1 PF2 2a aC选项：设PI与 F1F2交于点M ，由角分线定理可知 2IM F1M F M
，即
2 IM F1M
，
F2M 2c c
PI 2
即 PI 2 IM ，所以 PM 3 IM ，所以 PM 3，C选项正确；
F F 2
D 4选项：设 F1PF2 ，由正弦定理得 2R 1 2 ，即 R ，sin sin sin
m2 n2 2c 2 m n 2 4c2
由余弦定理得 cos 24 1 1 ，
2mn 2mn mn
mn 24 mn m n
2
则 ，且 16，即 cos
1
，当且仅当m n时取等号，
cos 1 2 2
cos 1 ,1 S 1mn sin 12sin 所以 ， ， 2 PF1F2 2 cos 1
高二数学参考答案 第 1页 共 9 页
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S
r PF1F2 2sin
4
所以 ，则 R r 2,
8
，D选项正确；故选：BCD.6 cos 1 cos 1 3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 已知抛物线 y2 4x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点A， B两点，若 | AF | 4，则点A的坐标为
_________．【答案】 3, 2 3 或 3, 2 3
【详解】如图所示，F（1，0）．∵|AF|＝4，∴xA+1＝4，解得 xA＝3．
代入抛物线方程可得 yA 2 3，或 yA 2 3．故点A的坐标为 3, 2 3
或 3, 2 3 ，故答案为 3, 2 3 或 3, 2 3
14. 圆 x2 y2 4 0 与圆 x2 y2 4x 4y 12 0 的公共弦的长为
_________．
【答案】2 2【详解】将圆 x2 y2 4 0与圆 x2 y2 4x 4y 12 0
的方程作差可得 x y 2 0 ，所以，两圆相交弦所在直线的方程为
x y 2 0，
圆 x2
2
y2 4 0的圆心为原点O，半径为 r 2，原点O到直线 x y 2 0的距离为 d 2，所
2
以，两圆的公共弦长为 2 r2 d 2 2 2 .故答案为：2 2 .
15．已知数列 a 满足 a 2nn n ，在 an 和an 1之间插入 n个 1，构成数列 bn : a1,1,a2 ,1,1,a3,1,1,1,a4 , ，则数列
bn 的前 20项的和为 .
【答案】77【解析】在 an ,an 1之间插入 n个 1，构成数列 bn : a1,1,a2 ,1,1,a3,1,1,1,a4 , ，
n 1 1 n 1所以共有 n 1 2 n 1 n
1
n2 n2 2 个数，
1 1
当 n 5时， 52 5 15，当 n 6时， 62 6 21，2 2
2 1 25
由于 an 2
n ，所以 S a a a 20 5 1 15 77 .故答案为：77 .20 1 2 5 1 2
2
C : x y
2
16.已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2．点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上，a b
2
F1A F1B， F2A F2B，则C 的离心率为 ．3
16 3 5．【答案】 ．【解析】（法一）如图，设 F1( c,0)， F2(c,0)，B(0,n)，5
2
x c c
设 A(x,y) 2 5 2，则 F2A (x c, y),F2B ( c,n)
3
，又 F2A F2B，则 ，可得 A( c, n)，3 y 2 n 3 3
3
8 2
又 F1A F1B，且 F1A ( c, n),F
8 2 2 2 2 2
3 3 1
B (c,n)，则 F1A F1B c n 0，化简得 n 4c ．3 3
25 c2 4 n2 25c2 4n2 25c2 16c2
又点 A 2 2在 C 上，则 9 2
9
2 1，整理可得 2 2 1，代 n 4c ，可得 2 2 9 ，即a b 9a 9b a b
2 9 1
25e2 16e 9 2 3 52 ，解得 e 或 （舍去），故 e ．e 1 5 5 5
高二数学参考答案 第 1页 共 9 页
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2 | F A | 2 （法二）由 F2A F2B，得 2 ，设 | F2A | 2t,| F2B | 3t，由对称性可得 | F1B | 3t，3 | F2B | 3

则 | AF1 | 2t 2a,| AB | 5t，设 F1AF2 ，则 sin
3t 3 cos 4 2t 2a ，所以 ，
5t 5 5 5t
解得 t a ，所以 | AF1 | 2t 2a 4a,| AF2 | 2a ，在△ AF1F2 中，由余弦定理可得
2
cos 16a 4a
2 4c2 4
22 ，即5c 9a
2 3 5
，则 e ．
16a 5 5
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．第 17 题 10分，其他每题 12分，解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
17. 已知三角形的三个顶点是 A 4,0 ， B 6,5 ，C 0,3 ，边 BC上的高所在直线为 l．
（1）求直线 l的方程；（2）求直线 l关于点 B对称的直线 l 的方程．
1 1
【详解】（1）因为点 B 6,5 ，C 0,3 ，所以 kBC ，因为 l BC，所以 kl 3，且直线 l经3 kBC
过点 A 4,0 ，所以直线 l的方程为 y 3(x 4)，即3x y 12 0．
（2）设直线 l 的方程为3x y m 0 m 12 ，由点B 6,5 到直线 l和直线 l 的距离相等，
3 6 5 12 3 6 5 m
所以 ，解得m 34，所以直线 l 的方程为3x y 34 0．
10 10
18. 已知等差数列 an 中，前n项和为 Sn，已知 a1 a3 6，a6 11 .
1
（1）求 Sn；（2）设bn ba a ，求数列 n 的前 n项和Tn .n n 1
2a 2d 6 a 1
【详解】（1）设公差为d ，由 a1 a3 6， a6 11
1 1
，得 ，解得a 5d 11
，
1 d 2
a 1 2n 1 n所以 2n 2n 1，故 Sn n ；2
1 1 1 1 1
（2）由（1）得bn anan 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
，

T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n所以 n
1 .
2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
19. 1已知动点 P(x, y)与两定点 A( 1,0)， B(2,0)的距离的比为 2 .
（1）求动点 P的轨迹方程并说明是什么图形；（2）过点 B作直线 l，l与点 P的轨迹C相交于M 、N 两点，
已知Q( 2,0) S 4 2，若 MNQ ，求直线 l的方程.3
【详解】（1）解：由动点 P(x, y)与两定点 A( 1,0)， B(2,0) 1的距离的比为 2 ，
可得 x 1 2 y 0 2 1 x 2 2 y 0 2 2，整理得 x2 y2 4x 0， 即
2 x 2 y
2 4，
所以动点 P是以 2,0 为圆心，2为半径的圆.
（2）解法一：由题意知 l的斜率一定存在且不等于 0，设直线 l： y k x 2 ，即 kx y 2k 0，
2k 2k 4 k 2 2
点 Q到 l的距离 d 16k 4 12k，则弦长为
2 2 MN 2 r
2 d 2 2 4 2 ，
k 1 k 1 k 2 1 k 2 1
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2 4 k
因为 S 1△MNQ MN d
4 2 4 12k
，所以 2 ，2 3 k 1 k 2 1
2 1 2 1 5 11
化简得55k 4 16k 2 1 0，解得 k 或 k ，所以
5 11 k
或 k ，
5 11
所以直线 l的方程为 x 5y 2 0或 x 11y 2 0 .
方法二：由题意知 l的斜率一定存在且不等于 0，设直线 l：x ty 2 , 且点M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
x ty 2
联立方程 ，整理得 (t 22 2 1)y
2 8ty 12 0 ，
x 2 y 4
64t2 48 t2 1 0 2 y 8t 12所以 ，即 t 3，且 1 y2 t 2 , y 1 1y2 2 ，t 1
S S S 1 BQ y y 2 (y y )2 4y y 2 16t
2 48 8 t2 3
则
MNQ ， BQM BQN 1 2 2
1 2 1 2 t2 1 t2 1
2
因为 S 4 2 8 t 3 4 2 MNQ ，所以 ，化简得 t
4
2 16t
2 55 0，解得 t 2 5
3 t 1 3
或 t2 11，所以 t 5或 t 11，所以直线 l的方程为 x 5y 2 0或
x 11y 2 0 .
1 1 120. 已知数列 an 满足 a
a2 a
1 n n，Tn 3 2n 1 a1a2 a2a3 anan 1
（1）求数列 a *n 的通项公式；（2）若 Tn an 49对任意 n N 恒成立，求实
数 的取值范围．
a a a a
【详解】（1）解：由数列 a 满足 a 2 nn 1 n，当 n 2时，可得 a 21 n 1 n 1，3 2n 1 3 2n 3
a
两式相减，可得 n 1，即 a 2n 1，又由 n 1时，可得 a 1，适合上式，
2n 1 n 1
所以数列 an 的通项公式 an 2n 1.
1 1 1 1 1
（2）解：由（1）知 an 2n 1，可得 ( )anan 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
，
T 1 1 1 1[(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1所以 n )]a1a2 a2a3 anan 1 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
1
(1 1 ) n ，因为 Tn an 49
n
对任意 n N*恒成立，即 2n 48对任意n N*恒
2 2n 1 2n 1 2n 1
(2n 48)(2n 1)成立，即 对任意 n N*恒成立，
n
f x (2x 48)(2x 1)
2
令 , x 0 4x 98x 48 48，即 f x 4x 98，x x x
可得函数 f x 在区间 (0, 2 3)上单调递减，在区间 (2 3, )上单调递增，
又由 f 3 126， f 4 126 (2n 48)(2n 1)，所以 的最小值为126，可得 126，
n
所以实数 的取值范围为 ( ,126] .
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21.已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5，0)，离心率为 5 ．
（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点 ( 4,0)的直线与C 的左支交于M，N 两点，
M在第二象限，直线MA1 与NA2 交于 P ，证明 P 在定直线上．
21.【解析】（1）双曲线C 中心为原点，左焦点为 ( 2 5，0)，离心率为 5 ，

c2 a2 b2
a 2 x2 y2
则 c 2 5 ，解得 1
b 4
，故双曲线C 的方程为 ；
4 16
e c 5
a
（2）证明：过点 ( 4,0)的直线与C 的左支交于M， N 两点，
则可设直线MN 的方程为 x my 4，M(x1， y1)， N(x2， y2 )，
记C 的左，右顶点分别为 A1， A2，则 A1( 2,0)， A2(2,0)，
x my 4
2 2联立 4x2 y2 16，化简整理可得，
(4m 1)y 32my 48 0，

2
故△ ( 32m) 4 48 (4m2 1) 264m2 192 0 4m2且 1 0，
y y 32m y y 481 2 ，4m2 1 1 2
，
4m2 1
MA y y直线 1的方程为 y 1 (x 2)，直线NA方程 y 2 (x 2)，x1 2
2 x2 2
m 48 32mx 2 y (x 2) y (my 2) my y 2(y y ) 2y 2 2 4m 1 4m2
2y
故 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1
1
x 2 y1(x2 2) y1(my2 6) my1y2 6y 481 m 2 6y4m 1 1
16m
4m2
2y
1 1 1 x 2 1 x 148m ，故 ，解得 x 1，所以 ，故点 P 在定直线 x 1上运动．
6y 3 x 2 3
P
4m2 1 1
22. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 O： x2 y2 1，点 F 2,0 ，以线段 FG为直径的圆与圆 O相切，
记动点 G的轨迹为 W．（1）求 W的方程；（2）设点 M在 x轴上，点N 0,1 ，在 W上是否存在两点 A，B，
使得当 A，B，N三点共线时， ABM 是以 AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点 M的坐标和直
线 AB的方程；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）设 F1 2,0 ，以线段 FG为直径的圆的圆心为点 C，圆 C与圆 O相切于点 H，
则 CF CH ．因为 C为 FG的中点，O为 F1F的中点，所以 FG 2 CF ， GF1 2 CO ．
当圆 C与圆 O内切时， GF GF1 2 CF CO 2 CH CO 2 OH 2；
当圆 C与圆 O外切时， GF1 GF 2 CO CF 2 CO CH 2 OH 2，
所以 GF1 GF 2为定值．
2 2
又因为 F1F 4 2
x y
，所以动点 G的轨迹是以 F1，F为焦点的双曲线．设它的方程是 （ a 0，a2 b2
1
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2
b 0），则 a 1， a2
y
b2 4，即 b2 3，所以 W的方程为 x2 1．
3
（2）假设存在符合题意的点 A，B，由 A，B，N三点共线，知直线 AB斜率存在．
设直线 AB的方程为 y kx 1， A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
y kx 1,
3 k
2 0,
由 y2 消去 y并整理，得 3 k 2 x2 2kx 4 02 ，则 2
x 1 Δ 2k 4
解得
3 k 2 4 0,
3
2k 4
2x x x k
2
则 0
1 2 y k 3， 1 ．
2 3 k 2 0 3 k 2 3 k 2
设点M m,0 ，则 AM BM ， AM BM ．连结 TM，则TM AB，
3
y0 3 k 2即 k 1，即 k k 1 m
4k
x ，整理得 2 ．0 m
2 m
3 k
3 k
由 AM BM ，得 AM BM m x1, y1 m x2 , y2 x1 m x2 m y1y2 0 ，
即 x1 m x2 m kx1 1 kx2 1 0，即 1 k 2 x 21x2 k m x1 x2 m 1 0，
4k
2 2k k

2
所以 4 1 k 2 4k
3 k ， 1 0
3 k 2 3 k 2 3 k 2
整理，得3k 4 3 0，解得 k 1，显然 k 1满足条件 2当 k 1时，点 M的坐标为 2,0 ，直线 AB的方程为 y x 1；当 k 1时，点 M的坐标为 2,0 ，直线
AB的方程为 y x 1．所以存在满足题意的两点 A，B，此时M 2,0 ，直线 AB的方程为 y x 1；
或M 2,0 ，直线 AB的方程为 y x 1．
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