湖北省恩施州教学联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版含解析）

2023-2024 学年湖北省恩施州教学联盟高一年级 12 月月考数学试卷 10.若 x， ，且 ，则( )
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） A. B. C. D.
1.已知集合 ， ，则 ( ) 11.若 ，下列选项可能正确的是( )
A. B. C. D.
A. B. C. D.
12.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数
2.函数 与 的图象( )
A. 关于 x 轴对称 B. C. 是听觉下限间值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：关于 y 轴对称 关于原点对称 D. 关于直线 对称
3.命题“ ， ”的否定是( ) 声源声源 与声源的距离 声压级
A. ， B. ， 燃油汽车燃油汽车 10
C. ， D. ， 混合动力汽车 10
4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是( ) 电动汽车 10 40
A. B. C. D. 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m 处测得实际声压分别为 ， ， ，则( )
5.若 ，则下列不等式成立的是.( ) A. B. C. D.
A. B. 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.化简： __________.
C. D. 14.设 ，则 的值为__________
6.函数 ( ) 15.函数 是定义在 R 上的奇函数，则 __________.
A. 最小值为 0，最大值为 3 B. 最小值为 ，最大值为 0
16.设 满足 ， 满足 ，则 __________
C. 最小值为 ，最大值为 3 D. 既无最小值，也无最大值
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
7.1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637 年笛卡尔开始使用指数运算；1770 年，
17. 本小题 10 分
欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若 ，
求值：
，则 x 的值约为.( )
A. B. C. D. 求值：
8.已知 m， 且 ，对于任意 均有 ，则( ) 18. 本小题 12 分
A. B. C. D. 设命题 实数 x 满足 ，其中 ，命题 实数 x 满足
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求） 若 ，且 p 和 q 都是真命题，求实数 x 的取值范围;
9.下列不等式正确的是( ) 若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
A. B. 19. 本小题 12 分
C. D. 已知函数 ，
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当 时，求不等式 的解集;
若方程 在 时有解，求实数 a 的取值范围.
20. 本小题 12 分
已知函数 ，
求函数 的值域;
求满足方程 的 x 的值.
21. 本小题 12 分
节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的
污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 ，首次改良后所排放的废气中
含有的污染物数量为 设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后所排放的废
气中含有的污染物数量为 ，则第 n 次改良后所排放的废气中的污染物数量 ，可由函数模型
给出，其中 n 是指改良工艺的次数．
试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 ，试问至少进行多少次改良工
艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． 参考数据：取
22. 本小题 12 分
已知函数 ， ， 的定义域关于原点对称，且
求 b，c 的值，判断函数 的奇偶性并说明理由;
若关于 x 的方程 有解，求实数 m 的取值范围.
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答案和解析 解：函数 的定义域和值域均为 ，
函数 的定义域和值域均为 R，不满足要求；
1. 函数 的定义域为 ，值域为 R，不满足要求；【答案】A
函数 的定义域为 R，值域为 ，不满足要求；
【解析】【分析】
本题考查集合的运算及一元二次不等式的求解，属于基础题. 函数 的定义域和值域均为 ，满足要求；
求出集合 B，利用交集定义直接求解． 故选
【解答】 5.【答案】B
解： 集合 ，1， ， ， 【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于基础题.
故选： 因为 ，可得 ， ，又因为 ，即可求解.
2.【答案】C 【解答】
【解析】【分析】 解：因为 ，
本题考查对称性的应用，考查图象的对称变换，为基础题. 所以 ， ，
【解答】
又因为 ，
解： 相当于 的图象先沿 y 轴对称翻折，再沿着 x 轴对称翻折，故翻折后的图象与原图象关于原点对
称. 所以 ，
3.【答案】C 即
【解析】【分析】
故选
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 6.【答案】C
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解析】【分析】
【解答】
本题考查分段函数的值域 最值 ，属于基础题．
解：命题为全称量词命题，则命题的否定为 ， ，
【解答】
故选：
4.【答案】D 解：函数 ，
【解析】【分析】
当 时，
本题考查的知识点是函数的定义域和值域，属于基础题．
故 ，
分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案.
所以 的最小值为 ，最大值为
【解答】
故选
7.【答案】A
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【解析】【分析】 对于 C： ， ， ，
本题考查了指数式与对数式互化问题，也考查了对数的运算问题，属于基础题．
把指数式化为对数式，再用 表示出来，即可求出结果． ，故
【解答】
，故 C 错误；
解：由 ， ，所以 ；即 x 的
对于 D：
值约为
故本题选 ，故 ，故 D 正确.
8.【答案】C
故选
【解析】【分析】 10.【答案】ABD
本题考查不等式恒成立有关问题的考查，考查分类讨论，为较难题.
【解析】【分析】
【解答】
解：当 时，在 上， 恒成立，所以只需满足 恒成立，此时
根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
，由二次函数图象可知，只有 时满足 ，而 不满足条件；
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式的基本性质，属于基础题．
当 时，在 上， 恒成立，所以只需满足 恒成立，此时等于 0 的方程两
【解答】
根分别为 和 ，
解：根据题意，依次分析选项：
①当 时，此时 ，当 时， 不恒成立;
对于 A，若 x， ，且 ，则 ，则有
②当 时，此时 ，若满足 恒成立，只需满足
，当且仅当 时等号成立，A 正确；
③当 时，此时 ，满足 恒成立.
综上可知，满足 在 恒成立时，只有 对于 B， ，由 A 可得 ，故 ，所以 ，故 B 正确；
9.【答案】AD 对于 C， ，当且仅当 时等号成立，C 错误；
【解析】【分析】
对于 D， ，则有 ，变形可得 ，又由 ，则有
本题考查指、对、幂的大小比较，属于中档题.
【解答】 ，D 正确；
解：对于 A：由 在 上单调递减， 故选：
得 ，故 ， 11.【答案】ABC
【解析】【分析】
即 ，故 A 正确；
本题考查对数运算，对数式的大小比较，考查分类讨论，为中档题.
对于 B：由 在 上单调递减，
得 ，故 B 错误；
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【解答】 【解答】
解： ，则有 ， 解： ，故
若 ， ，又 可知 ，则此时 ，可选 A； 15.【答案】1
【解析】【分析】
若 ，显然成立，可选
本题考查利用函数奇偶性求参，属于基础题.
若 ，则有 ， ，又 ，则有 ，可选
12. 【解答】【答案】ACD
解：由题知， 对任意的实数 x 成立，
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题. 即 ，对任意实数 x 成立，
利用声压级公式结合每种汽车声压级范围计算即可逐项判断. 所以 对任意实数 x 成立，从而可知
【解答】 经验证，此时 为 R 上的奇函数，满足题意.
解： ， ， ，所以 A 正确 故答案为
16.【答案】1
， ， ，所以 B 错误
【解析】【分析】
， ，所以 C 正确 本题考查对数的运算和对数函数单调性，属于较难题.
， ， ，所以 D 正确． 利用换元进行变形，判断函数的单调性，求解函数的零点，进而得到结果.
【解答】
故选
解：设 ，则 ，则 变形为 ，
即 ，
13.【答案】 由题意知 满足 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，
【解析】【分析】
所以此函数只有一个零点，
本题考查根式的化简，属于基础题.
因为 ，
【解答】
所以 ，
解： 又 ，所以 ，
所以
14.【答案】
故答案为：
【解析】【分析】
17.【答案】解： 法 原式
本题考查指数、对数的运算，为基础题.
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19.【答案】解： 当 时，
法 原式
故不等式的解集为
①当 时，方程显然不成立;
②当 时，
原式
故实数 a 的取值范围为
【解析】本题考查分式不等式的求解以及参数问题，属于中档题.
20.【答案】解： 令 ，则 ， ，
【解析】本题考查指对数运算，对数运算，属于基础题.
故 的值域为
根据指数运算公式依次化简即可；
由 有，
根据对数运算公式、换底公式依次化简即可.
18.【答案】解： 命题 p：实数 x 满足 ，其中 ， ①当 时，
当 时，命题 P： ，解得 ， 解得 或 或
命题 q：实数 x 满足 整理得 ②当 时，
由于命题 p 和 q 都是真命题， 解得
所以 ，整理得 ，
综上可得 ， ，
故实数 x 的取值范围为
命题 p：实数 x 满足 ，解得 ，
【解析】本题考查函数值域的求解，含指数式的方程求解，为中档题.
命题 q：实数 x 满足 故 21.【答案】解： 由题意得 ， ，
由于 q 是 p 的充分不必要条件， 所以当 时， ，
所以
即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故
【解析】本题考查考查充分必要条件与集合的关系，分式不等式与一元二次不等式，属于基础题． 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 ；
由题意可得， ，
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整理得， ，即 ， 【解析】本题考查的是函数的奇偶性，值域，方程根的情况求参数的取值范围.
根据 的定义域关于原点对称，可得出 b 的值，再由奇偶性的定义即可判断 的奇偶性，由条件即可得 c
两边同时取常用对数，得 ，
的值；
整理得 ，
由题意 ，且 ， ，所以 ，即可得出
将 代入，得 ，
的值域；令 ，则方程 有解等价于方程 在
又因为 ，所以 ，
上有解，则 即可得出答案.
综上，至少进行 6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
【解析】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
由题意得 ， ，所以当 时， ，解得 ，所以
，
由 可得， ，即 ，解不等式，即可得到答案．
22.【答案】解： 由题意， 的定义域满足 ，即 的解集关于原点对称，
根据二次函数的性质可得 与 关于原点对称，故
， ，
又 定义域关于原点对称，
故 ， 为奇函数.
由 ，
的值域为 ，
故关于 x 的方程 有解，即 在 上有解.
令 ，则 ，
在 上单调递增，
的值域为
即 m 的值域为 ，即实数 m 的取值范围为
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