【高考专辑】【专题7】2015年高三数学（理）【押题精练】数列求和及综合应用

课件64张PPT。专题七
数列求和及综合应用
数列求和及综合应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.数列求和的方法技巧
(1)分组转化法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.(2)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方法，适用于求通项为 的数列的前n项和，其中{an}
若为等差数列，则＝ .常见的裂项公式：2.数列应用题的模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型.(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型.如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等.
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.热点一 分组转化求和热点二 错位相减法求和热点三 裂项相消法求和热点分类突破热点四 数列的实际应用例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.热点一 分组转化求和(1)求数列{an}的通项公式；思维启迪
根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；解　当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意.
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.
故an＝2·3n－1 (n∈N*).(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪
分组求和.解　因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.当n为偶数时，当n为奇数时，变式训练1已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝( )n(n∈N*).
(1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)都是等比数列；证明　因为anan＋1＝( )n，an＋1an＋2＝( )n＋1，又a1＝1，a2＝ ，所以数列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1为首项， 为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…，是以 为首项， 为公比的等比数列.(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求数列{bn}的最大项.bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)( )n＋1，所以b1b4>…>bn>…，所以(bn)max＝b2＝b3＝ .例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，
(1)求数列{an}的通项公式；热点二 错位相减法求和思维启迪
n>1时，Sn＝2Sn－1＋n两式相减得{an}的递推关系式，然后构造数列求通项；解　∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，
∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*).(2)若bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证明：Tn<2.思维启迪
先利用错位相减法求出Tn，再放缩.证明　∵an＝2n－1，变式训练2 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；解　由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解　由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1. ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②
①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－
n·22n＋1，即Sn＝ [(3n－1)22n＋1＋2].例3　已知等差数列{an}，公差d>0，前n项和为Sn，S3＝6，且满足a3－a1,2a2，a8成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；热点三 裂项相消法求和思维启迪
利用方程思想可确定a，d，写出{an}；解　由S3＝6，得a2＝2.
∵a3－a1,2a2，a8成等比数列，
∴(2d)·(2＋6d)＝42，解得d＝1或d＝－ ，∵d>0，∴d＝1.
∴数列{an}的通项公式为an＝n.(2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn的值.思维启迪
利用裂项相消法求Tn.变式训练3已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4·a7＝15，a3＋a8＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；解　根据题意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15，
所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的两根，且a4解得a4＝3，a7＝5.设数列{an}的公差为d，由a7＝a4＋(7－4)·d，得d＝ .故等差数列{an}的通项公式为an＝a4＋(n－4)·d＝3＋(n－4)· ＝ .例4　自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.热点四 数列的实际应用(1)求第n年年初M的价值an的表达式；思维启迪
根据题意，当n≤6时，数列{an}是等差数列，当n≥7时，数列{an}是等比数列，分别写出其通项公式，然后进行合并即可；解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，
故an＝120－10(n－1)＝130－10n，当n≥7时，数列{an}从a6开始的项构成一个以a6＝130－60＝70为首项，以 为公比的等比数列，故an＝70×( )n－6，(2)设An＝ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.思维启迪
先对n进行分类，表示出An，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与80比较大小，确定n的值.证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，
由等差数列和等比数列的求和公式，得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝ ＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，当n≥7时，由于S6＝570，因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列.所以必须在第九年年初对M更新.变式训练4设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，若每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是(　　)解析　设每期期末所付款是x元，
则各次付款的本利和为x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，答案　B本讲规律总结(3)递推关系形如 ＝f(n)，常用累乘法求通项.
(4)递推关系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，常用待定系数法.可设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{an＋λ}是一个等比数列.
(5)递推关系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn＋1转为用迭加法求解.2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：
(1)错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解.
(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和.
(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解.提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力.其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路：①首先构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－ ，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.12真题感悟解析　∵an＝Sn－Sn－112真题感悟根据以上{an}的关系式及递推式可求.12真题感悟真题感悟212.(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明{an＋ }是等比数列，并求{an}的通项公式；证明　(1)由an＋1＝3an＋1，真题感悟21真题感悟21因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，真题感悟21押题精练1231.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________.押题精练123解析　由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，
即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，
∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，
∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，
∴an＝n2－2n＋3.
答案　n2－2n＋3押题精练1232.秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流共有________人.押题精练123解析　由于an＋2－an＝1＋(－1)n，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，
所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋ ×2＝255.故该医院30天入院治疗甲流的人数为255.答案　255押题精练1233.已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.
(1)求数列{bn}的通项公式；即数列{bn}的通项公式bn＝n·3n.押题精练123押题精练123