【高考专辑】【专题8】2015年高三数学（理）【押题精练】数列、不等式

课件52张PPT。专题八
数列、不等式 数列、不等式要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏3要点回扣[问题1]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，
则an＝_______________.2.等差数列的有关概念及性质
(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2).
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列.
③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.[问题2]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(　　)
A.15 B.20 C.25 D.30A易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解.(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为± .如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝ .[问题3]　(1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.
(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.512104.数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；
(2)分组求和法；
(3)倒序相加法；
(4)错位相减法；
(5)裂项法；(6)并项法.
数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.[问题4]　数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为_____.5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.[问题5]　不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________.6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行.
[问题6]　已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的___________条件.充分不必要(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2 ；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值 s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.98.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.易错点1　忽视对等比数列中公比的分类讨论致误易错点2　忽视分类讨论或讨论不当致误易错点3　忽视等比数列中的隐含条件致误易错警示易错点4　忽视基本不等式中等号成立的条件致误易错点1　忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________.错解　-1找准失分点当q＝1时，符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.正解　①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立.
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9∴q9－q6－q3＋1＝0，
即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，
∴q6＝1，∴q＝－1.
答案　1或－1易错点2　忽视分类讨论或讨论不当致误例2　若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|.错解　由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤ ，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|
＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)
＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)
＝2k2－23k＋132
所以Sk＝2k2－23k＋132.找准失分点忽视了k≤6的情况，只给出了k≥7的情况.正解　由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤ ，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.当k≤6时，
Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝a1＋a2＋…＋ak＝－2k2＋23k.
当k≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|
＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)
＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132，易错点3　忽视等比数列中的隐含条件致误例3　各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.错解　150或－200找准失分点数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解　记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，
b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q10>0的等比数列.
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，答案　150易错点4　忽视基本不等式中等号成立的条件致误找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到.查缺补漏123456789101.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于(　　)
A.10 B.18 C.20 D.28解析　因为a3＋a8＝10，
所以由等差数列的性质，得a5＋a6＝10，
所以3a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.C查缺补漏123456789102.若 <0，则下列不等式：①a＋b|b|；③aA.0个 B.1个 C.2个 D.3个故a＋b<0且ab>0，所以a＋b|a|，故②错误；
由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，
所以a>b，即③错误，选B.
答案　B查缺补漏12345678910查缺补漏12345678910答案　A查缺补漏123456789104.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3解析　∵{an}是等比数列，
∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，
记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，查缺补漏12345678910答案　A查缺补漏123456789105.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为(　　)
A.195 B.197 C.392 D.396查缺补漏12345678910解析　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，
即第50个括号中应是两个数.
又因为每组中含有6个数，
所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，查缺补漏12345678910第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.
答案　C查缺补漏123456789106.已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________.解析　点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，查缺补漏12345678910解析　由x，a，b，y成等差数列知a＋b＝x＋y，①由x，c，d，y成等比数列知cd＝xy， ②4查缺补漏12345678910查缺补漏12345678910解析　画出可行域D，如图中阴影部分所示，答案　4查缺补漏12345678910查缺补漏12345678910解析　∵{an}是单调递增数列，∴4答案　(4,8)查缺补漏1234567891010.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝ ＋4an＋3，且a2是a1和a7的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式；解　(1)由8Sn＝ ＋4an＋3， ①知8Sn－1＝ ＋4an－1＋3(n≥2，n∈N). ②由①－②得8an＝(an－an－1)(an＋an－1)＋4an－4an－1，查缺补漏12345678910整理得(an－an－1－4)(an＋an－1)＝0(n≥2，n∈N).
∵{an}为正项数列，
∴an＋an－1>0，
∴an－an－1＝4(n≥2，n∈N).
∴{an}为公差为4的等差数列，由8a1＝ ＋4a1＋3，得a1＝3或a1＝1.查缺补漏12345678910当a1＝3时，a2＝7，a7＝27，不满足a2是a1和a7的等比中项.
当a1＝1时，a2＝5，a7＝25，满足a2是a1和a7的等比中项.
∴an＝1＋(n－1)4＝4n－3.查缺补漏12345678910由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，
当2m≤n<2m＋1时，[log2n]＝m，查缺补漏12345678910所以令S＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log22n]
＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n－1＋…＋n.
∴S＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n－1)×2n－1＋n，
①
2S＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n－1)×2n＋2n. ②查缺补漏12345678910①－②得
－S＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－(n－1)2n－n∴S＝(n－2)2n＋n＋2，即b1＋b2＋b3＋…＋ ＝(n－2)2n＋n＋2.