【高考专辑】【专题13】2015年高三数学（理）【押题精练】概率、随机变量及其分布

课件61张PPT。专题13
概率、随机变量及其分布概率、随机变量及其分布主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率(3)几何概型的概率2.条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：3.相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B).
4.独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为5.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.6.离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：为离散型随机变量X的分布列.(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n).
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望).
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量X的方差.(4)性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).7.正态分布
若X～N(μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ 符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；解析　任取两个数字(可重复)共有4×4＝16(种)排列方法，
一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42共4种，(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)思维启迪
由几何概型的特点，利用数形结合求解.解析　如图所示，设在通电后的4秒钟
内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时
刻为x、y，x、y相互独立，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为答案　C变式训练1(1)(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析　从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件总数共有 ＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为 ＝20，例2　甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.热点二 相互独立事件和独立重复试验(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；思维启迪
本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；解　分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试”，＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4
＝0.38.
即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.思维启迪
(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解.解　分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A、B、C，则P(A)＝0.6×0.6＝0.36，P(B)＝0.5×0.6＝0.3，P(C)＝0.4×0.75＝0.3.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”.则 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4.即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4.变式训练2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
，求p的值；解　设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.解　设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.
“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.
则D＝D0＋D1，且D0、D1互斥.所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 .例3　(2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；热点三 随机变量的分布列思维启迪
利用对立事件求概率；解　设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有 ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”.(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.思维启迪
计算每个X的值所对应的概率.解　X所有的可能取值为0,1,2,3.所以X的分布列为变式训练3(1)(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了
油漆的正方体，切割为125个同样大小的
小正方体，经过搅拌后，从中随机取一
个小正方体，记它的油漆面数为X，则
X的数学期望E(X)等于(　　)解析　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的数学期望答案　B(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X＝0)＝ ，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.随机变量X的分布列为概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：(1)基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的本讲规律总结度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)C真题感悟212.(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中.
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；真题感悟21(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2).则(　　)
A.p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)
C.p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D.p1设事件A为“取出球的编号互不相同，”答案　D押题精练1232.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是(　　)押题精练123解析　由题意得任取两球有 种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，答案　B押题精练1233.甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为 .据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.押题精练123(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；解　依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，解得n＝－12(舍去)或n＝5，押题精练123∴总决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为押题精练123(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X).解　随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，
即220,300,390,490.押题精练123所以，X的分布列为