【高考专辑】【专题17】2015年高三数学（理）【押题精练】导数及其应用

课件69张PPT。专题17
导数及其应用导数及其应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.3.函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题.
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有.
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.4.定积分的三个公式与一个定理
(1)定积分的性质：(2)微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么? f(x)dx＝F(b)－F(a).热点一 导数的运算和几何意义热点二 利用导数研究函数的性质热点三 导数与方程、不等式热点分类突破热点四 定积分例1　(1)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.热点一 导数的运算和几何意义思维启迪
先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程.解析　因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以y′|x＝0＝－5，
故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
答案　5x＋y－3＝0(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝ 的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________.思维启迪
A点坐标是解题的关键点，列方程求出.解析　设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax ，C2在A处的切线的斜率为又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，答案　4变式训练1(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝ 处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于________.解析　f′(x)＝sin x＋xcos x，f′( )＝1，即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝ 处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－ ，所以(－ )×1＝－1，解得a＝2.2例2　已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；热点二 利用导数研究函数的性质思维启迪
直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；解　因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，
所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1.
当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；
单调增区间为(－a－1，＋∞).(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值.思维启迪
讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.解　由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增区间为(－a－1，＋∞).
所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a；
当0<－a－1<4，即－5f(x)在(0，－a－1)上单调递减，
f(x)在(－a－1,4)上单调递增，
故f(x)在[0,4]上的最小值为
f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1；当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x)在[0,4]上单调递减，
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.
所以函数f(x)在[0,4]上的最小值为变式训练2 已知函数f(x)＝ln x＋ ，a∈R.
(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，即a≤ 在[2，＋∞)上恒成立.令g(x)＝ ，则a≤[g(x)]min，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝ 在[2，＋∞)上是增函数，∴[g(x)]min＝g(2)＝1.
∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1].(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值.解　由(1)得f′(x)＝ ，x∈[1，e].①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上是增函数.所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝ (舍去).②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.
当1所以f(x)在(1,2a)上是减函数，
当2a0，
所以f(x)在(2a，e)上是增函数.
所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，解得a＝ (舍去).③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上是减函数.所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋ ＝3，得a＝e.适合题意.综上a＝e.热点三 导数与方程、不等式例3　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ (a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x).
(1)求函数F(x)的单调区间；思维启迪
利用F′(x)确定单调区间；∵a>0，由F′(x)>0?x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数.
由F′(x)<0?x∈(0，a)，
∴F(x)在(0，a)上是减函数.
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，
单调递增区间为(a，＋∞).(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤ 恒成立，求实数a的最小值；思维启迪
k＝F′(x0)，F′(x0)≤ 分离a，利用函数思想求a的最小值；解　由F′(x)＝ (0 利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化.(3)是否存在实数m，使得函数y＝g( )＋m－1的图象与函数y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.当x变化时G′(x)、G(x)的变化情况如下表：由上表知：G(x)极小值＝G(0)＝ ，
G(x)极大值＝G(－1)＝G(1)＝ln 2>0.又由G(2)＝G(－2)＝ln 5－2＋ < 可知，当m∈( ，ln 2)时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同交点.故存在m∈( ，ln 2)，使函数y＝g( )＋m－1的图象与y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点.变式训练3已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；①当a≥0时，恒有f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数.②当a<0时，若00，故f(x)在(0， ]上是增函数；若x> ，则f′(x)<0，故f(x)在[ ，＋∞)上是减函数.综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, ]上是增函数，
在[ ，＋∞)上是减函数.(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，求实数m的取值范围.解　由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，
恒有ma－f(x)>a2成立，
等价于ma－a2>f(x)max.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，
所以f(x)max＝f(1)＝2a，
所以ma－a2>2a，即m因为a∈(－4，－2)，所以－2所以实数m的取值范围为m≤－2.热点四 定积分思维启迪
利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；答案　7(2)(2014·山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A.2 B.4
C.2 D.4思维启迪
利用图形将所求面积化为定积分.解析　令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，D变式训练4(1)若? (2x＋ )dx＝3＋ln 2，且a>1，则a的值为(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2由题意，可得a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.D(2)如图，阴影部分的面积是(　　)答案　由题图，可知阴影部分面积为C1.函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；
(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件.本讲规律总结2.可导函数极值的理解
(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；
(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；
(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.3.利用导数解决优化问题的步骤
(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论.4.定积分在几何中的应用
被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2).∴点P处的切线斜率为k＝ ＝－2，真题感悟212.(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a).
(1)求g(a)；解　因为a>0，－1≤x≤1，所以
①当0若x∈[－1，a]，则f(x)＝x3－3x＋3a，
f′(x)＝3x2－3<0，真题感悟21故f(x)在(－1，a)上是减函数；
若x∈[a,1]，则f(x)＝x3＋3x－3a，
f′(x)＝3x2＋3>0，
故f(x)在(a,1)上是增函数.
所以g(a)＝f(a)＝a3.真题感悟21②当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，
f′(x)＝3x2－3<0，
故f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.真题感悟21(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.证明　令h(x)＝f(x)－g(a).
①当0若x∈[a,1]，则h(x)＝x3＋3x－3a－a3，
h′(x)＝3x2＋3，
所以h(x)在(a,1)上是增函数，
所以，h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，真题感悟21且0若x∈[－1，a]，则h(x)＝x3－3x＋3a－a3，
h′(x)＝3x2－3，
所以h(x)在(－1，a)上是减函数，
所以，h(x)在[－1，a]上的最大值是
h(－1)＝2＋3a－a3.真题感悟21令t(a)＝2＋3a－a3，则t′(a)＝3－3a2>0，
知t(a)在(0,1)上是增函数.
所以，t(a)故f(x)≤g(a)＋4.真题感悟21②当a≥1时，g(a)＝－2＋3a，
故h(x)＝x3－3x＋2，h′(x)＝3x2－3，
此时h(x)在(－1,1)上是减函数，
因此h(x)在[－1,1]上的最大值是h(－1)＝4.
故f(x)≤g(a)＋4.
综上，当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.押题精练121.已知函数f(x)＝x－ ，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________.解析　由于f′(x)＝1＋ >0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.押题精练12根据题意可知存在x∈[1,2]，使得
g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，令h(x)＝ ＋ ，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，押题精练12押题精练122.已知函数f(x)＝ －ln x，x∈[1,3].
(1)求f(x)的最大值与最小值；令f′(x)＝0得x＝±2，
∵x∈[1,3]，
当10；
∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，
在(2,3)上是单调增函数，∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝ －ln 2；押题精练12∴f(1)>f(3)，押题精练12(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围；解　由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤ ，故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，只要4－at> 对任意t∈[0,2]恒成立，即at< 恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2].押题精练12