【高考专辑】【专题18】2015年高三数学（理）【押题精练】等差数列和等比数列

课件53张PPT。专题18
等差数列和等比数列等差数列和等比数列主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，
an＝2.等差数列和等比数列热点一 等差数列热点二 等比数列热点三 等差数列、等比数列的综合应用热点 ? 分类突破例1　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝12，则S7的值是(　　)
A.21 B.24
C.28 D.7热点一 等差数列思维启迪
利用a1＋a7＝2a4建立S7和已知条件的联系；解析　由题意可知，a2＋a6＝2a4，
则3a4＝12，a4＝4，C(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1将a3，a6的范围整体代入．解析　S9＝9a1＋36d＝3(a1＋2d)＋6(a1＋5d)
又－1∴－3<3(a1＋2d)<3,0<6(a1＋5d)<18，
故－3A．15 B．30 C．31 D．64解析　因为a8是a7，a9的等差中项，
所以2a8＝a7＋a9＝16?a8＝8，再由等差数列前n项和的计算公式可得所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.
答案　A(2)在等差数列{an}中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是(　　)
A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0
B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0
D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0解析　由题意可知a6＋a5>0，答案　C例2　(1)(2014·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝______.热点二 等比数列思维启迪
列方程求出d，代入q即可；解析　设等差数列的公差为d,
则a3＝a1＋2d,a5＝a1＋4d,∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5),
解得d＝－1，1思维启迪
求出a1，q，代入化简．答案　D变式训练2 (1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a ＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8D(2)在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7解析　设等比数列{an}的公比为q，
由a2an－1＝a1an＝64，
又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.综上，项数n等于5，故选B.
答案　B例3　已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；热点三 等差数列、等比数列的综合应用思维启迪
利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；解　由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn 将恒成立问题通过分离法转化为最值．解　由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，
设等比数列{bn}的公比为q，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8.故(Sn)max＝S4＝S5＝10，
若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．变式训练3已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且 ，an，Sn成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；证明　bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)
＝log222n＋1－2×log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)，1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．
2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．本讲规律总结3．等差、等比数列的单调性
(1)等差数列的单调性
d>0?{an}为递增数列，Sn有最小值．
d<0?{an}为递减数列，Sn有最大值．
d＝0?{an}为常数列．
(2)等比数列的单调性4.常用结论
(1)若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{ }仍为等差数列，其中m，k为常数．
(2)若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a }，{ }仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，成等比数列，且公比为 ＝q.
(4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比数列，其公差为qk.
等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差数列，公差为k2d.5．易错提醒
(1)应用关系式an＝ 时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．
(2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝ ，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3解析　数列{lg an}的前8项和
S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8
＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4
＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.C真题感悟212.(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.解析　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.
∴数列的前8项和最大，即n＝8.8押题精练1231.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是(　　)
A.若a3>0，则a2 013<0 B.若a4>0，则a2 014<0
C.若a3>0，则a2 013>0 D.若a4>0，则a2 014>0解析　因为a3＝a1q2，a2 013＝a1q2 012，而q2与q2 012均为正数，
若a3>0，则a1>0，所以a2 013>0，故选C.C押题精练1232.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝ .若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________.解析　an＝a＋(n－1)×1＝n＋a－1，押题精练123因为对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，答案　(－8，－7)押题精练1233.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足
＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；押题精练123∵an>0，∴an＋1＝an＋2.
∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列.
∵a2，a5，a14构成等比数列，∵a2－a1＝3－1＝2，
∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列.押题精练123∴等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1.∴等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n.押题精练123(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，(Tn＋ )k≥3n－6恒成立，求实数k的取值范围.押题精练123当n≤3时，cn>cn－1；
当n≥4时，cn