【高考专辑】【专题19】2015年高三数学（理）【押题精练】分类讨论思想

课件70张PPT。专题19
分类讨论思想分类讨论思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.2.分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则
(1)不重不漏.
(2)标准要统一，层次要分明.
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.
(2)对所讨论的对象进行合理的分类.
(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.
(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论热点二 由图形位置或形状引起的讨论热点三 由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论变式训练1答案　C(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　)
A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.以上都不对解析　∵Sn＝pn－1，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；
当p＝1时，{an}是等差数列；
当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.
答案　D热点二 由图形位置或形状引起的讨论解析　画出不等式组表示的平面区域(如图).当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；
当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；
当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个).
答案　20(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________.解析　不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，变式训练2 答案　D解析　若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，例3　(2014·四川改编)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.热点三 由参数引起的分类讨论解　由f(x)＝ex－ax2－bx－1，
有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a].所以g(x)在[0,1]上单调递增，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增.
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是
g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；g(1)＝e－2a－b.变式训练3(1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；所以所求的切线的斜率为3.
又f(0)＝0，所以切点为(0,0)，
故所求的切线方程为y＝3x.(2)判断函数f(x)的单调性.①当a≥0时，因为x>－1，所以f′(x)>0，
故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增.故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，
在(－1－a，＋∞)上单调递增.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.本讲规律总结常见的分类讨论问题有：
(1)集合：注意集合中空集?的讨论.
(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和0(3)数列：由Sn求an分n＝1和n>1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.
(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.
(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；
(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟3当B＝ 时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝ ，此时△ABC为钝角三角形,符合题意；当B＝ 时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝ .答案　B12真题感悟32.(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12真题感悟3解析　当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|
＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)
上单调递增，如图(1)所示；12真题感悟3当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝
|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先
增后减再增，不符合条件，如图(2)所示.所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件.
答案　C12真题感悟33.(2014·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
A.60 B.90 C.120 D.13012真题感悟3解析　在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有 ×2种；②两个1(或－1)，三个0，有 ×2种；③一个－1，一个1，三个0，有 种；12真题感悟3④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有
×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有 ×2种.答案　D12真题感悟3押题精练123456解析　若a＝0，则f(x)在定义域的两个区间内都是常函数，不具备单调性；
若a>0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要使函数在R上单调递增，只要(a＋2)e0≤1，即a≤－1，与a>0矛盾，此时无解.
若－2当a≤－2时，函数f(x)不可能在R上单调.
综上，a的取值范围是[－1,0).
答案　C押题精练123456押题精练123456解析　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.押题精练123456答案　C3.抛物线y2＝4px (p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6押题精练123456解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；
当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；
对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p,0)，押题精练123456又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形.
当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.
所以符合要求的点P一共有4个.
答案　C4.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)
A.1或3 B.1或4
C.2或3 D.2或4押题精练123456解析　设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.
若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，
说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：
(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人.押题精练123456(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，
则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人.故选D.
答案　D押题精练1234565.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；押题精练123456解　设数列{an}的公差为d，故an＝3－(n－1)＝4－n.(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.押题精练123456解　由(1)可得bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘q，得
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1押题精练123456押题精练1234566.已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性.押题精练123456解　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，①当a≥0时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.②当a≤－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.押题精练123456押题精练123456综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；押题精练123456