【高考专辑】【专题20】2015年高三数学（理）【押题精练】函数的应用

课件53张PPT。专题20
函数的应用函数的应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点.
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点.
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2.函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点热点二 函数的零点与参数的范围热点三 函数的实际应用问题热点分类突破例1　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－ 的零点所在的区间是(　　)
A.( ，1) B.(1，e－1)
C.(e－1,2) D.(2，e)热点一 函数的零点思维启迪
根据二分法原理，逐个判断；解析　因为f( )＝ln －4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－ <0，f(2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内.
答案　C思维启迪
画出函数图象，利用数形结合思想解决.解析　先画出y轴右边的图象，如图所示.∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝ .设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标.答案　A变式训练1(1)已知函数f(x)＝( )x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4解析　f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝( )x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝( )x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.C(2)已知a是函数f(x)＝2x－log x的零点，若0A.f(x0)＝0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定解析　∵f(x)＝2x－log x在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－log x的零点，即f(a)＝0，∴当0 设f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函数y＝
f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是(　　)
A.(－2,1) B.[0,1]
C.[－2,0) D.[－2,1)热点二 函数的零点与参数的范围思维启迪
先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围.解析　解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，
得：x≤－2或x≥3，函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点.如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.答案　D变式训练2 定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________.解析　∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f′(x)＝0的根，
∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f(x)＝ax3－3ax，
∵3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0，
∴3a(f(x))2－3a＝0，∴f2(x)＝1，∴f(x)＝±1，例3　省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝| －a|＋2a＋ ，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0， ]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a).热点三 函数的实际应用问题(1)令t＝ ，x∈[0,24]，求t的取值范围；思维启迪
分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解.解　当x＝0时，t＝0；当0 利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋ ，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a).∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a， ]上单调递增，∴当且仅当0≤a≤ 时，M(a)≤2.变式训练3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的
销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解　当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－ －2.7x.(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解　①当00；当x∈(9,10)时，W′<0，∴当x＝9时，W取得最大值，且Wmax＝8.1×9－ ·93－10＝38.6.②当x>10时，综合①②知：当x＝9时，W取最大值38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.本讲规律总结1.函数与方程
(1)函数f(x)有零点?方程f(x)＝0有根?函数f(x)的图象与x轴有交点.
(2)函数f(x)的零点存在性定理
如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.
②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点.2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟12真题感悟解析　作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2).12真题感悟因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝ ，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用
率”.在特定条件下，可食用率p与加工时
间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋
c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的
数据.根据上述函数模型和实验数据，可以
得到最佳加工时间为(　　)
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟真题感悟21解析　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，真题感悟21即最佳加工时间为3.75分钟.
答案　B押题精练123解析　当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，
故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时,解得x＝－3或x＝ ；押题精练123当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.
故函数y＝f[f(x)＋1]有四个不同的零点.
答案　4押题精练1232.函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________.解析　令f′(x)＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1，
则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，押题精练123要使f(x)有两个零点，则极小值f(－1)<0，即－e－1－a<0，∴a>－ ，又x→－∞时，f(x)>0，则a<0，∴a∈(－ ，0).答案　(－ ，0)押题精练1233.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*).则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元.押题精练123解析　由题意知每台机器运转x年的年平均利润为
＝18－(x＋ )，而x>0，故 ≤18－2 ＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元.
答案　5　8