【高考专辑】【专题23】2015年高三数学（理）【押题精练】空间中的平行与垂直

课件57张PPT。专题23
空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理提醒　使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可.3.平行关系及垂直关系的转化热点一 空间线面位置关系的判定热点二 平行、垂直关系的证明热点三 图形的折叠问题热点分类突破例1　(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A.若a⊥α且a⊥b，则b∥α
B.若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C.若a∥α且a∥β，则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β，则α∥β热点一 空间线面位置关系的判定思维启迪
判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定.解析　A：应该是b∥α或b?α；
B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；
C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.
答案　D(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a?α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析　若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A.
若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.
若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
答案　D变式训练1设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α
其中真命题的序号为(　　)
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④解析　①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；
②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，所以③错误；
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确.
故选D.
答案　D例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平
面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和
F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；热点二 平行、垂直关系的证明(1)PA⊥底面ABCD；思维启迪
利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；证明　因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；思维启迪 BE∥AD易证；证明　因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪 EF是△CPD的中位线.证明　因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
所以CD⊥平面BEF.
又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.变式训练2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥
平面ACD，△ACD为等边三角形，AD
＝DE＝2AB，F为CD的中点.
求证：(1)AF∥平面BCE；证明　如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝ DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝ DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.证明　∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.例3　如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).热点三 图形的折叠问题(1)求证：DE∥平面A1CB；思维启迪
折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；证明　因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE；思维启迪
第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；证明　由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，
所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.思维启迪
第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.解　线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面
DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.变式训练3如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝ ，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点.(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；证明　作DH⊥EF，垂足为H，
连接BH，GH，因为平面AEFD⊥平面EBCF，交
线为EF，DH?平面AEFD，
所以DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，
故EG⊥DH.因为EH＝AD＝ BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH.
又BH，DH?平面DBH，且BH∩DH＝H，
故EG⊥平面DBH.
又BD?平面DBH，故EG⊥BD.(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式.解　因为AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线为EF，AE?平面AEFD，
所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，
所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，
故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高
DH＝AE＝x.1.证明线线平行的常用方法
(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；
(2)利用平行四边形进行转换；
(3)利用三角形中位线定理证明；
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.本讲规律总结2.证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；
(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.
3.证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.4.证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
(2)利用勾股定理逆定理；
(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.5.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；
(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；
(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.6.证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n?α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α12真题感悟解析　方法一　若m∥α，n∥α，
则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n?α，D错.12真题感悟方法二　如图，在正方体ABCD－
A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，
满足m∥α，n∥α，
但m与n是相交直线，故A错.
B项中，m⊥α，n?α，
∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确.12真题感悟C项中，若m为AA′，n为AB，
满足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C错.
D项中，若m为A′B′，n为B′C′，
满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错.
答案　B真题感悟212.(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD
所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD
＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，
F，G分别为AC，DC，AD的中点.真题感悟21(1)求证：EF⊥平面BCG；证明　由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，
因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.真题感悟21(2)求三棱锥D－BCG的体积.
附：锥体的体积公式V＝ Sh，其中S为底面面积，h为高.解　在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.真题感悟21押题精练121. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异
于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，
点M为线段PB的中点.有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；
②MO∥平面PAC；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).押题精练12解析　①错误，PA?平面MOB；
②正确；
③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；
④正确，因为BC⊥平面PAC.
答案　②④押题精练122.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E是棱DD1的中点.
(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；证明　如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因为A1B?面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.押题精练12又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，
所以A1B⊥面ADC1B1.
因为A1B?面A1BE，
所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.押题精练12(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论.解　当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.
证明如下：取C1D1中点F，连接EF，B1F易知：EF∥C1D，且EF＝ C1D.押题精练12设AB1∩A1B＝O，连接OE，则B1O∥C1D且B1O＝ C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，
所以四边形B1OEF为平行四边形.
所以B1F∥OE.
又因为B1F?面A1BE，OE?面A1BE.
所以B1F∥面A1BE.