【高考专辑】【专题24】2015年高三数学（理）【押题精练】直线与圆

课件47张PPT。专题24
直线与圆直线与圆主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0).2.直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2?k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.
提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.4.圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
5.直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.
(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一 直线的方程及应用热点二 圆的方程及应用热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系热点分类突破例1　(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)
A.2x＋y－12＝0
B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C.x－2y－1＝0
D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0热点一 直线的方程及应用思维启迪
不要忽略直线过原点的情况；解析　当直线过原点时方程为2x－5y＝0，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0.
答案　B(2)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件思维启迪
分别考虑充分性和必要性.解析　因为m＝1时，两直线方程分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1，两直线垂直，所以充分性成立；
当直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)×m＝0，所以m＝1，所以必要性成立.故选C.
答案　C变式训练1已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为
y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　　)
A.y＝2x＋4 B.y＝ x－3
C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0解析　由题意可知，直线AC和直线BC关于直线
y＝x＋1对称.设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为
B′(x0，y0)，因为B′(1,0)在直线AC上，即x－2y－1＝0.故C正确.
答案　C热点二 圆的方程及应用例2　(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)
A.(x－2)2＋(y±2)2＝3
B.(x－2)2＋(y± )2＝3
C.(x－2)2＋(y±2)2＝4
D.(x－2)2＋(y± )2＝4思维启迪
确定圆心在直线x＝2上，然后待定系数法求方程；解析　因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，
所以圆心在直线x＝2上，
又圆与y轴相切，所以半径r＝2，
设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝± ，所以选D.答案　D(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2 ，且与直线l2：2x－ y－4＝0相切，则圆M的方程为(　　)
A.(x－1)2＋y2＝4
B.(x＋1)2＋y2＝4
C.x2＋(y－1)2＝4
D.x2＋(y＋1)2＝4思维启迪
根据弦长为2
及圆与l2相切列方程组.所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.
答案　B变式训练2 (1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2 ，则直线l的方程为(　　)
A.x＝－1或4x＋3y－4＝0
B.x＝－1或4x－3y＋4＝0
C.x＝1或4x－3y＋4＝0
D.x＝1或4x＋3y－4＝0解析　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，线段PQ的中点为M，故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.
答案　B(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________________.解析　设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.x2＋(y－1)2＝10例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半
径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点
A作圆C的切线，求切线的方程；热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系思维启迪
先求出圆C的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；解　由题设，圆心C是直线y＝2x－4和直线y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，
于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.思维启迪
将|MA|＝2|MO|化为M点坐标满足的条件后，可知点M是两圆的交点.解　因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则2－1≤|CD|≤2＋1，由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；变式训练3(1)(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)
A.－6 B.－3 C.－3 D.3解析　两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，
圆C2：x2＋(y－b)2＝1，即a2＋b2＝9.所以－3≤a＋b≤3，当且仅当“a＝b”时取“＝”.所以选C.
答案　C1.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况.本讲规律总结2.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：
(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；
(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(3)圆心在任一弦的中垂线上；
(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.3.直线与圆中常见的最值问题
圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.4.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
5.两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________.解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.真题感悟212.(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________.解析　如图，过点M作⊙O的切线，
切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.真题感悟21∴x0的取值范围为[－1,1].
答案　[－1,1]押题精练1231.在直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为________.解析　设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，∴x＋y＝2，∴满足条件的点P的个数转化为直线x＋y＝2和圆x2＋y2＝4的交点个数，∴直线与圆相交，∴点P有2个.2押题精练1232.如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，则实数a的取值范围是____________________.解析　将圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0变形为(x－a)2＋(y－a)2＝4，
可知圆心为C(a，a)，半径为r＝2.
圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为R＝2.押题精练1233.若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________.要使圆上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，押题精练123