【高考专辑】【专题26】2015年高三数学（理）【押题精练】圆锥曲线中的热点问题

课件61张PPT。专题26
圆锥曲线中的热点问题圆锥曲线中的热点问题主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离.
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.
4.轨迹方程问题
(1)求轨迹方程的基本步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法).
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系.③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化.
④化简整理方程——简化.
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.
(2)求轨迹方程的常用方法：
①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；
②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；
(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题热点三 圆锥曲线中的探索性问题热点分类突破热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题(1)求椭圆C1的方程；思维启迪
P点是椭圆上顶点，圆C2的直径等于椭圆长轴长；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.思维启迪
设直线l1的斜率为k，将△ABD的面积表示为关于k的函数.解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，设△ABD的面积为S，变式训练1(1)求椭圆C的标准方程；又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3，解　显然直线PQ不与x轴重合，当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|＝3，|F1F2|＝2， ＝3；当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入椭圆C的标准方程，整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，∴当直线PQ与x轴垂直时 最大，且最大面积为3.设△PF1Q内切圆半径为r，则 ＝ (|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3.即rmax＝ ，此时直线PQ与x轴垂直，△PF1Q内切圆面积最大，例2　(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题思维启迪
设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN
交MN于H，则H是MN的中点，化简得y2＝8x(x≠0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.思维启迪
设直线方程y＝kx＋b，将其和轨迹C的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP和BQ的斜率互为相反数，推出k和b的关系，最后证明直线过定点.(2)证明　如图由题意，
设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.∵x轴是∠PBQ的角平分线，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③
将①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0).变式训练2 (1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.解　当∠APQ＝∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，例3　已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：热点三 圆锥曲线中的探索性问题(1)求C1，C2的标准方程；思维启迪
比较椭圆及抛物线方程可知，C2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C1方程.易求得C2的标准方程为y2＝4x.思维启迪
联立方程，转化已知条件进行求解.解　容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，
且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.变式训练3如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，
抛物线上一定点Q(1,2).
(1)求抛物线C的方程及准线l的方程.解　把Q(1,2)代入y2＝2px，得2p＝4，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线l的方程：x＝－1.(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由.解　由条件可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.
由抛物线准线l：x＝－1，可知M(－1，－2k).即k3＝k＋1.把直线AB的方程y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，
并整理，可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知因为A，F，B共线，所以kAF＝kBF＝k，即k1＋k2＝2k＋2.
又k3＝k＋1，可得k1＋k2＝2k3.
即存在常数λ＝2，使得k1＋k2＝λk3成立.1.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：本讲规律总结①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.2.定点、定值问题的处理方法
定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.3.探索性问题的解法
探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟押题精练真题与押题真题感悟(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.真题感悟(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.解　直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.真题感悟此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.真题感悟此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.押题精练押题精练(1)求椭圆C的方程；∴a2＝2，b2＝1.押题精练解　由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，押题精练押题精练∴16k2＝t2(1＋2k2).押题精练押题精练