【高考专辑】【专题27】2015年高三数学（理）【押题精练】排列、组合与二项式定理

课件52张PPT。专题27
排列、组合与二项式定理排列、组合与二项式定理主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3主干知识梳理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2.排列与组合
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成
A ＝ .(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是(3)组合数的性质热点一 两个计数原理热点二 排列与组合热点三 二项式定理热点分类突破例1　(1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　)热点一 两个计数原理A.6种 B.12种 C.18种 D.24种思维启迪
先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；解析　∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；
余下两个数字按从小到大只有一种方法.
共有2×3＝6种结果，故选A.
答案　A(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1A.240 B.204
C.729 D.920思维启迪
按中间数进行分类.解析　分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；
当中间数为3时，有2×3＝6种；
当中间数为4时，有3×4＝12种；
当中间数为5时，有4×5＝20种；
当中间数为6时，有5×6＝30种；
当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；
当中间数为9时，有8×9＝72种.
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种.
答案　A变式训练1(1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种C(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为(　　)
A.8 B.9
C.26 D.27解析　因为值域为{0,1,2}, 即ln(x2＋1)＝0?x＝0，所以定义域取值即在这5个元素中选取，③当定义域中有5个元素时，有一种情况.
所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数.
答案　B例2　(1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72 B.120
C.144 D.168热点二 排列与组合思维启迪
将不能相邻的节目插空安排；解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.同理，第三种情况也有36种安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
答案　B(2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为(　　)
A.84 B.168
C.76 D.152思维启迪
考虑数列中项的增减变化次数.解析　∵|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，
∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，答案　A变式训练2 (1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　)
A.24种 B.48种
C.96种 D.144种解析　首先安排A有2种方法；
第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；答案　C(2)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答).解析　0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：故共有四位偶数60个.60热点三 二项式定理思维启迪
利用通项公式求常数项；C(2)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________.思维启迪
可用赋值法求二项展开式所有项的系数和.解析　∵令x＝1得(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式中所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，
∴a＝1，∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5
＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，－5变式训练3令7－2r＝－3，得r＝5.答案　C(2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(　　)
A.45 B.60 C.120 D.210所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)C1.排列、组合应用题的解题策略
(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.
(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列本讲规律总结问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.
(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法.2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路
一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值.这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解.
另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析　把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；12真题感悟答案　60真题感悟212押题精练1231.给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为(　　)
A.6 B.12 C.24 D.484解析　由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，
对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可.答案　A押题精练12342.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)
A.8种 B.16种 C.18种 D.24种押题精练1234答案　A押题精练1234押题精练1234解析　根据二项式系数的性质，得2n＝10，答案　C押题精练1234押题精练1234令x＝0，可得a0＝1.答案　C押题精练1234