【高考专辑】【专题30】2015年高三数学（理）【押题精练】数形结合思想

课件59张PPT。专题30
数形结合思想数形结合思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题3思想方法概述1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
(1)等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.
(2)双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7)构建方程模型，求根的个数.
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.热点一 利用数形结合思想讨论方程的根热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围热点三 利用数形结合思想解最值问题热点分类突破热点一 利用数形结合思想讨论方程的根解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，
如图所示，
当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为 ，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为( ，1).答案　B变式训练1解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象
如图所示，由图可得交点有3个.
答案　C例2　(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是____________.热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是
(－1,0)∪(0,1).解析　作出符合条件的一个函数图象
草图即可，(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式|x－2a|≥ x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.解析　作出y＝|x－2a|和y＝ x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤ .变式训练2 (1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A?B成立的实数m的取值范围是_______.解析　集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，
集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A?B，则应使圆被平面区域所包含
(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离
(在圆的下方)，例3　(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.热点三 利用数形结合思想解最值问题解析　从运动的观点看问题，当动点P沿
直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷
远处运动时，当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，
显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，解析　画出可行域如图，所求的x2＋y2－
6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上
的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0
(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.∴取值范围是[2,16].
答案　B变式训练3(1)(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2解析　由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，
|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，
所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.B又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点
连线的斜率k.解析　可行域如图所示.由图知，过点A的直线OA的斜率最小.答案　21.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.本讲规律总结2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.
3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟34解析　设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，12真题感悟34答案　A12真题感悟34解析　∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，
∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.12真题感悟3412真题感悟34答案　A12真题感悟34解析　函数y＝|f(x)|的图象如图.
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立.
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立.
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度.
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立.12真题感悟34③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立.
即a≥x－2成立，所以a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
答案　D12真题感悟344.(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.12真题感悟34解析　设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时，12真题感悟34消y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0，
且x1＋x2＝a－3<2，x1x2＝a<1，联立可得00，
且x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，联立可得a>9，
综上知，09.
答案　(0,1)∪(9，＋∞)押题精练1231.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4456解析　(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.而y＝|x2－2x|的图象如图，B2.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.[1,2]
D.(－∞，1]∪[2，＋∞)押题精练123456押题精练123456画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，
故只要a2－3a≥4即可，
解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.答案　A3.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.押题精练123456解析　如图所示，结合图形：为使l与
线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，押题精练123456故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角.押题精练123456押题精练123456押题精练123456解析　由题意知原点O到直线x＋y－2＝0的距离为|OM|的最小值.押题精练123456押题精练1234566.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.
(1)求b的值；押题精练123456解　函数g(x)＝bx2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3ax2－3a?f′(1)＝0，g′(x)＝2bx－ ?g′(1)＝2b－1，依题意得2b－1＝0，所以b＝ .押题精练123456押题精练123456即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；
当a<0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，
即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1,0)时，f′(x)>0，
即f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，押题精练123456又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.
当a>0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，x∈(－1,0)时，f′(x)<0，
即f(x)在(－1,0)上单调递减，
所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.押题精练123456又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所示，