2023-2024学年高中数学人教A版必修二 9.2 用样本估计总体 同步练习
一、选择题
1．（2023高三上·彭州期中） 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
2．（2023高二上·长沙开学考）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
3．（2023高二上·长沙开学考）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
4．（2023高三上·郑州月考）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a＝0.12
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
5．（2023高二上·端州开学考）若一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，，…，的方差为（ ）
A．0.04 B．1.16 C．0.16 D．1.04
6．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
7．（2023·海盐开学考）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 （ ）
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.6 8.9 8.9 8.2
方差 3.5 5.6 2.1 3.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2023高三上·哈尔滨月考）设样本数据，，…，的均值和方差分别为1和4，若(为非零常数，)，则，，…，的均值和方差分别为（ ）
A．2，8 B．2， C．，16 D．，
9．（2023高一下·阎良期末）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
组号 1 2 3 4 5
频数 8 11 10 9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
10．（2023高二上·阳江期中）为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为．记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二上·青岛开学考）已知样本数据的方差为4，若由，，得到另一组样本数据，则样本数据的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
12．（2023高三上·上海市月考）如图，一组数据，，，…，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．（2023高二上·端州开学考）某校有年轻教师30人和老教师20人进行党史答题比赛．按照分层抽样的方法抽取5名教师，相关统计情况如下：年轻教师答对题目的平均数为2，方差为0.5；老教师答对题目的平均数为3，方差为1，则这5人答对题目的方差为（ ）
A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.94
14．（2023·）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（ ）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
15．（2023高二上·昆明开学考）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时：③若从每周使用时间在，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16．（2023高三上·牡丹江开学考）某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为、.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
二、多项选择题
17．（2023高二下·舟山期末）舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．该样本数据的中位数和众数均为85
C．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改
D．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人
18．（2023高一下·合肥期末）如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）
A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%
19．（2023高二上·浙江月考）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
20．（2023高三上·通榆期中）甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（ ）
A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等
B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等
C．甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大
D．乙旅游景区日均气温的极差为
21．（2023高二上·成都期中）一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023高二上·成都期中）某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023高三上·普宁月考）已知一组样本数据均为正数，且，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据可能相等的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差
24．（2023·海盐开学考）若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A．的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
25．（2023高一下·阎良期末）某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了，届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ）
A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
26．（2023高一下·苏州期末）为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛（满分分），对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．得分在区间内的学生人数为
C．该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D．估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间内
27．（2024高三上·广州月考）已知一组样本数据，，…，均为正数，且，若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据的（ ）可能相等.
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
28．（2023高三上·长沙月考）气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：℃）的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．一个都没有 B．甲地 C．乙地 D．丙地
三、填空题
29．（2024高三上·成都模拟）某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为 ．
30．（2023高二上·双鸭山开学考）数据，，的方差为，则数据，，的平均数为 .
31．（2023高一下·湖州期末）已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是 .
32．（2023高一下·定远期末）在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用分层抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间个零件，其尺寸的平均数和方差分别为和，抽取了乙车间个零件，其平均数和方差分别为和，则该工厂这种零件的方差估计值为精确到 ．
33．（2023高一下·通州月考）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为 .
34．（2023高三下·石家庄开学考）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位．
四、解答题
35．（2023高二上·成都期中）某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
36．（2023高二上·乐清开学考）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中第三组频率为，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）
37．（2023高一下·合肥期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．
（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 A、由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25-2-23，A不符合题意；
B、易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，B不符合题意；
C、2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，C符合题意；
D、2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，故D正确.
2．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据，，…，的平均数和方差分别为和， 设，，…的平均数和方差分别为和
由题意，，，
∵，
∴，；
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差的公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得；
∴ 学生的成绩在区间内的频率为；
则成绩在区间内的学生人数为：（人）；
故答案为：B .
【分析】根据频率分布直方图的面积即为频率，且频率之和为1，可得，解方程即可求出a，再利用频数=总数x频率，即可求出成绩在区间内的学生人数.
4．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图所有小矩形的面积和为1，可得，解得，故A错误；
B、随机抽取的100名学生中成绩在内的频率为10（0.02+0.032）=0.52，所以该区间的人数为52，故B错误；
C、由频率分布直方图，前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，所以这100名学生成绩的中位数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，计算a的值即可判断A；再结合频率分布直方图中平均数、中位数的性质逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，，，，…，的方差为42×0.01=0.16.
故答案为：C.
【分析】根据方差的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数反应总体水平，平均数越大，总体水平越高，
方差反应波动性，方差越小，波动性越小，
所以 最能体现共同富裕要求的是 平均数大，方差小 .
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的性质分析判断.
7．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表中数据知，甲，乙，两，丁四个人中乙和丙的射击成绩平均数最大且相等
又乙和丙两个人中丙的方差较小，丙的成绩较稳定，综合平均数和方差两个方面考虑丙是最佳人选.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义，选出射击成绩最高且稳定的人选即可.
8．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意有，，
∴
，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意求出x的均值和方差，运用平均数和方差的计算公式求解y的均值和方差.
9．【答案】B
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：由容量50的样本数据知有50个数字，而其他组的数字个数都是已知，
则第4组的频数x=50-(8+11+10+9)=50-38=12
频率为0.24.
故答案为：B.
【分析】由已知数据得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率.
10．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：记该班男生组成绩和女生组成绩的平均成绩分别为，则男生组成绩的方差为
，同理，所以，，，所以
.
故答案为：D.
【分析】记该班男生组成绩和女生组成绩的平均成绩分别为，由方差公式推出，，可得，，再用推导公式求班级的方差即可.
11．【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据的方差为D(X)=4， Y=2X+3则样本数据的方差为 D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16.
故答案为：B.
【分析】由新数据与已知数据关系D(Y)=D(2X+3)=4D(X)得到新数据方差.
12．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，，x9=1，x10=9，所以，，因为x9，x10是波幅最大的两个数，则去除这两个数后，整体波动性减小，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用平均数和定义求解，根据方差的定义判断和的大小.
13．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据分层抽样可知年轻教师抽取人数为，设答对题目的个数分别为x1，x2，x3，则，老教师抽取人数为，设答对题目的个数分别为y1，y2，则，所有老师答对题目的平均数，所有老师答对题目的方差，
根据可得，同理，所以
.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合方差的定义求解即可.
14．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：不妨设原数据为，平均数为，方差为，
则，
可知新数据为，
其平均数，
方差
，
即，所以 新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为.
故答案为：C.
【分析】不妨设原数据为，可知新数据为，根据平均数可知，再结合方差的计算公式运算求解.
15．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：，求得， ①正确；
根据频率分布直方图计算估计出每周人使用手机时间为，②正确；
每周使用时间在，三组内的学生的比例为，根据分层样原理得选取8人进行访谈， 则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3，③ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1， ② 求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值， ③ 利用分层抽样计算出使用时间在 内的学生中选取的人数.
16．【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得每组的频率依次为：，
对于A：因为的频率最大，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故A错误；
对于B：因为，
设中位数为，则，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故B正确；
对于C：每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是，故C正确；
对于D：每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意求各组的频率，结合众数、中位数以及频率的相关性质运算求解.
17．【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：对于A，由直方图可知： ，故 A 选项正确；
对于B，设中位数为 ， 则可求得 ， 即中位数为 ， 故B选项错误；
对于C，平均分 ， 故 C 选项正确；
对于D，从组抽取的人数为人，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意以及频率分布直方图，先计算可补全图中x，再结合直方图的性质逐项分析.
18．【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由图易知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2019年多于2020年，故A错误；
B、根据图表数据可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，故B正确；
C、2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，而人均消费支出的极差为，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；
D、2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于80%，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据图标逐项分析即可.
19．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设x1，x2，...，xn的平均数为m，x2，...，x7的平均数为n.
对于A：不妨取1，2，2，2，2，2，2，2，可得故A错误；
对于B：两组数据的中位数都是故B正确；
对于C：不妨取0，1，1，1，1，1，1，2，平均数为m=1，n=1，标准差故C错误；
对于D：则故D正确。
故答案为：BD.
【分析】根据题意，不妨将x1，x2，...，xn进行赋值，采用特殊值法对A，C作答；不妨设利用中位数及极差的定义对B，D作答。
20．【答案】A,B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题，得到甲旅游景区的气温分别为：，
乙旅游景区的气温分别为，
对于A中，根据甲景区的平均气温为，乙景区的平均气温为，所以A正确；
对于B中，甲景区的中位数为，乙景区的中位数为，所以B正确；
对于C中，甲景区的方差为，
乙景区的方差为，
可得，所以C正确；
对于D中，乙景区日均气温的极差为，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，得到甲、乙景区的数据，结合平均数、中位数和方差、极差的概念及运算，即可求解.
21．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为.
故答案为：CD.
【分析】根据平均数、方差的性质可得答案.
22．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】依题意，设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故答案为：AD.
【分析】依题意，设男性人数为，女性人数为，根据平均数、方差公式计算可得答案.
23．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 样本数据 的平均值为， 新的数据 的平均值为，当时，新数据与原始数据的平均值相等，故A正确； 样本数据的极差为，新数据的极差为，因为，所以，故B错误；当时，样本数据的中位数为，新数据的中位数为，若时，中位数相等，时，样本数据的中位数为，新数据的中位数为，若时，新数据和原始数据的中位数相等，故C正确；原始数据的标准差为，新数据的标准差为，故两组数据的标准差不可能相等，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据极差、平均数、中位数以及标准差的公式计算即可逐项判断.
24．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，求得，A错误；
B、甲组样本数据的方差为
乙组样本数据方差为，乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的4倍，B错误；
C、不妨设，
则甲组数据的极差为，乙组样本数据方差为，
各不相同，两组样本数据的极差不相等，C错误；
D、设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
当，即时两组样本数据的中位数可能相等，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】AB利用平均数、方差公式代入计算判断；C不妨设，再利用极差定义判断，D利用中位数定义判断.
25．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由题意得，对于A，由图1可知，2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30，60)内的人数频率为20%+25%+25%=70%，故A正确；
对于B，设2022届初三学生人数为a(a>0）由图1可知，2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的人数为0.2a，
而2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60，80]内的人数为，
，故B正确；
对于C，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[40，50)内，2023届初三学生仰臣起坐一分钟个数的中位数在[50，60)内，故C错误；
对于D，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占25%+15%+5%=45%，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占41%+34%+7%=82%，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题干的统计图进行分析，逐项判断即可得出结论.
26．【答案】B,C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A由频率直方图中频率和为1可得
解得a=0.035故A选项不正确.
B 得分在区间[10，20)内的学生人数为故B选项正确.
C设该校学生法规竞赛成绩的中位数为x，则解得故C选项正确.
D 该校学生法规竞赛成绩的平均数故选项错误.
故答案为：BC
【分析】利用频率直方图中位数，平均数公式可判断C，D，频率和为1可判断A，计算第二组的频数可判断B.
27．【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、∵样本数据，，…，的极差为，
样本数据，，…，的极差为，且，
∴，A错误；
B、设样本数据，，…，的平均数为，设样本数据，，…，的平均数为，
则，
∵，
∴当时，两组数据的平均数相等，B正确；
C、当时，设样本数据，，…，的中位数为，则样本数据，，…，的中位数为，同理当时，中位数相等，
当时，样本数据，，…，的中位数为，则样本数据，，…，的中位数为，同理当时，中位数相等，C正确；
D、设样本数据，，…，的标准差为，设样本数据，，…，的标准差为，
则，
，
∵，
∴，
∴
∴两组样本数据的标准差不同，D错误.
故答案为：BC.
【分析】A、由极差的定义即可判断；
B、由平均数的公式即可判断；
C、由中位数的定义即可判断；
D、由方差的公式即可判断.
28．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 假设五天的气温从小到大排列分别为，，，，，平均气温为，方差为；
甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知，，，，，则，甲地符合题意；
乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24； 可知，，，，，则，即，所以和至少，不符合题意；
丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则32为，其中一个数，，当时，，越小；
根据题意，
即；
又∵；
∴，即，
∴当，取26时，可取最小，
即，
即，
将，代入，
可得，解得，
即，，，，都大于22，
丙地符合题意；
故答案为：BD .
【分析】根据众数，平均数，方差的定义，结合题意一一判定即可.
29．【答案】80.5
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由小矩形面积之和为1得，解得，
所以这1000名学生平均成绩的估计值为
故答案为：.
【分析】先利用小矩形面积之和为1求得a，再利用频率分布直方图的平均数估计公式计算即可.
30．【答案】：7或
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为 方差为
，
解得，
所以数据，，的平均数为或.
故答案为：7或.
【分析】根据题意结合方差公式可得，结合平均数的性质运算求解.
31．【答案】132.25
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设总体平均数为，方差为，男生平均数为，方差为，女生平均数为，方差为，由题意得，，，，
故答案为：132.25
【分析】根据分层抽样原理，代入平均数和方差公式进行求解。
32．【答案】6.8
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设甲车间数据依次为 ，乙车间数据依次 ，
，
，
所以
，
，
所以这40个数据平均数，
方差
所以可以判定该工厂这种零点的方差估计值为6.8
故答案为：6.8
【分析】设甲车间数据依次为 ，乙车间数据依次 ， 根据两个车间的平均数和方差分别求出所有数据之和以及所有数据平方和即可得解.
33．【答案】65，62.5
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由图可知第三个矩形面积最大，
时速的众数；
由图可知当左右两边矩形面积相等，此时对应的值设为应在第三个矩形底边，解得.
故答案为：65；62.5
【分析】分析频率分布直方图，最高矩形底边中点对应的值即为时速的众数，当左右两边矩形面积相等，此时底边对应的值为时速的中位数。
34．【答案】15
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5g，所以，
标准差为g，所以，可得
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为
故答案为：15.
【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，由成分甲的含量的平均值为5g， 标准差为g ，可得，由此可得，即可求出这批中医药的药物功效的平均值.
35．【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解即可；
（2）根据平均数和方差的计算公式计算求解即可；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
36．【答案】（1）解：第一组频率，第二组频率，
第三组频率，第四组频率，第五组频率，
由概率之和为，可得即，
第三组频率为0.45，可得，
解得，
（2）解：高分（大于等于80分）频数，
则估算高分（大于等于80分）频数为（人），
（3）解：估计平均数为，
设中位数为，
由于，故，
，解得，故中位数为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1求解a，b；
（2）根据题意求解高分频率，根据公式求解频数即可；
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可.
37．【答案】（1）解：频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第95百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.
（2）解：设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为.
由（1）得，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的数据计算该地年龄在的老年人收入的平均值即可；再根据百分位数的定义先计算第95百分位数所在区间，列式计算即可；
（2） 设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为结合（1）的数据利用样本中不同层的方差公式求解即可.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 9.2 用样本估计总体 同步练习
一、选择题
1．（2023高三上·彭州期中） 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 A、由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为25-2-23，A不符合题意；
B、易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，B不符合题意；
C、2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，C符合题意；
D、2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则×100%=10%，解得x=20，故D正确.
2．（2023高二上·长沙开学考）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据，，…，的平均数和方差分别为和， 设，，…的平均数和方差分别为和
由题意，，，
∵，
∴，；
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差的公式求解即可.
3．（2023高二上·长沙开学考）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得；
∴ 学生的成绩在区间内的频率为；
则成绩在区间内的学生人数为：（人）；
故答案为：B .
【分析】根据频率分布直方图的面积即为频率，且频率之和为1，可得，解方程即可求出a，再利用频数=总数x频率，即可求出成绩在区间内的学生人数.
4．（2023高三上·郑州月考）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a＝0.12
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图所有小矩形的面积和为1，可得，解得，故A错误；
B、随机抽取的100名学生中成绩在内的频率为10（0.02+0.032）=0.52，所以该区间的人数为52，故B错误；
C、由频率分布直方图，前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，所以这100名学生成绩的中位数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，计算a的值即可判断A；再结合频率分布直方图中平均数、中位数的性质逐项判断即可.
5．（2023高二上·端州开学考）若一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，，…，的方差为（ ）
A．0.04 B．1.16 C．0.16 D．1.04
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，，，，…，的方差为42×0.01=0.16.
故答案为：C.
【分析】根据方差的性质求解即可.
6．（2023高二上·双鸭山开学考）“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差大 D．平均数小，方差小
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数反应总体水平，平均数越大，总体水平越高，
方差反应波动性，方差越小，波动性越小，
所以 最能体现共同富裕要求的是 平均数大，方差小 .
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的性质分析判断.
7．（2023·海盐开学考）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 （ ）
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.6 8.9 8.9 8.2
方差 3.5 5.6 2.1 3.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表中数据知，甲，乙，两，丁四个人中乙和丙的射击成绩平均数最大且相等
又乙和丙两个人中丙的方差较小，丙的成绩较稳定，综合平均数和方差两个方面考虑丙是最佳人选.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义，选出射击成绩最高且稳定的人选即可.
8．（2023高三上·哈尔滨月考）设样本数据，，…，的均值和方差分别为1和4，若(为非零常数，)，则，，…，的均值和方差分别为（ ）
A．2，8 B．2， C．，16 D．，
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意有，，
∴
，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意求出x的均值和方差，运用平均数和方差的计算公式求解y的均值和方差.
9．（2023高一下·阎良期末）现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
组号 1 2 3 4 5
频数 8 11 10 9
则第4组的频数和频率分别是（ ）
A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36
【答案】B
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：由容量50的样本数据知有50个数字，而其他组的数字个数都是已知，
则第4组的频数x=50-(8+11+10+9)=50-38=12
频率为0.24.
故答案为：B.
【分析】由已知数据得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率.
10．（2023高二上·阳江期中）为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为．记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：记该班男生组成绩和女生组成绩的平均成绩分别为，则男生组成绩的方差为
，同理，所以，，，所以
.
故答案为：D.
【分析】记该班男生组成绩和女生组成绩的平均成绩分别为，由方差公式推出，，可得，，再用推导公式求班级的方差即可.
11．（2023高二上·青岛开学考）已知样本数据的方差为4，若由，，得到另一组样本数据，则样本数据的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据的方差为D(X)=4， Y=2X+3则样本数据的方差为 D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16.
故答案为：B.
【分析】由新数据与已知数据关系D(Y)=D(2X+3)=4D(X)得到新数据方差.
12．（2023高三上·上海市月考）如图，一组数据，，，…，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，，x9=1，x10=9，所以，，因为x9，x10是波幅最大的两个数，则去除这两个数后，整体波动性减小，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用平均数和定义求解，根据方差的定义判断和的大小.
13．（2023高二上·端州开学考）某校有年轻教师30人和老教师20人进行党史答题比赛．按照分层抽样的方法抽取5名教师，相关统计情况如下：年轻教师答对题目的平均数为2，方差为0.5；老教师答对题目的平均数为3，方差为1，则这5人答对题目的方差为（ ）
A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.94
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据分层抽样可知年轻教师抽取人数为，设答对题目的个数分别为x1，x2，x3，则，老教师抽取人数为，设答对题目的个数分别为y1，y2，则，所有老师答对题目的平均数，所有老师答对题目的方差，
根据可得，同理，所以
.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合方差的定义求解即可.
14．（2023·）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（ ）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：不妨设原数据为，平均数为，方差为，
则，
可知新数据为，
其平均数，
方差
，
即，所以 新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为.
故答案为：C.
【分析】不妨设原数据为，可知新数据为，根据平均数可知，再结合方差的计算公式运算求解.
15．（2023高二上·昆明开学考）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时：③若从每周使用时间在，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：，求得， ①正确；
根据频率分布直方图计算估计出每周人使用手机时间为，②正确；
每周使用时间在，三组内的学生的比例为，根据分层样原理得选取8人进行访谈， 则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3，③ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1， ② 求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值， ③ 利用分层抽样计算出使用时间在 内的学生中选取的人数.
16．（2023高三上·牡丹江开学考）某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为、.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得每组的频率依次为：，
对于A：因为的频率最大，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故A错误；
对于B：因为，
设中位数为，则，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故B正确；
对于C：每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是，故C正确；
对于D：每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意求各组的频率，结合众数、中位数以及频率的相关性质运算求解.
二、多项选择题
17．（2023高二下·舟山期末）舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．该样本数据的中位数和众数均为85
C．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改
D．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人
【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：对于A，由直方图可知： ，故 A 选项正确；
对于B，设中位数为 ， 则可求得 ， 即中位数为 ， 故B选项错误；
对于C，平均分 ， 故 C 选项正确；
对于D，从组抽取的人数为人，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意以及频率分布直方图，先计算可补全图中x，再结合直方图的性质逐项分析.
18．（2023高一下·合肥期末）如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）
A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%
【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由图易知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2019年多于2020年，故A错误；
B、根据图表数据可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，故B正确；
C、2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，而人均消费支出的极差为，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；
D、2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于80%，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据图标逐项分析即可.
19．（2023高二上·浙江月考）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设x1，x2，...，xn的平均数为m，x2，...，x7的平均数为n.
对于A：不妨取1，2，2，2，2，2，2，2，可得故A错误；
对于B：两组数据的中位数都是故B正确；
对于C：不妨取0，1，1，1，1，1，1，2，平均数为m=1，n=1，标准差故C错误；
对于D：则故D正确。
故答案为：BD.
【分析】根据题意，不妨将x1，x2，...，xn进行赋值，采用特殊值法对A，C作答；不妨设利用中位数及极差的定义对B，D作答。
20．（2023高三上·通榆期中）甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（ ）
A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等
B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等
C．甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大
D．乙旅游景区日均气温的极差为
【答案】A,B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题，得到甲旅游景区的气温分别为：，
乙旅游景区的气温分别为，
对于A中，根据甲景区的平均气温为，乙景区的平均气温为，所以A正确；
对于B中，甲景区的中位数为，乙景区的中位数为，所以B正确；
对于C中，甲景区的方差为，
乙景区的方差为，
可得，所以C正确；
对于D中，乙景区日均气温的极差为，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，得到甲、乙景区的数据，结合平均数、中位数和方差、极差的概念及运算，即可求解.
21．（2023高二上·成都期中）一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为.
故答案为：CD.
【分析】根据平均数、方差的性质可得答案.
22．（2023高二上·成都期中）某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】依题意，设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故答案为：AD.
【分析】依题意，设男性人数为，女性人数为，根据平均数、方差公式计算可得答案.
23．（2023高三上·普宁月考）已知一组样本数据均为正数，且，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据可能相等的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 样本数据 的平均值为， 新的数据 的平均值为，当时，新数据与原始数据的平均值相等，故A正确； 样本数据的极差为，新数据的极差为，因为，所以，故B错误；当时，样本数据的中位数为，新数据的中位数为，若时，中位数相等，时，样本数据的中位数为，新数据的中位数为，若时，新数据和原始数据的中位数相等，故C正确；原始数据的标准差为，新数据的标准差为，故两组数据的标准差不可能相等，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据极差、平均数、中位数以及标准差的公式计算即可逐项判断.
24．（2023·海盐开学考）若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A．的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，求得，A错误；
B、甲组样本数据的方差为
乙组样本数据方差为，乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的4倍，B错误；
C、不妨设，
则甲组数据的极差为，乙组样本数据方差为，
各不相同，两组样本数据的极差不相等，C错误；
D、设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
当，即时两组样本数据的中位数可能相等，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】AB利用平均数、方差公式代入计算判断；C不妨设，再利用极差定义判断，D利用中位数定义判断.
25．（2023高一下·阎良期末）某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了，届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ）
A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由题意得，对于A，由图1可知，2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30，60)内的人数频率为20%+25%+25%=70%，故A正确；
对于B，设2022届初三学生人数为a(a>0）由图1可知，2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的人数为0.2a，
而2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60，80]内的人数为，
，故B正确；
对于C，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[40，50)内，2023届初三学生仰臣起坐一分钟个数的中位数在[50，60)内，故C错误；
对于D，2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占25%+15%+5%=45%，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占41%+34%+7%=82%，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据题干的统计图进行分析，逐项判断即可得出结论.
26．（2023高一下·苏州期末）为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛（满分分），对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．得分在区间内的学生人数为
C．该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D．估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间内
【答案】B,C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A由频率直方图中频率和为1可得
解得a=0.035故A选项不正确.
B 得分在区间[10，20)内的学生人数为故B选项正确.
C设该校学生法规竞赛成绩的中位数为x，则解得故C选项正确.
D 该校学生法规竞赛成绩的平均数故选项错误.
故答案为：BC
【分析】利用频率直方图中位数，平均数公式可判断C，D，频率和为1可判断A，计算第二组的频数可判断B.
27．（2024高三上·广州月考）已知一组样本数据，，…，均为正数，且，若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据的（ ）可能相等.
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、∵样本数据，，…，的极差为，
样本数据，，…，的极差为，且，
∴，A错误；
B、设样本数据，，…，的平均数为，设样本数据，，…，的平均数为，
则，
∵，
∴当时，两组数据的平均数相等，B正确；
C、当时，设样本数据，，…，的中位数为，则样本数据，，…，的中位数为，同理当时，中位数相等，
当时，样本数据，，…，的中位数为，则样本数据，，…，的中位数为，同理当时，中位数相等，C正确；
D、设样本数据，，…，的标准差为，设样本数据，，…，的标准差为，
则，
，
∵，
∴，
∴
∴两组样本数据的标准差不同，D错误.
故答案为：BC.
【分析】A、由极差的定义即可判断；
B、由平均数的公式即可判断；
C、由中位数的定义即可判断；
D、由方差的公式即可判断.
28．（2023高三上·长沙月考）气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：℃）的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．一个都没有 B．甲地 C．乙地 D．丙地
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 假设五天的气温从小到大排列分别为，，，，，平均气温为，方差为；
甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知，，，，，则，甲地符合题意；
乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24； 可知，，，，，则，即，所以和至少，不符合题意；
丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则32为，其中一个数，，当时，，越小；
根据题意，
即；
又∵；
∴，即，
∴当，取26时，可取最小，
即，
即，
将，代入，
可得，解得，
即，，，，都大于22，
丙地符合题意；
故答案为：BD .
【分析】根据众数，平均数，方差的定义，结合题意一一判定即可.
三、填空题
29．（2024高三上·成都模拟）某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为 ．
【答案】80.5
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由小矩形面积之和为1得，解得，
所以这1000名学生平均成绩的估计值为
故答案为：.
【分析】先利用小矩形面积之和为1求得a，再利用频率分布直方图的平均数估计公式计算即可.
30．（2023高二上·双鸭山开学考）数据，，的方差为，则数据，，的平均数为 .
【答案】：7或
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为 方差为
，
解得，
所以数据，，的平均数为或.
故答案为：7或.
【分析】根据题意结合方差公式可得，结合平均数的性质运算求解.
31．（2023高一下·湖州期末）已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是 .
【答案】132.25
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设总体平均数为，方差为，男生平均数为，方差为，女生平均数为，方差为，由题意得，，，，
故答案为：132.25
【分析】根据分层抽样原理，代入平均数和方差公式进行求解。
32．（2023高一下·定远期末）在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用分层抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间个零件，其尺寸的平均数和方差分别为和，抽取了乙车间个零件，其平均数和方差分别为和，则该工厂这种零件的方差估计值为精确到 ．
【答案】6.8
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设甲车间数据依次为 ，乙车间数据依次 ，
，
，
所以
，
，
所以这40个数据平均数，
方差
所以可以判定该工厂这种零点的方差估计值为6.8
故答案为：6.8
【分析】设甲车间数据依次为 ，乙车间数据依次 ， 根据两个车间的平均数和方差分别求出所有数据之和以及所有数据平方和即可得解.
33．（2023高一下·通州月考）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为 .
【答案】65，62.5
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由图可知第三个矩形面积最大，
时速的众数；
由图可知当左右两边矩形面积相等，此时对应的值设为应在第三个矩形底边，解得.
故答案为：65；62.5
【分析】分析频率分布直方图，最高矩形底边中点对应的值即为时速的众数，当左右两边矩形面积相等，此时底边对应的值为时速的中位数。
34．（2023高三下·石家庄开学考）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位．
【答案】15
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5g，所以，
标准差为g，所以，可得
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为
故答案为：15.
【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，由成分甲的含量的平均值为5g， 标准差为g ，可得，由此可得，即可求出这批中医药的药物功效的平均值.
四、解答题
35．（2023高二上·成都期中）某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解即可；
（2）根据平均数和方差的计算公式计算求解即可；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
36．（2023高二上·乐清开学考）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中第三组频率为，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）
【答案】（1）解：第一组频率，第二组频率，
第三组频率，第四组频率，第五组频率，
由概率之和为，可得即，
第三组频率为0.45，可得，
解得，
（2）解：高分（大于等于80分）频数，
则估算高分（大于等于80分）频数为（人），
（3）解：估计平均数为，
设中位数为，
由于，故，
，解得，故中位数为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1求解a，b；
（2）根据题意求解高分频率，根据公式求解频数即可；
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可.
37．（2023高一下·合肥期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．
（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
【答案】（1）解：频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第95百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.
（2）解：设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为.
由（1）得，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.
【知识点】频率分布直方图；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的数据计算该地年龄在的老年人收入的平均值即可；再根据百分位数的定义先计算第95百分位数所在区间，列式计算即可；
（2） 设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为结合（1）的数据利用样本中不同层的方差公式求解即可.
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