2023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·惠州月考）下列关于概率的命题，错误的是（ ）
A．对于任意事件A，都有
B．必然事件的概率为1
C．如果事件A与事件B对立，那么一定有
D．若A，B是一个随机试验中的两个事件，则
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、 对于任意事件A，都有，A正确.
B、 必然事件的概率为1 显然正确，B正确.
C、 如果事件A与事件B对立，那么一定有，C正确.
D、 若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据事件的概率基本概念直接求解即可.
2．（2017高二下·友谊开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
3．（2023高二上·双鸭山开学考）已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为 事件A与B互斥， 则，故A错误；
又因为 ，， 则 ，，故C、D错误；
则 ，故B正确；
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件的性质运算求解.
4．（2023高三上·佳木斯开学考）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.64 B．0.66 C．0.67 D．0.69
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由图表得 .
故答案为：A.
【分析】根据所有事件概率和为1求解.
5．（2023高二上·昆明开学考）已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件与事件是互斥事件 ， ，，
，C错误；
不一定等于0，不一定等于0，不一定等于0，B错误；
事件与事件不一定互斥事件 ， 不一定为0，A错误；
事件是必然事件， ，D正确.
故答案为：D.
【分析】由事件与事件是互斥事件得到 ，，进而判断选项.
6．（2023高一下·阎良期末）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲 乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲 乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A．甲 乙恰有一人中奖 B．甲 乙都没中奖
C．甲 乙至少有一人中奖 D．甲 乙至多有一人中奖
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题可知，甲乙两名同学都购买了这种饮料，
此事件的样本空间Ω = {(甲中，乙中)，(甲不中，乙中)，(甲中，乙不中)，(甲不中，乙不中)}；
由对立事件的定义可知，若A=“甲、乙都中奖”，
则=“甲、乙至多有一人中奖”，即D选项正确.
故答案为：D.
【分析】列出样本空间的所有情况，再由对立事件的定义即可求解.
7．（2023高一下·温州期末） 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，事件A，C对立，P(A)+P(C)=1 ，故B正确；
设盒子中有m个红球， 5-m个黄球，
P(A)
， 故AD正确；
，故C错误；
故选：C.
【分析】由对立事件的性质判断B；由结合交事件与并事件列出方程可解得出m=2，进而判断ACD.
8．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，总样本空间记作Ω，事件“甲分得红牌”记作A，事件‘乙分得红牌’记作B，则，
所以事件“甲分得红牌”与事件‘乙分得红牌’是互斥事件但不是对立事件，
故选C.
【分析】利用互斥事件、对立事件的概念即可求解。
9．甲盒中有200个螺杆，其中有 个 型的，乙盒中有240个螺母，其中有 个 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，不能配成 型螺栓的概率为 ，则恰好可配成 型螺栓的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】记事件A：” 不能配成 型螺栓 “，则事件：” 能配成 型螺栓 “，由题意得，，恰好可配成 型螺栓的概率为 .
故答案为：C
【分析】利用对立事件概率计算公式求解.
10． 从 1，2，3，4，5 这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】因为在 ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一事件，都表示选取的两个数一个为奇数，一个为偶数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数 我们可知至少有一个数是奇数包含两种情况，一种是两数中只有一个数是奇数，另一种是两数都为奇数，因此至少有一个是奇数包括了两个都是奇数 ；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数 ，至少有一个是奇数包括两数中只有一个数是奇数，和两数都为奇数，与两个数都是偶数是对立事件；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 都包含一个奇数和一个偶数这种情况；
所以，只有③所包含的事件为对立事件
故答案选C
【分析】对每一种可能进行验证即可.
11． 对于任意事件 和 ，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】当M和N为互斥事件时，，
当M和N不是互斥事件时，，
综上所述，，
故答案选D.
【分析】分类讨论，讨论M，N为互斥事件和不为互斥事件时概率间的关系.
12．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．恰有一个红球与恰有两个红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有个白球
D．至少有一个红球与都是红球
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
在 中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，A符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，B不符合题意；
在 中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，C不符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥而不对立的事件。
二、多项选择题
13．（2023高二上·长沙开学考）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
14．（2023高一上·临渭期末）中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 65 16
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】，用频率估计事件发生的概率，可得，，，ABC符合题意，表示事件B发生或事件C发生，故．D不符合题意；
故答案为：ABC．
【分析】根据，用频率估计事件发生的概率，逐项进行判断，可求出答案.
15．（2022高二上·宜昌期中）中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中
100 55 18 m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可知，，
，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，
，
故答案为：ABC.
【分析】依题意事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，根据和事件和对立事件的概率公式计算可得.
16．（2022高二上·南京开学考）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和全是男生
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A中两个事件是互斥事件，恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生，它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；
B中两个事件不是互斥事件，两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中两个事件不是互斥事件，至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；
D中两个事件是互斥事件，至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.
故答案为：AD
【分析】 根据互斥事件的概念，逐项进行判断，即可得答案.
17．（2022高一下·慈溪期末）某校高一年级开设了甲 乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，A不符合题意；
与既是互斥事件也是对立事件，B符合题意；
与不是互斥事件，C符合题意；
与不是互斥事件，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，进而找出正确的选项。
18．（2022高一下·扬州期末）从装有3个红球和2个白球的袋中任意取出2个球，有如下几对事件：
①“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，恰好有1个红球”；②“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；③“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；④“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，至少有1个红球”．其中是互斥事件的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于①，“取出2个球，恰好有1个白球”即为1红1白，“取出2个球，恰好有1个红球”即为1红1白，
①中两个事件为相等事件；
对于②，“取出2个球，都是红球”即为2红，②中的两个事件为互斥事件；
对于③，“取出2个球，至少有1个白球”包含：1红1白、2白，③中的两个事件为互斥事件；
对于④，“取出2个球，至少有1个红球”包含：1红1白、2红，④中的两个事件不是互斥事件.
故答案为：BC.
【分析】 写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可求出答案.
三、填空题
19．（2023高二下·杨浦期末） 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 .
【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆面Ⅱ ”为事件B，“射手命中圆面Ⅲ”为事件C，则，，，
命中靶的概率是，
不命中靶的概率是.
故答案为：
【分析】利用对立事件求不命中靶的概率 。
20．（2023·闵行模拟）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ．
【答案】0.2
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意．
故答案为：0.2.
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出的值。
21．（2023·河南模拟）安排，，，，五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则，被安排在不同的福利院的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】5人分配到2个福利院有1，4和3，2两种分组方法，共有种分法，
其中，被安排在同一组在同一福利院有种，
所以，被安排在不同的福利院的概率为.
故答案为：
【分析】分1人，4人和2人，3人两种情况安排到两个福利院，再分析，在4人组，3人组，2人组三种情况得到在同一福利院的分法，利用对立事件的概率求解即可.
22．（2023高二上·浦东期末）已知事件、互斥，，且，则 .
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件、互斥，且，
解得，
.
故答案为：.
【分析】由已知事件、互斥，且，可求，进而根据对立事件概率公式得到答案.
23．（2022高三上·丹东月考）现有分别写有数字2至8的7张卡片，将写有质数的卡片放入A箱中，将写有合数的卡片放入B箱中，从A箱中随机抽取一张卡片放入B箱中，再从B箱中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上的数字互质的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】依题意A箱中原有卡片为2、3、5、7共4张，B箱中原有卡片为4、6、8共3张，从A箱中随机抽一张卡片，有4种情形，
当A箱中抽取卡片是2，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字不可能互质；
当A箱中抽取卡片是3，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（3，4）、（3，8）两种，此时所求概率为；
当A箱中抽取卡片是5，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（5，4）、（5，6）、（5，8）共3种，此时所求概率为；
当A箱中抽取卡片是7，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（7，4）、（7，6）、（7，8）共3种，此时所求概率为；
所以所求的概率为：.
故答案为：
【分析】 分类讨论不同条件下基本事件的总数，利用古典概型的概率公式求解，即可得答案.
24．（2022高三上·安徽开学考）已知甲盒装有3个红球，个白球， 乙盒装有3个红球， 1个白球， 丙盒装有2个红球， 2个白球， 这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球， 若取得白球的概率是，则 .
【答案】4
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从甲盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从乙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从丙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
因为随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，
取得白球的概率是，所以，
解得：。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出实数m的值。
四、解答题
25．（2023·湛江模拟）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
【答案】（1）解：A旅行社240人次的消费总额为元，
B旅行社240人次的消费总额为元，
因为，
所以B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）解：对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为，
所以甲去漓江的概率为．
对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为，
所以乙去漓江的概率为．
故甲、乙至少有一人去漓江的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【分析】（1）根据柱状图分别计算旅行社A、B的消费总额，比较大小即可；
（2）根据频率计算出甲去漓江的概率为， 乙去漓江的概率为，再由对立事件的乘法公式计算即可得解.
26．（2020高二上·淄博期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件 ， ， ，
由于 ， ， 为互斥事件，
根据已知，得 ，
解得 ，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是 ， ， .
（2）解：由（1）知黑球 黄球 绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为 ，
则两个球颜色不相同的概率是 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】 （1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率。
27．（2020高二上·聊城期中）某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为 ，小华同学获得一次摸奖机会．
（1）求他不能中奖的概率；
（2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是 ，试计算黄球的个数．
【答案】（1）解：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 ， ， ， ，它们是彼此互斥事件．
由题意得 ， ．
由对立事件的概率公式得 ．
∴不能中奖的概率为 ；
（2）解：∵ ，又 ，
∴ ．又 ，
∴ ．
∴中三等奖的概率为 ，因此黄球的个数为 个．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1） 设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 ， ， ， ，它们是彼此互斥事件，推导出 ， ，由对立事件的概率公式能求出不能中奖的概率；
（2）由 ， ，得到 ， ，从而求出中三等奖的概率为 ，由此能求出黄球的个数。
28．（2020高二上·平谷月考）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】（1）解：依题 ，解得
（2）解：由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为 ，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件 ，
则 ； ； .
故 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 ，利用相关公式建立方程组，即可求得 与 的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·惠州月考）下列关于概率的命题，错误的是（ ）
A．对于任意事件A，都有
B．必然事件的概率为1
C．如果事件A与事件B对立，那么一定有
D．若A，B是一个随机试验中的两个事件，则
2．（2017高二下·友谊开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
3．（2023高二上·双鸭山开学考）已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·佳木斯开学考）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.64 B．0.66 C．0.67 D．0.69
5．（2023高二上·昆明开学考）已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高一下·阎良期末）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲 乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲 乙都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A．甲 乙恰有一人中奖 B．甲 乙都没中奖
C．甲 乙至少有一人中奖 D．甲 乙至多有一人中奖
7．（2023高一下·温州期末） 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对
9．甲盒中有200个螺杆，其中有 个 型的，乙盒中有240个螺母，其中有 个 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，不能配成 型螺栓的概率为 ，则恰好可配成 型螺栓的概率为（ ）
A． B． C． D．
10． 从 1，2，3，4，5 这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
11． 对于任意事件 和 ，有（ ）
A． B．
C． D．
12．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．恰有一个红球与恰有两个红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有个白球
D．至少有一个红球与都是红球
二、多项选择题
13．（2023高二上·长沙开学考）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
14．（2023高一上·临渭期末）中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 65 16
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022高二上·宜昌期中）中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中
100 55 18 m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022高二上·南京开学考）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和全是男生
17．（2022高一下·慈溪期末）某校高一年级开设了甲 乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
18．（2022高一下·扬州期末）从装有3个红球和2个白球的袋中任意取出2个球，有如下几对事件：
①“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，恰好有1个红球”；②“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；③“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；④“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，至少有1个红球”．其中是互斥事件的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
19．（2023高二下·杨浦期末） 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 .
20．（2023·闵行模拟）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ．
21．（2023·河南模拟）安排，，，，五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则，被安排在不同的福利院的概率为 ．
22．（2023高二上·浦东期末）已知事件、互斥，，且，则 .
23．（2022高三上·丹东月考）现有分别写有数字2至8的7张卡片，将写有质数的卡片放入A箱中，将写有合数的卡片放入B箱中，从A箱中随机抽取一张卡片放入B箱中，再从B箱中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上的数字互质的概率为 ．
24．（2022高三上·安徽开学考）已知甲盒装有3个红球，个白球， 乙盒装有3个红球， 1个白球， 丙盒装有2个红球， 2个白球， 这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球， 若取得白球的概率是，则 .
四、解答题
25．（2023·湛江模拟）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
26．（2020高二上·淄博期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
27．（2020高二上·聊城期中）某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为 ，小华同学获得一次摸奖机会．
（1）求他不能中奖的概率；
（2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是 ，试计算黄球的个数．
28．（2020高二上·平谷月考）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、 对于任意事件A，都有，A正确.
B、 必然事件的概率为1 显然正确，B正确.
C、 如果事件A与事件B对立，那么一定有，C正确.
D、 若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据事件的概率基本概念直接求解即可.
2．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
3．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为 事件A与B互斥， 则，故A错误；
又因为 ，， 则 ，，故C、D错误；
则 ，故B正确；
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件的性质运算求解.
4．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由图表得 .
故答案为：A.
【分析】根据所有事件概率和为1求解.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件与事件是互斥事件 ， ，，
，C错误；
不一定等于0，不一定等于0，不一定等于0，B错误；
事件与事件不一定互斥事件 ， 不一定为0，A错误；
事件是必然事件， ，D正确.
故答案为：D.
【分析】由事件与事件是互斥事件得到 ，，进而判断选项.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题可知，甲乙两名同学都购买了这种饮料，
此事件的样本空间Ω = {(甲中，乙中)，(甲不中，乙中)，(甲中，乙不中)，(甲不中，乙不中)}；
由对立事件的定义可知，若A=“甲、乙都中奖”，
则=“甲、乙至多有一人中奖”，即D选项正确.
故答案为：D.
【分析】列出样本空间的所有情况，再由对立事件的定义即可求解.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，事件A，C对立，P(A)+P(C)=1 ，故B正确；
设盒子中有m个红球， 5-m个黄球，
P(A)
， 故AD正确；
，故C错误；
故选：C.
【分析】由对立事件的性质判断B；由结合交事件与并事件列出方程可解得出m=2，进而判断ACD.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，总样本空间记作Ω，事件“甲分得红牌”记作A，事件‘乙分得红牌’记作B，则，
所以事件“甲分得红牌”与事件‘乙分得红牌’是互斥事件但不是对立事件，
故选C.
【分析】利用互斥事件、对立事件的概念即可求解。
9．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】记事件A：” 不能配成 型螺栓 “，则事件：” 能配成 型螺栓 “，由题意得，，恰好可配成 型螺栓的概率为 .
故答案为：C
【分析】利用对立事件概率计算公式求解.
10．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】因为在 ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一事件，都表示选取的两个数一个为奇数，一个为偶数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数 我们可知至少有一个数是奇数包含两种情况，一种是两数中只有一个数是奇数，另一种是两数都为奇数，因此至少有一个是奇数包括了两个都是奇数 ；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数 ，至少有一个是奇数包括两数中只有一个数是奇数，和两数都为奇数，与两个数都是偶数是对立事件；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 都包含一个奇数和一个偶数这种情况；
所以，只有③所包含的事件为对立事件
故答案选C
【分析】对每一种可能进行验证即可.
11．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】当M和N为互斥事件时，，
当M和N不是互斥事件时，，
综上所述，，
故答案选D.
【分析】分类讨论，讨论M，N为互斥事件和不为互斥事件时概率间的关系.
12．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
在 中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，A符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，B不符合题意；
在 中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，C不符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥而不对立的事件。
13．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
14．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】，用频率估计事件发生的概率，可得，，，ABC符合题意，表示事件B发生或事件C发生，故．D不符合题意；
故答案为：ABC．
【分析】根据，用频率估计事件发生的概率，逐项进行判断，可求出答案.
15．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可知，，
，，
事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，
所以，
，
，
故答案为：ABC.
【分析】依题意事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，根据和事件和对立事件的概率公式计算可得.
16．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A中两个事件是互斥事件，恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生，它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；
B中两个事件不是互斥事件，两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中两个事件不是互斥事件，至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；
D中两个事件是互斥事件，至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.
故答案为：AD
【分析】 根据互斥事件的概念，逐项进行判断，即可得答案.
17．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，A不符合题意；
与既是互斥事件也是对立事件，B符合题意；
与不是互斥事件，C符合题意；
与不是互斥事件，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，进而找出正确的选项。
18．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于①，“取出2个球，恰好有1个白球”即为1红1白，“取出2个球，恰好有1个红球”即为1红1白，
①中两个事件为相等事件；
对于②，“取出2个球，都是红球”即为2红，②中的两个事件为互斥事件；
对于③，“取出2个球，至少有1个白球”包含：1红1白、2白，③中的两个事件为互斥事件；
对于④，“取出2个球，至少有1个红球”包含：1红1白、2红，④中的两个事件不是互斥事件.
故答案为：BC.
【分析】 写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可求出答案.
19．【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆面Ⅱ ”为事件B，“射手命中圆面Ⅲ”为事件C，则，，，
命中靶的概率是，
不命中靶的概率是.
故答案为：
【分析】利用对立事件求不命中靶的概率 。
20．【答案】0.2
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意．
故答案为：0.2.
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出的值。
21．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】5人分配到2个福利院有1，4和3，2两种分组方法，共有种分法，
其中，被安排在同一组在同一福利院有种，
所以，被安排在不同的福利院的概率为.
故答案为：
【分析】分1人，4人和2人，3人两种情况安排到两个福利院，再分析，在4人组，3人组，2人组三种情况得到在同一福利院的分法，利用对立事件的概率求解即可.
22．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件、互斥，且，
解得，
.
故答案为：.
【分析】由已知事件、互斥，且，可求，进而根据对立事件概率公式得到答案.
23．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】依题意A箱中原有卡片为2、3、5、7共4张，B箱中原有卡片为4、6、8共3张，从A箱中随机抽一张卡片，有4种情形，
当A箱中抽取卡片是2，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字不可能互质；
当A箱中抽取卡片是3，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（3，4）、（3，8）两种，此时所求概率为；
当A箱中抽取卡片是5，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（5，4）、（5，6）、（5，8）共3种，此时所求概率为；
当A箱中抽取卡片是7，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（7，4）、（7，6）、（7，8）共3种，此时所求概率为；
所以所求的概率为：.
故答案为：
【分析】 分类讨论不同条件下基本事件的总数，利用古典概型的概率公式求解，即可得答案.
24．【答案】4
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从甲盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从乙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从丙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
因为随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，
取得白球的概率是，所以，
解得：。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出实数m的值。
25．【答案】（1）解：A旅行社240人次的消费总额为元，
B旅行社240人次的消费总额为元，
因为，
所以B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）解：对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为，
所以甲去漓江的概率为．
对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为，
所以乙去漓江的概率为．
故甲、乙至少有一人去漓江的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【分析】（1）根据柱状图分别计算旅行社A、B的消费总额，比较大小即可；
（2）根据频率计算出甲去漓江的概率为， 乙去漓江的概率为，再由对立事件的乘法公式计算即可得解.
26．【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件 ， ， ，
由于 ， ， 为互斥事件，
根据已知，得 ，
解得 ，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是 ， ， .
（2）解：由（1）知黑球 黄球 绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为 ，
则两个球颜色不相同的概率是 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】 （1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率。
27．【答案】（1）解：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 ， ， ， ，它们是彼此互斥事件．
由题意得 ， ．
由对立事件的概率公式得 ．
∴不能中奖的概率为 ；
（2）解：∵ ，又 ，
∴ ．又 ，
∴ ．
∴中三等奖的概率为 ，因此黄球的个数为 个．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1） 设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 ， ， ， ，它们是彼此互斥事件，推导出 ， ，由对立事件的概率公式能求出不能中奖的概率；
（2）由 ， ，得到 ， ，从而求出中三等奖的概率为 ，由此能求出黄球的个数。
28．【答案】（1）解：依题 ，解得
（2）解：由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为 ，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件 ，
则 ； ； .
故 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 ，利用相关公式建立方程组，即可求得 与 的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
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