2023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.2 事件的相互独立性 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·成都期中）若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
2．（2019高二下·吉林期末）甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
3．（2023高二下·十堰期末）已知有编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个2号球，两个3号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下（ ）
A．第二次取到1号球的概率最大
B．第二次取到2号球的概率最大
C．第二次取到3号球的概率最大
D．第二次取到号球的概率都相同
4．（2023高一下·苏州期末）已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023高一下·湖南期末）一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·河南月考）在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则（ ）
A．p与先做哪道题次序有关 B．第8题定为次序2，p最大
C．第12题定为次序2，p最大 D．第16题定为次序2，p最大
7．（2023高二下·福州期末）甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·海南期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高一下·天河期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·上虞月考）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的个数是（ ）
与互斥与对立与相互独立
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2023高二上·常熟开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立
12．（2023高二下·河北期末）若，，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件相互独立，则事件也互斥
B．若事件相互独立，则事件不互斥
C．若事件互斥，则事件也相互独立
D．若事件互斥，则事件不相互独立
13．（2023高一下·达州期末）由均匀材质制成的一个正12面体，每个面上分别印有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，√，×投掷这个正12面体2次，把朝上一面的数字或符号作为投掷结果．则（ ）
A．第一次结果为数字和第一次结果为符号互斥
B．第一次结果为数字与第二次结果为符号不独立
C．第一次结果为奇数的概率等于第一次结果为偶数的概率
D．两次结果都为数字，且数字之和为6的概率为
14．（2023高一下·广州期末）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则（ ）
A．事件A与B互为对立 B．事件A与B相互独立
C． D．
15．（2023高一下·湖州期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件A与C互斥 B．
C．事件B与D对立 D．事件B与C相互独立
16．（2023·大庆模拟）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
三、填空题
17．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
18．（2023高二上·长沙开学考）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
19．（2023高一下·保山期末）弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和.现两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为 .
20．（2023高一下·联合期末）已知事件A，B，C两两相互独立，若，则P（A）＝ ．
21．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 .
22．（2023高二下·酒泉期末）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
23．（2023高二下·杨浦期末）已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是 .（填序号）
24．（2023·内江模拟）甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
四、解答题
25．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1） 2人中恰有个人译出密码的概率；
（2） 2人中至少有人译出密码的概率．
26．（2023高二上·江汉开学考）甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为，甲、丙都译出密码的概率为，乙、丙都译出密码的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；
（2）求密码被破译的概率．
27．（2023高二上·端州开学考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（2）求至少有一名选手通过全部考核的概率．
28．（2023高二上·贵港开学考）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；
（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．
29．（2023高二上·双鸭山开学考）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的频率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.
30．（2023高一下·苏州期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5.
（1）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率；
（2）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率.
31．（2023高一下·河南月考）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；
（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
32．（2023高一下·达州期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的．
（1）顾客乙答对每道题目的概率为，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率：
（2）顾客丙首次答对每道题目的概率为，对相同题目答对的概率为．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，求丙第二次获得购物券的概率．
33．（2023高一下·广州期末）甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；
（2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】由已知 ，得 因为，得，所以， 所以事件与的关系为相互独立事件.
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断事件与的关系为相互独立事件.
2．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】所求概率为 .
故答案为：B.
【分析】由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。
3．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得：第二次取到1号球的概率；
第二次取到2号球的概率；
第二次取到3号球的概率.
因为，所以第二次取到2号球的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式分别求第二次取到1号球，2号球，3号球的概率，进而比较大小即可.
4．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 如果与互斥，则事件A，B不可能同时发生，所以如果与相互独立，则A与也相互独立，
故答案为：A
【分析】利用互斥事件不可能同时发生可得，再由相互独立事件的性质和乘法公式即可求解.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为.
故答案为：A.
【分析】先根据题意求出灯不亮的概率，再结合对立事件运算求解.
6．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：小明连对两题，则第二题为必对题，
若小明做的第二题为第8题，则做题顺序为12、8、16与16、8、12，且其概率均为，
记此时连对两题的概率为，
则
；
同理可得：若小明做的第二题为第12题，记连对两题的概率为，则；
若小明做的第二题为第16题，记连对两题的概率为，则；
可得：，
，
所以，
所以小明做的第二题为第16题，对于的最大.
故答案为：D.
【分析】先判断得小明连对两题，则第二题为必对题；再分别求得小明做的第二题为第8题、第12题与第16题对应的概率，从而利用作差法分析判断.
7．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 记甲乙两人通过考试分别为事件M、N，则有，
则恰有一人通过的概率为P=P()P(N)+ P(M)P()=
故选： B.
【分析】 利用事件的独立性和互斥性公式，即可求出其中恰有一人通过的概率.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记第次射击由甲射击，且命中为事件，第次射击由乙射击，且命中为事件.
由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有3种情况：
，
所以所求概率
故答案为：C.
【分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率加法公式可得.
9．【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设出乙单独破译密码的概率为P，
甲乙合作破译密码有三种情况：
一种是甲破译乙未破译，一种是乙破译甲未破译，还有一种甲乙都破译，
所以我们可以反过来思考，只需要剔除甲乙同时未破译的概率
所以
所以.
故选：A.
【分析】根据独立事件密码破译的概率，相当于1减去甲乙同时未破译的概率，从而得到乙单独密码破译的概率.
10．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 事件：“”包含的基本事件有： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，事件 “ 为奇数 ”包含的基本事件有：(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，A与B不能同时发生，是互斥事件，故 正确；
A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故 错误；
(x， y)的所有可能结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 1，5) (1.6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3.4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4.3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) {6，5) (6，6)
，，，故 错误；
，，
则P(AC)=P(A)P(C)，A与C相互独立，故正确.
故选：C.
【分析】 利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义逐个进行求解判断，可得答案.
11．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得、、、事件丁包含的基本事件有、、、、有5个，，
A、，甲与乙不是对立事件，A错误；
B、甲、乙不能同时发生， 甲与乙是互斥事件，B正确；
C、，，丙与丁不相互独立，C错误；
D、，，甲与丁相互独立 D正确.
故答案为：BD.
【分析】先求出事件甲、乙、丙、丁对应的概率，再根据对立事件都概率和是否为1，互斥事件的概念，独立事件的概率公式判断选项.
12．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：AB、若事件相互独立，，事件不互斥 ，A错误，B正确；
CD、 若事件互斥，，又，，事件不相互独立 ，C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可.
13．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、设事件为第一次结果为数字，事件为第一次结果为符号，则，第一次结果为数字和第一次结果为符合互斥，A正确；
B、设事件为第二次结果为符号，则{(0， √ )，(1， √ )，(2， √ )，(3， √ )，(4， √ )，(5， √ )，(6， √ )，(7， √ )，(8， √ )，(9， √ )，(0， × )，(1， × )，(2， × )，(3， × )，(4， × )，(5， × )，(6， × )，(7， × )，(8 × )，(9， × )}，
，又，，，第一次结果为数字与第二次结果为符号独立，B错误；
C、第一次结果为奇数的概率为，第一次结果为偶数的概率为，C正确；
D、两次结果都为数字，且数字之和为的基本事件有(1，5)，(2，4)(3，3)，(4，2)(5，1)，概率为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A、事件；B、计算出；C、求出第一次结果为奇数的概率和第一次结果为偶数的概率进行比较；D、列举出两次结果都为数字，且数字之和为的基本事件，进而求出概率.
14．【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】对A：因为，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，故A错误；
对B：，所以，所以事件A与B相互独立，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对A：由可判断；对B：由可判断；对C：计算即可判断；对D：由对立事件的概率公式即可判断.
15．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】用实数对，，表示事件，共有36种结果，
事件A：、、、、、
事件B：、、、、、、、、、、、、、、、、、
事件C：、、、
A、因为事件A与事件C不可能同时发生，所以事件A与C互斥 ，A正确；
B、 事件D对立事件为“奇数点没有出现过”：、、、、 、、、、，概率为，所以事件D概率为，B正确；
C、由B知C错误；
D、事件B概率为，事件C概率为，
事件BC为“ 第二次掷出的点数是偶数且两次掷出的点数之和是5”有、，概率为， 所以 即事件B与C相互独立，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据事件互斥的定义判断；
B、 利用对立事件求解 ；
C、结合B选项根据事件对立的定义判断；
D、根据相互独立事件的概率公式判断。
16．【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，所以，A不符合题意；
对于B，因为与互斥，所以，B符合题意；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，C不符合题意；
对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意，由相互独立事件、互斥事件概率的性质，逐项进行判断，可得答案.
17．【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】设为独孤队第局获胜，根据题意，独孤队获胜的可能结果为，所以独孤队获胜的概率为.
故答案为：0.236.
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概率计算即可.
18．【答案】0.32
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，且各场比赛结果相互独立，设甲队以4：1获胜的概率是.
甲队以4：1获胜 的情况有：
前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
所以 甲队以4：1获胜的概率.
故答案为：0.32.
【分析】根据题意，甲队以4：1获胜可分为前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜；
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，分别计算每种情况的概率，从而求得甲队以4：1获胜的概率.
19．【答案】
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和， 甲、乙两人投篮的结果互不影响 ，
根据相互独立事件的概率公式，甲、乙两人至少有一个投中的概率为
故答案为： .
【分析】 根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计公式进行计算，即可得答案.
20．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为 ，且事件A，B，C两两相互独立，，
则，解得，
所以 P（A）＝ .
故答案为： .
【分析】根据独立事件的性质以及对立事件概率的求法列式求解.
21．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设 乙、丙2位同学中答对这道题的概率分别为，
由题意可得，解得，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为
.
故答案为： .
【分析】设 乙、丙2位同学中答对这道题的概率分别为，根据题意结合对立事件以及独立事件概率公式可得，进而结合互斥事件概率加法公式运算求解.
22．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为3/8，
所以，整理得：x+y-xy= ，
所以该同学1所大学招生考试未通过的概率为：
(1-x)(1-y)(1- )= (1-x-y+xy)=1/8，
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为：7/8，
故答案是：7/8.
【分析】利用独立性乘法公式和对立事件求解.
23．【答案】①②④
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 与是独立事件， ，
，，①正确；
，②正确；
，③错误；
，④正确；
故答案为：①②④
【分析】利用对立事件判断①，利用独立事件的乘法公式判断②③④。
24．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】分两种情况讨论：
（1）第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；
（2）第一局乙胜，第二局甲胜：
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.
故答案为：.
【分析】 分两种情况讨论： (1) 第一局甲胜，第二局乙胜： (2)第一局乙胜，第二局甲胜，分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得甲、乙各胜一局的概率 .
25．【答案】（1）解：由题意得，人中恰有个人译出密码的概率为；
（2）解：2人中至少有人译出密码的概率．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)设事件A表示甲能译出密码，事件B表示乙能译出密码，，则恰有1人译出密码的情况为甲能译出密码乙不能译出密码或乙能译出密码甲不能译出密码，恰有1人译出密码的概率为，所以；
(2)2人中至少有1人译出密码的情况有三种分别是情况一两人都译出密码、情况二甲译出密码乙没有译出密码、情况三乙译出密码甲没有译出密码.对立事件是甲乙都没有译出密码.用1减去甲乙都译不出密码的概率 .
26．【答案】（1）解：结合题意得：，
解得：甲，乙，丙；
（2）解：密码能够被破译出的概率为：
．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
27．【答案】（1）解：设事件（，2，3）表示“甲选手能正确回答第i轮问题”，由已知，，，
设事件C表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，
则.
（2）解：设D表示“甲选手通过全部考核”，
则．
设事件（，2，3）表示“乙选手能正确回答第j轮问题”，
由已知，，，
设E表示“乙选手通过全部考核”，
则．
则至少有一名选手通过全部考核的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用独立事件概率的乘法公式求解即可；
（2）利用独立事件概率的乘法公式分别计算甲乙选手通过全部考核的概率，再利用对立事件概率公式求解即可.
28．【答案】（1）解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，
则，．
设只有一人投中为事件E，则
．
（2）解：若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．
设丁获胜为事件M，则．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1） 设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，则，，然后根据独立事件乘法公式计算即可得解；
（2）分情况讨论，甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次.根据独立重复事件公式计算即可得解.
29．【答案】（1）解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
∵乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：.
解得，.
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A，
则，
即团体总分为4分的概率为.
（3）解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为.
所以参加复赛的概率为.
即该小组参加复赛的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)由题意可知： 团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解；
(3) 若团体总分不小于4分，则团体总分为4分或6分，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解.
30．【答案】（1）解：设事件：甲投篮命中；事件：乙投篮命中；事件：丙投篮命中，
，，
甲、乙、丙各投篮一次，则甲和乙命中，丙不命中的概率为
．
所以甲、乙、丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率为0.21
（2）解：设事件：恰有一人命中．
所以
．
所以甲、乙、丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为0.29
（3）解：设事件：至少有一人命中．
所以.
所以甲、乙、丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.94
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
(2)根据相互独立事件的概率乘法公式及概率加法公式即可求解.
(3)利用正难则反易的思想，用对立事件的概率公式即可求解.
31．【答案】（1）解：依题意，设事件 “小张两轮都答对问题”， “小李两轮都答对问题”，
所以，．因为事件相互独立，
所以两人在两轮活动中都答对的概率为
（2）解：设事 “甲第一轮答对”， “乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”， “乙第二轮答对”， “两人在两轮活动中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，可得
，
故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为．
（3）解：设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，，，，
设事件 “两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且，，，分别相互独立，
所以．
所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况，根据题意利用事件的独立性与互斥性分析运算；
(3)分小张和小李均答对两个题目、均答对三个题目两种情况，利用独立事件运算求解.
32．【答案】（1）解：设乙获得购物券的概率，
顾客乙答对每道题目的概率为，则答错每道题目的概率为，若无放回的抽取，则乙获得购物券的概率
（2）解：设丙第二次获得购物券的概率，
若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，
则顾客丙第二次抽到不同题目的概率为，
所以求丙第二次获得购物券的概率.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)乙获得购物券有第一次答对和第一次答错第二次答对两种情况 ，根据独立事件的概率公式；
(2)丙第二次获得购物券，则第一次必然答错，第二次答对有第二次抽到相同题目和第二次抽到不同题目答对两种情况，分别求解概率相加即可.
33．【答案】（1）解：设“甲第轮猜对”为事件，“乙第轮猜对”为事件，
则，
记“经过两轮活动，两人共猜对2个成语”为事件C，
则事件有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对，
所以.
（2）解：记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件D，
则事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对，
所以，
所以
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 由题意可知：共猜对2个成语有甲全对、甲乙各对一个、乙全对，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对，结合独立事件概率乘法公式以及对立事件概率运算求解.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.2 事件的相互独立性 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·成都期中）若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】由已知 ，得 因为，得，所以， 所以事件与的关系为相互独立事件.
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断事件与的关系为相互独立事件.
2．（2019高二下·吉林期末）甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】所求概率为 .
故答案为：B.
【分析】由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。
3．（2023高二下·十堰期末）已知有编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个2号球，两个3号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下（ ）
A．第二次取到1号球的概率最大
B．第二次取到2号球的概率最大
C．第二次取到3号球的概率最大
D．第二次取到号球的概率都相同
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得：第二次取到1号球的概率；
第二次取到2号球的概率；
第二次取到3号球的概率.
因为，所以第二次取到2号球的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式分别求第二次取到1号球，2号球，3号球的概率，进而比较大小即可.
4．（2023高一下·苏州期末）已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 如果与互斥，则事件A，B不可能同时发生，所以如果与相互独立，则A与也相互独立，
故答案为：A
【分析】利用互斥事件不可能同时发生可得，再由相互独立事件的性质和乘法公式即可求解.
5．（2023高一下·湖南期末）一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为.
故答案为：A.
【分析】先根据题意求出灯不亮的概率，再结合对立事件运算求解.
6．（2023高一下·河南月考）在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为，，，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则（ ）
A．p与先做哪道题次序有关 B．第8题定为次序2，p最大
C．第12题定为次序2，p最大 D．第16题定为次序2，p最大
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：小明连对两题，则第二题为必对题，
若小明做的第二题为第8题，则做题顺序为12、8、16与16、8、12，且其概率均为，
记此时连对两题的概率为，
则
；
同理可得：若小明做的第二题为第12题，记连对两题的概率为，则；
若小明做的第二题为第16题，记连对两题的概率为，则；
可得：，
，
所以，
所以小明做的第二题为第16题，对于的最大.
故答案为：D.
【分析】先判断得小明连对两题，则第二题为必对题；再分别求得小明做的第二题为第8题、第12题与第16题对应的概率，从而利用作差法分析判断.
7．（2023高二下·福州期末）甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 记甲乙两人通过考试分别为事件M、N，则有，
则恰有一人通过的概率为P=P()P(N)+ P(M)P()=
故选： B.
【分析】 利用事件的独立性和互斥性公式，即可求出其中恰有一人通过的概率.
8．（2023高一下·海南期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记第次射击由甲射击，且命中为事件，第次射击由乙射击，且命中为事件.
由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有3种情况：
，
所以所求概率
故答案为：C.
【分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率加法公式可得.
9．（2023高一下·天河期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设出乙单独破译密码的概率为P，
甲乙合作破译密码有三种情况：
一种是甲破译乙未破译，一种是乙破译甲未破译，还有一种甲乙都破译，
所以我们可以反过来思考，只需要剔除甲乙同时未破译的概率
所以
所以.
故选：A.
【分析】根据独立事件密码破译的概率，相当于1减去甲乙同时未破译的概率，从而得到乙单独密码破译的概率.
10．（2023高二下·上虞月考）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的个数是（ ）
与互斥与对立与相互独立
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 事件：“”包含的基本事件有： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，事件 “ 为奇数 ”包含的基本事件有：(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，A与B不能同时发生，是互斥事件，故 正确；
A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故 错误；
(x， y)的所有可能结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 1，5) (1.6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3.4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4.3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) {6，5) (6，6)
，，，故 错误；
，，
则P(AC)=P(A)P(C)，A与C相互独立，故正确.
故选：C.
【分析】 利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义逐个进行求解判断，可得答案.
二、多项选择题
11．（2023高二上·常熟开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得、、、事件丁包含的基本事件有、、、、有5个，，
A、，甲与乙不是对立事件，A错误；
B、甲、乙不能同时发生， 甲与乙是互斥事件，B正确；
C、，，丙与丁不相互独立，C错误；
D、，，甲与丁相互独立 D正确.
故答案为：BD.
【分析】先求出事件甲、乙、丙、丁对应的概率，再根据对立事件都概率和是否为1，互斥事件的概念，独立事件的概率公式判断选项.
12．（2023高二下·河北期末）若，，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件相互独立，则事件也互斥
B．若事件相互独立，则事件不互斥
C．若事件互斥，则事件也相互独立
D．若事件互斥，则事件不相互独立
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：AB、若事件相互独立，，事件不互斥 ，A错误，B正确；
CD、 若事件互斥，，又，，事件不相互独立 ，C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可.
13．（2023高一下·达州期末）由均匀材质制成的一个正12面体，每个面上分别印有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，√，×投掷这个正12面体2次，把朝上一面的数字或符号作为投掷结果．则（ ）
A．第一次结果为数字和第一次结果为符号互斥
B．第一次结果为数字与第二次结果为符号不独立
C．第一次结果为奇数的概率等于第一次结果为偶数的概率
D．两次结果都为数字，且数字之和为6的概率为
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、设事件为第一次结果为数字，事件为第一次结果为符号，则，第一次结果为数字和第一次结果为符合互斥，A正确；
B、设事件为第二次结果为符号，则{(0， √ )，(1， √ )，(2， √ )，(3， √ )，(4， √ )，(5， √ )，(6， √ )，(7， √ )，(8， √ )，(9， √ )，(0， × )，(1， × )，(2， × )，(3， × )，(4， × )，(5， × )，(6， × )，(7， × )，(8 × )，(9， × )}，
，又，，，第一次结果为数字与第二次结果为符号独立，B错误；
C、第一次结果为奇数的概率为，第一次结果为偶数的概率为，C正确；
D、两次结果都为数字，且数字之和为的基本事件有(1，5)，(2，4)(3，3)，(4，2)(5，1)，概率为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A、事件；B、计算出；C、求出第一次结果为奇数的概率和第一次结果为偶数的概率进行比较；D、列举出两次结果都为数字，且数字之和为的基本事件，进而求出概率.
14．（2023高一下·广州期末）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则（ ）
A．事件A与B互为对立 B．事件A与B相互独立
C． D．
【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】对A：因为，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，故A错误；
对B：，所以，所以事件A与B相互独立，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对A：由可判断；对B：由可判断；对C：计算即可判断；对D：由对立事件的概率公式即可判断.
15．（2023高一下·湖州期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件A与C互斥 B．
C．事件B与D对立 D．事件B与C相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】用实数对，，表示事件，共有36种结果，
事件A：、、、、、
事件B：、、、、、、、、、、、、、、、、、
事件C：、、、
A、因为事件A与事件C不可能同时发生，所以事件A与C互斥 ，A正确；
B、 事件D对立事件为“奇数点没有出现过”：、、、、 、、、、，概率为，所以事件D概率为，B正确；
C、由B知C错误；
D、事件B概率为，事件C概率为，
事件BC为“ 第二次掷出的点数是偶数且两次掷出的点数之和是5”有、，概率为， 所以 即事件B与C相互独立，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据事件互斥的定义判断；
B、 利用对立事件求解 ；
C、结合B选项根据事件对立的定义判断；
D、根据相互独立事件的概率公式判断。
16．（2023·大庆模拟）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，所以，A不符合题意；
对于B，因为与互斥，所以，B符合题意；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，C不符合题意；
对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意，由相互独立事件、互斥事件概率的性质，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
17．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】设为独孤队第局获胜，根据题意，独孤队获胜的可能结果为，所以独孤队获胜的概率为.
故答案为：0.236.
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概率计算即可.
18．（2023高二上·长沙开学考）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
【答案】0.32
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，且各场比赛结果相互独立，设甲队以4：1获胜的概率是.
甲队以4：1获胜 的情况有：
前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
所以 甲队以4：1获胜的概率.
故答案为：0.32.
【分析】根据题意，甲队以4：1获胜可分为前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜；
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，分别计算每种情况的概率，从而求得甲队以4：1获胜的概率.
19．（2023高一下·保山期末）弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和.现两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为 .
【答案】
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和， 甲、乙两人投篮的结果互不影响 ，
根据相互独立事件的概率公式，甲、乙两人至少有一个投中的概率为
故答案为： .
【分析】 根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计公式进行计算，即可得答案.
20．（2023高一下·联合期末）已知事件A，B，C两两相互独立，若，则P（A）＝ ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为 ，且事件A，B，C两两相互独立，，
则，解得，
所以 P（A）＝ .
故答案为： .
【分析】根据独立事件的性质以及对立事件概率的求法列式求解.
21．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 .
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设 乙、丙2位同学中答对这道题的概率分别为，
由题意可得，解得，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为
.
故答案为： .
【分析】设 乙、丙2位同学中答对这道题的概率分别为，根据题意结合对立事件以及独立事件概率公式可得，进而结合互斥事件概率加法公式运算求解.
22．（2023高二下·酒泉期末）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为3/8，
所以，整理得：x+y-xy= ，
所以该同学1所大学招生考试未通过的概率为：
(1-x)(1-y)(1- )= (1-x-y+xy)=1/8，
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为：7/8，
故答案是：7/8.
【分析】利用独立性乘法公式和对立事件求解.
23．（2023高二下·杨浦期末）已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是 .（填序号）
【答案】①②④
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 与是独立事件， ，
，，①正确；
，②正确；
，③错误；
，④正确；
故答案为：①②④
【分析】利用对立事件判断①，利用独立事件的乘法公式判断②③④。
24．（2023·内江模拟）甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】分两种情况讨论：
（1）第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；
（2）第一局乙胜，第二局甲胜：
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.
故答案为：.
【分析】 分两种情况讨论： (1) 第一局甲胜，第二局乙胜： (2)第一局乙胜，第二局甲胜，分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得甲、乙各胜一局的概率 .
四、解答题
25．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1） 2人中恰有个人译出密码的概率；
（2） 2人中至少有人译出密码的概率．
【答案】（1）解：由题意得，人中恰有个人译出密码的概率为；
（2）解：2人中至少有人译出密码的概率．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)设事件A表示甲能译出密码，事件B表示乙能译出密码，，则恰有1人译出密码的情况为甲能译出密码乙不能译出密码或乙能译出密码甲不能译出密码，恰有1人译出密码的概率为，所以；
(2)2人中至少有1人译出密码的情况有三种分别是情况一两人都译出密码、情况二甲译出密码乙没有译出密码、情况三乙译出密码甲没有译出密码.对立事件是甲乙都没有译出密码.用1减去甲乙都译不出密码的概率 .
26．（2023高二上·江汉开学考）甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为，甲、丙都译出密码的概率为，乙、丙都译出密码的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；
（2）求密码被破译的概率．
【答案】（1）解：结合题意得：，
解得：甲，乙，丙；
（2）解：密码能够被破译出的概率为：
．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
27．（2023高二上·端州开学考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（2）求至少有一名选手通过全部考核的概率．
【答案】（1）解：设事件（，2，3）表示“甲选手能正确回答第i轮问题”，由已知，，，
设事件C表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，
则.
（2）解：设D表示“甲选手通过全部考核”，
则．
设事件（，2，3）表示“乙选手能正确回答第j轮问题”，
由已知，，，
设E表示“乙选手通过全部考核”，
则．
则至少有一名选手通过全部考核的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用独立事件概率的乘法公式求解即可；
（2）利用独立事件概率的乘法公式分别计算甲乙选手通过全部考核的概率，再利用对立事件概率公式求解即可.
28．（2023高二上·贵港开学考）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；
（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．
【答案】（1）解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，
则，．
设只有一人投中为事件E，则
．
（2）解：若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．
设丁获胜为事件M，则．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1） 设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，则，，然后根据独立事件乘法公式计算即可得解；
（2）分情况讨论，甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次.根据独立重复事件公式计算即可得解.
29．（2023高二上·双鸭山开学考）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的频率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.
【答案】（1）解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
∵乙丙独立闯关，
根据独立事件同时发生的概率公式得：.
解得，.
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A，
则，
即团体总分为4分的概率为.
（3）解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为.
所以参加复赛的概率为.
即该小组参加复赛的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)由题意可知： 团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解；
(3) 若团体总分不小于4分，则团体总分为4分或6分，结合互斥事件概率和独立事件概率乘法公式运算求解.
30．（2023高一下·苏州期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5.
（1）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率；
（2）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率.
【答案】（1）解：设事件：甲投篮命中；事件：乙投篮命中；事件：丙投篮命中，
，，
甲、乙、丙各投篮一次，则甲和乙命中，丙不命中的概率为
．
所以甲、乙、丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率为0.21
（2）解：设事件：恰有一人命中．
所以
．
所以甲、乙、丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为0.29
（3）解：设事件：至少有一人命中．
所以.
所以甲、乙、丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.94
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
(2)根据相互独立事件的概率乘法公式及概率加法公式即可求解.
(3)利用正难则反易的思想，用对立事件的概率公式即可求解.
31．（2023高一下·河南月考）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；
（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
【答案】（1）解：依题意，设事件 “小张两轮都答对问题”， “小李两轮都答对问题”，
所以，．因为事件相互独立，
所以两人在两轮活动中都答对的概率为
（2）解：设事 “甲第一轮答对”， “乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”， “乙第二轮答对”， “两人在两轮活动中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，可得
，
故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为．
（3）解：设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，，，，
设事件 “两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且，，，分别相互独立，
所以．
所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况，根据题意利用事件的独立性与互斥性分析运算；
(3)分小张和小李均答对两个题目、均答对三个题目两种情况，利用独立事件运算求解.
32．（2023高一下·达州期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的．
（1）顾客乙答对每道题目的概率为，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率：
（2）顾客丙首次答对每道题目的概率为，对相同题目答对的概率为．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，求丙第二次获得购物券的概率．
【答案】（1）解：设乙获得购物券的概率，
顾客乙答对每道题目的概率为，则答错每道题目的概率为，若无放回的抽取，则乙获得购物券的概率
（2）解：设丙第二次获得购物券的概率，
若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，
则顾客丙第二次抽到不同题目的概率为，
所以求丙第二次获得购物券的概率.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)乙获得购物券有第一次答对和第一次答错第二次答对两种情况 ，根据独立事件的概率公式；
(2)丙第二次获得购物券，则第一次必然答错，第二次答对有第二次抽到相同题目和第二次抽到不同题目答对两种情况，分别求解概率相加即可.
33．（2023高一下·广州期末）甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；
（2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.
【答案】（1）解：设“甲第轮猜对”为事件，“乙第轮猜对”为事件，
则，
记“经过两轮活动，两人共猜对2个成语”为事件C，
则事件有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对，
所以.
（2）解：记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件D，
则事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对，
所以，
所以
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 由题意可知：共猜对2个成语有甲全对、甲乙各对一个、乙全对，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对，结合独立事件概率乘法公式以及对立事件概率运算求解.
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