2023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.3 频率与概率 同步练习
一、选择题
1．（2024高三上·成都模拟）关于圆周率，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对，且要求，均小于1；再统计、和1作为三边长能形成钝角三角形的数对的个数；最后利用统计结果估计值．假如某次实验结果得到，那么本次实验可以将值估计为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·河北月考）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
3．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高二下·赤峰月考）从区间[0，1]内随机抽取2n个数 ， ，… ， ，.. ， 构成n个数对( ， )，…，( ， )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高二上·湖北期中）为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为 ，若圆环的半径为1，则比值 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高二上·哈尔滨期末）哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为 的正方形区域内随机投掷 个点，其中落入黑色部分的有 个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·河北模拟）如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（普通高等学校招生全国统一考试2018届高三下学期文数第二次调研试卷）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请120名同学每人随机写下一个 都小于1的正实数对 ，再统计其中 能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数m，最后根据统计个数m估计 的值.如果统计结果是 ，那么可以估计 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·宣城模拟）通过模拟试验，产生了20组随机数
7130 3013 7055 7430 7740
4122 7884 2604 3346 0952
6107 9706 5774 5725 6576
5929 1768 6071 9138 6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2017高二下·赣州期末）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019高二上·黑龙江期末）如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为 ．
12．（高中数学人教新课标A版必修3 第三章 概率 3.3几何概型）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）
13．（2017·泰安模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，在正方形ABCD中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ．
14．（2017·桂林模拟）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ．（用分数表示）
15．（2017·凉山模拟）已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 ．
16．（2017高二上·抚州期末）已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且 + +2 = ，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是 ．
17．（2017高二上·荆门期末）由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1，x2，…xn，y1，y2，…yn，构成n个数对（x1，y1），（x2y2），…（xn，yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
18．（2016高一下·福州期中）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）
三、解答题
19．（2016高二上·孝感期中）解答题
（1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）．
20．（2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
21．（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1，x2，…，xn的平均数）
22．为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【解答】解：因为 ，均小于1 ，即，构成一个边长为1的正方形，又、和1作为三边长能形成钝角三角形，则，其围成的阴影部分面积为，
由几何概型的概率计算公式得形成钝角三角形的概率为，解得.
故答案为：C.
【分析】作出示意图，利用几何概型的概率计算公式求出、和1作为三边长能形成钝角三角形的概率即可得到的估计值.
2．【答案】A
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
3．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
4．【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1- π 12，
∴ =1- ，
∴π ．
故答案为：D．
【分析】求出平面区域的面积，即可用随机模拟的方法得到圆周率的近似值.
5．【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】设“五环及其内部所占面积”为 ，则 ，故 ，
故答案为：C.
【分析】由已知随机模拟的方法 ，得到，即可求出 的近似值 .
6．【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】设黑色部分的面积为 ，
正方形二维码边长为4，
在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，
，解得 ，
据此可估计黑色部分的面积为9，
故答案为：C.
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何概型公式列式，即可估计黑色部分的面积.
7．【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】先设正方形的边长为2，求出两个半圆的并集所在区域的面积，再与正方形的面积求比值，即可得概率.
8．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意 对都小于 的正实数 ，满足 ，面积为 ，
两个数能与 构成钝角三角形的三边的数对 ，满足 且 ，
面积为 ，
因为统计两数能与 构成钝角三角形三边的数对 的个数为 ，
则 ，所以 ，
故答案为B.
【分析】由题意，可先求120 对都小于 1 的正实数 ( x ， y ) 对应区域面积 ，再求两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对所对应区域面积，两者相比与模拟数之比对应可得结论.
9．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】20组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，有3013， 2604，5725，6576四组，因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
故答案为：B.
【分析】计算20组随机数中符合条件的随机数组数即可得出答案．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
10．【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为 =17，
设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．
∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣ =1﹣ ．
故答案为：D．
【分析】求出内切圆半径，注意直角三角形内切圆半径等于两直角边和减去斜边的差的一半。计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
11．【答案】0.38
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何槪型的概率公式列式，即可估计红心阴影部分的面积.
12．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】记“黄豆落在正方形区域内”为事件 ，则 ， 平方米.
【分析】利用模拟随机变量的方法估计概率进而求出不规则图形的面积。
13．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），
设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p= ，∴y= ，
∴S= = = ，
∴点P恰好取自阴影部分的概率为 = ，
故答案为： ．
【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可求出概率．
14．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案为： ．
【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
15．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，符合几何概型，
故设阴影部分的面积为S，则 ，
∴S= ．
故答案为 ．
【分析】设阴影部分的面积为S，则 ，即可得出结论．
16．【答案】1500粒
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则 + = ，
∵ + +2 = ，
∴ + =﹣2 ，
得： =﹣2 ，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P= ，
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．
故答案为1500粒．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．
17．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且
面积为 ，所以 ，得π= ．
故答案为 ．
【分析】利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且 ，面积为 ，结合面积比，即可得出结论．
18．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，
∴P（A）= = ，
∴S不规则图形= 平方米，
故答案为： ．
【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．
19．【答案】（1）解：如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S阴影部分/S正方形ABCD =，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为 ．
（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 Ω = { ( x ， y ) | { 0 < x < 1 ；0 < y < 1 } ，
，即正方形ABCD内部；
事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域
，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分；
由（1）知：
全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的（x，y）共有12对，即有12个点落在区域N中，
故其概率为，用频率估计概率，有，即，
∴即π的近似值为3.143．
【知识点】模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形ABCD内部；事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
20．【答案】（1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9种．由表格可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴
【知识点】等可能事件的概率；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
21．【答案】（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【知识点】极差、方差与标准差；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
22．【答案】（1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 10.3 频率与概率 同步练习
一、选择题
1．（2024高三上·成都模拟）关于圆周率，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对，且要求，均小于1；再统计、和1作为三边长能形成钝角三角形的数对的个数；最后利用统计结果估计值．假如某次实验结果得到，那么本次实验可以将值估计为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【解答】解：因为 ，均小于1 ，即，构成一个边长为1的正方形，又、和1作为三边长能形成钝角三角形，则，其围成的阴影部分面积为，
由几何概型的概率计算公式得形成钝角三角形的概率为，解得.
故答案为：C.
【分析】作出示意图，利用几何概型的概率计算公式求出、和1作为三边长能形成钝角三角形的概率即可得到的估计值.
2．（2020高二上·河北月考）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】A
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
3．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
4．（2019高二下·赤峰月考）从区间[0，1]内随机抽取2n个数 ， ，… ， ，.. ， 构成n个数对( ， )，…，( ， )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1- π 12，
∴ =1- ，
∴π ．
故答案为：D．
【分析】求出平面区域的面积，即可用随机模拟的方法得到圆周率的近似值.
5．（2019高二上·湖北期中）为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为 ，若圆环的半径为1，则比值 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】设“五环及其内部所占面积”为 ，则 ，故 ，
故答案为：C.
【分析】由已知随机模拟的方法 ，得到，即可求出 的近似值 .
6．（2019高二上·哈尔滨期末）哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为 的正方形区域内随机投掷 个点，其中落入黑色部分的有 个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】设黑色部分的面积为 ，
正方形二维码边长为4，
在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，
，解得 ，
据此可估计黑色部分的面积为9，
故答案为：C.
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何概型公式列式，即可估计黑色部分的面积.
7．（2018·河北模拟）如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】先设正方形的边长为2，求出两个半圆的并集所在区域的面积，再与正方形的面积求比值，即可得概率.
8．（普通高等学校招生全国统一考试2018届高三下学期文数第二次调研试卷）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请120名同学每人随机写下一个 都小于1的正实数对 ，再统计其中 能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数m，最后根据统计个数m估计 的值.如果统计结果是 ，那么可以估计 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意 对都小于 的正实数 ，满足 ，面积为 ，
两个数能与 构成钝角三角形的三边的数对 ，满足 且 ，
面积为 ，
因为统计两数能与 构成钝角三角形三边的数对 的个数为 ，
则 ，所以 ，
故答案为B.
【分析】由题意，可先求120 对都小于 1 的正实数 ( x ， y ) 对应区域面积 ，再求两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对所对应区域面积，两者相比与模拟数之比对应可得结论.
9．（2018·宣城模拟）通过模拟试验，产生了20组随机数
7130 3013 7055 7430 7740
4122 7884 2604 3346 0952
6107 9706 5774 5725 6576
5929 1768 6071 9138 6254
每组随机数中，如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】20组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，有3013， 2604，5725，6576四组，因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
故答案为：B.
【分析】计算20组随机数中符合条件的随机数组数即可得出答案．在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
10．（2017高二下·赣州期末）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为 =17，
设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．
∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣ =1﹣ ．
故答案为：D．
【分析】求出内切圆半径，注意直角三角形内切圆半径等于两直角边和减去斜边的差的一半。计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
二、填空题
11．（2019高二上·黑龙江期末）如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为 ．
【答案】0.38
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何槪型的概率公式列式，即可估计红心阴影部分的面积.
12．（高中数学人教新课标A版必修3 第三章 概率 3.3几何概型）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】记“黄豆落在正方形区域内”为事件 ，则 ， 平方米.
【分析】利用模拟随机变量的方法估计概率进而求出不规则图形的面积。
13．（2017·泰安模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，在正方形ABCD中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ．
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），
设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p= ，∴y= ，
∴S= = = ，
∴点P恰好取自阴影部分的概率为 = ，
故答案为： ．
【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可求出概率．
14．（2017·桂林模拟）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ．（用分数表示）
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案为： ．
【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
15．（2017·凉山模拟）已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 ．
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，符合几何概型，
故设阴影部分的面积为S，则 ，
∴S= ．
故答案为 ．
【分析】设阴影部分的面积为S，则 ，即可得出结论．
16．（2017高二上·抚州期末）已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且 + +2 = ，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是 ．
【答案】1500粒
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则 + = ，
∵ + +2 = ，
∴ + =﹣2 ，
得： =﹣2 ，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P= ，
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．
故答案为1500粒．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．
17．（2017高二上·荆门期末）由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1，x2，…xn，y1，y2，…yn，构成n个数对（x1，y1），（x2y2），…（xn，yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且
面积为 ，所以 ，得π= ．
故答案为 ．
【分析】利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且 ，面积为 ，结合面积比，即可得出结论．
18．（2016高一下·福州期中）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，
∴P（A）= = ，
∴S不规则图形= 平方米，
故答案为： ．
【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．
三、解答题
19．（2016高二上·孝感期中）解答题
（1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）．
【答案】（1）解：如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S阴影部分/S正方形ABCD =，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为 ．
（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 Ω = { ( x ， y ) | { 0 < x < 1 ；0 < y < 1 } ，
，即正方形ABCD内部；
事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域
，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分；
由（1）知：
全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的（x，y）共有12对，即有12个点落在区域N中，
故其概率为，用频率估计概率，有，即，
∴即π的近似值为3.143．
【知识点】模拟方法估计概率；几何概型
【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形ABCD内部；事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
20．（2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
【答案】（1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9种．由表格可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴
【知识点】等可能事件的概率；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
21．（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1，x2，…，xn的平均数）
【答案】（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【知识点】极差、方差与标准差；模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
22．为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
【答案】（1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
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