湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含解析）

2023年湖北省云学名校联盟高一年级12月联考数学试卷及答案
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在下列区间中，函数，则零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.如果，，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域是，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6.升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为，t小时后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有A、B两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，A、B两个物体的温度分别为、，假设A、B两个物体的升温系数分别为、，则( )
A. B. C. D.
7.设，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，，，，有成立，则实数x的取值集合为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “，且”是“"的充要条件
C. 函数，则函数的单调递增区间为
D. 函数其中且的图象过定点
10.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. ab的最大值为
C. 的最小值为4 D. 的最小值为
11.通过对函数，其中且的性质研究，下列关于其性质的说法正确的是( )
A. 函数的图象关于原点成中心对称
B. 函数与函数不是同一函数
C. 当时，函数的值域为R
D. 当时，令，则不等式的解集为
12.函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，，则( )
A. B.
C. D. 函数有3个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知是幂函数，且，则实数__________.
14.若关于x的方程在区间内有实根，则实数a的取值范围是__________.
15.同构式通俗的讲是结构相同的表达式.如：，，称与
为同构式.已知实数，满足，，则__________.
16.已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，对任意的x有，则__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分
求值：
18.本小题12分
已知，全集，集合，函数的定义域为
当时，求
若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
19.本小题12分
已知函数为奇函数.
求实数a的值;
若函数是定义在R上的奇函数，若，使得成立，求实数m的取值范围.
20.本小题12分
已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，
判断并证明的单调性;
当时，求关于x的不等式的解集.
21.本小题12分
泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内以30天计，每公斤的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足，日销售量单位：公斤是时间取整数，单位：天的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：、、、、
李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①②③④结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式;
设该泡泡青个体销售点日销售收入为单位：元，求的最小值四舍五入，精确到整数
22.本小题12分
已知函数，
当时，函数的最小值为5，求实数m的取值范围;
对于函数和，若满足：对，，有成立，称函数是在区间D上的“相伴不减函数”，若函数是在区间的“相伴不减函数”，求实数m的取值范围.
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.
求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可.
【解答】
解：由，即，即，即，
由 ，解得，即，
则
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数零点的判断方法，属于基础题.
由函数的解析式可得，再利用函数的零点的判定定理即可求解．
【解答】
解：函数在R上连续且单调递增，
，
，
故，
所以函数，则零点所在的区间为
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
取可判断AC；根据不等式的性质可判断
【解答】
解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查求抽象函数及具体函数的定义域，属于基础题，属于基础题.
由函数的定义域求得的定义域，进而结合对数函数的定义域可求的定义域.
【解答】
解： 函数 的定义域为 ，
，
所以 的定义域为 ，
由题得，
所以，所以函数的定义域为，
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题.
根据函数的奇偶性及特殊值，结合排除法求出结果.
【解答】
解：函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
又，排除C，
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指对数的实际问题，属于中档题.
由已知可得出 ，变形可得 ，化简计算即可.
【解答】
解：由题意可得 ，则 ，
化简可得 ，所以， ，
即 .
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题.
比较出，利用时，在上为减函数，即可求出结果.
【解答】
解：因为，
所以，，，
又，，
所以，
当时，在上为减函数，
所以
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指对数函数的性质，考查一元二次不等式及指数不等式的求解，属于一般题.
，根据对数函数与复合函数的单调性可得时，设，根据一次函数的性质可得，由题意可得，即，解不等式即可.
【解答】
解：，
当，在上单调递减，且，
所以时，
设，
因为，所以，即
由题意可得，
所以，即，解得或舍，
所以
所以实数x的取值集合为
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了存在量词命题的否定、充要条件的判断、复合函数的单调性及对数型函数过定点的问题，属于中档题．
根据存在量词命题的否定判断A，根据不等式的性质及特殊值判断B，根据复合函数的单调性判断C，根据对数型函数性质判断
【解答】
解：命题“，”的否定是“，”，故A正确；
B.“，且”能推出，反之不一定成立，例如，故B错误；
C.设，则，由，解可得或，
在区间上，，且是增函数，在上单调递增，
在区间上，，且为减函数，故在上单调递减，
则函数的单调递增区间为，C错误．
D.令，可得，
所以过定点，故D正确.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式求最值，属于中档题。
由二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式，依次判断选项即可.
【解答】
解：由题意，，且方程的两根为和，
所以，，
所以，，所以，A错误;
因为，，所以，可得，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，C正确；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以D正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的定义域与值域、考查对数函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于一般题.
先求出函数的定义域，根据奇偶性的定义可判断A；求出的定义域，根据对数的运算及同一函数的概念可判断B；分离常数，结合对数函数的性质可判断C；根据函数的奇偶性可将转化为，根据函数的定义域及单调性即可判断
【解答】
解：对于A，因为，
所以函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数，其图象关于原点中心对称，故A正确;
对于B，令，可得，
所以的定义域为，
且，
所以函数与函数是同一函数，故B错误;
对于C，，
因为，所以，，，
因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以
由，可得，即
因为函数为奇函数，所以
因为，，所以在上单调递减.
由，可得，解得，故D正确.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分段函数的图像，考查基本不等式，属于较难题．
在同一直角坐标系中分别画出函数与函数的图像，由图像可得判断A；根据二次函数与对数函数的图像与性质可得，，且，结合基本不等式可判断BC；由，可得或，结合图像可判断
【解答】
解：在同一直角坐标系中分别画出函数与函数的图像，如下图所示：
对于A，由图可知：当时，满足函数与函数有四个不同的交点，故A不正确；
对于B，因为，
所以，即，即，
所以，故B正确；
对于C，的对称轴为，所以，且，
所以，且，
所以故C正确；
由，可得或，
所以由，可得或
由图可得方程无解，有3个解，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题目.
根据幂函数定义确定m的取值，再根据条件得到结果.
【解答】
解：由题意可得，解得或，
又，函数在第一象限单调递减，所以
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查方程的根以及函数的单调性和最值的运用，属于中档题.
由题意可得，再根据函数的单调性结合最值可得a的范围.
【解答】
解：由题意可得：区间内有实根，
由于函数在上是减函数，在上是增函数，
当时，y取得最小值2，
当x趋近于时，y趋近于，x趋近于2时，y趋近于，
的取值范围为
故答案为
15.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义，考查对数式的化简，考查指对互化，属于中档题.
由并结合已知条件易得，，易知在R上单调递增，则有，整理并化简即可求出的值.
【解答】
解：因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
则，
则，
又易知在R上单调递增，
所以，
则，
又，
所以，
所以，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性与对称性，属于较难题.
由题意，得的图象关于直线对称，关于点对称，求出函数的解析式，从而求出，即可.
【解答】
解：为偶函数，即，
故的图象关于直线对称，所以，
为奇函数，即，故的图象关于点对称，
所以
，均有，故，
所以，
与，联立求出，，
所以，，
所以
故答案为：
17.【答案】解：原式
原式

【解析】本题考查指数幂的运算，对数的运算，属于基础题.
利用指数幂的运算法则即可得出答案；
利用对数的运算法则即可得出答案.
18.【答案】解： ，
即 .当 时，
由 ，得 ，解得 ，即
，
.
由 是 的充分不必要条件，可知集合 B 是集合 A 的真子集．
所以 且两等号不能同时成立，
解得 ，
经检验符合集合 B 是集合 A 的真子集，所以a的取值范围是 .

【解析】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题.
根据指数和对数函数的单调性解不等式，即可根据集合的运算求解，
根据充分不必要条件，转化为集合间的关系分析即可求解.
19.【答案】解：因为为奇函数，
所以
，
所以，解得
当时，的定义域为R，满足题意；当时，的定义域为，满足题意.
因此，a的值为1或
为定义域为R，由知，
，
化简得
令，函数在区间上单调递减，，，
故m的取值范围为
【解析】本题考查指数型函数的图像与性质，考查函数的奇偶性，属于一般题.
根据，可得，求解即可；
由可得，由，得，根据指数函数的单调性即可求解.
20.【答案】解：令，解得，
又当时，可判断为减函数，
证明如下：
，依题意，
即，
因为，所以，
所以，因此，
即，所以为减函数.
原不等式可化为，
即：，
因单调递减，故成立，
即：，
，
当时，有，解为
当时，，解为
当时，，解为
综上：当时，解集为当时，解集为当时，解集为

【解析】本题考查函数的单调性和利用函数的单调性解不等式，属于中档题.
先赋值求得，可判断为减函数，再利用单调性定义证明；
利用已知，将原不等式化为，进一步化为，利用单调性化为的求解，对a分类讨论即可.
21.【答案】解：由题可知，图象上五点关于对称，且不单调，
故选第②种函数模型，即，此时，
将，，三点代入解析式中，
可得，解得
，且
当时，，
销售点的销售收入：
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故最小值可能为或
又元，元，
当时，，
，
在区间上单调递减，
，
综上元
【解析】本题考查函数模型的选择，考查分段函数模型，考查分段函数的最值，属于中档题.
根据图象上五点关于对称，且不单调，可知，且，代入点坐标求出a，b即可；
当时，，当时，，根据函数的单调性即可求解.
22.【答案】解：令，因为，所以，
则
，，
令，，
①当，即时，
在区间上单调递增，，
解得，成立;
②当，即时，
则在区间上单调递减，
则，
解得，舍去;
③当，即时，
在区间单调递减，单调递增，
则，
即，无解;
综上可知，
依题意可得，，，有，
又，
而在上单调递增，所以
原不等式可以化为在上恒成立;
由，
得，
即 ，
令，
因为，
所以，
则式可化为，
，
又
，
令，
函数在区间上单调递减，
，
则，
所以
【解析】本题考查由函数的最值求参，考查对勾函数的图象与性质，考查不等式的存在性与恒成立问题，考查函数的新定义，考查一元二次函数的图象与性质，属于较难题.
换元，令，，则，令，，再分，，三类分别讨论的最小值，即可求出m的值；
依题意有，，有，又，利用对勾函数的单调性可求出，则原不等式可以化为在上恒成立，即，换元，令，，可得，则，由此即可求出m的取值范围.