沪科版数学八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形 同步课堂测试
一、选择题
1．（2023八上·呈贡期中） 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·哈尔滨月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相组合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤的三边为a，b，c，且满足关系，则为等边三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021八上·颍东期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
4．（2021八上·兰陵期中）如下图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条边的中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
5．（2021八上·铜官期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
6．（2023八上·三台期中） 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为（ ）
A．（-3，1.5） B．（-4，1.5） C．（-3，2） D．（-4，2）
7．（2023八上·聊城月考）如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA-∠AEB'的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·涪城开学考）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3的顺序，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则∠AEF的度数为 ( )
A．120° B．108°
C．126° D．114°
二、填空题
9．（2020八上·江都月考）如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA= .
10．（2023八上·南宁期末）如图，为等腰直角三角形，若，，则点B的坐标为 .
11．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
12．（2022八上·余杭期中）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，三条角平分线交于点O．△CAO的面积等于9，则△ABO的面积= ．
13．（2020八上·义安期末）如图（1）的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE＝2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图（2）为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图（2）中，∠AED＝15°，则∠BCE的度数为 ．
三、解答题
14．（2022八上·安徽期末）在等腰中，，，，求m的值．
四、综合题
15．（2021八上·瑶海期末）已知的三边长分别为，，8．
（1）求的取值范围；
（2）如果是等腰三角形，求的值．
16．（2023八上·港南期末）已知，如图，为等边三角形，相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若于，求的长.
17．（2022八上·海曙期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠A的度数．
18．（2022八上·右玉期末）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且，交于点P，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（2020八上·肥东期末）如图， 是等边三角形，延长 到 使 ．点 是边 的中点，连接 并延长交 于 ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
20．（2020八上·桐城期末）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由：
（3）探究：当 为多少度时， ？
21．（2021八上·凤阳期末）在等腰三角形△ABC中，，D、E分别为AB、BC上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点C作，垂足为H，若，．
①求证：；
②求CE－BE的值．
22．（2021八上·霍邱期末）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：图形是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：图形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图形是轴对称图形，所以C不符合题意；
D：图形是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别即可得出答案；
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤∵（a-b）（b-c）（c-a）=0，∴a=b或b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，判断①错误、②正确；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，判断③错误；
根据线段的垂直平分线的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，判断④正确；
根据条件得a=b，b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，判断⑤错误．
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，
则垂直平分，垂直平分，
，
周长为，
由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得：，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
的最小值是3，
周长的最小值是3，
故答案为：A．
【分析】作点关于、的对称点、，连接，由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，再求出的最小值是3，即可得到周长的最小值是3。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可。
5．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
【分析】过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，利用“AAS”证明△AHC≌△BCG可得CH=CG，再利用角平分线的判定方法可得CE平分∠BEF，最后利用角平分线的定义可得∠BEC=。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：过点C作C⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAB=90°
∵∠AOB=90°
∴
∴
在△ACD和△BAO中
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴CD=AO，AD=BO
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1)
∴CD=AO=2，AD=BO=1
∴DO=3
∵点C在第三象限
∴点C的坐标为（-3，2）
故答案为：C
【分析】过点C作C⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，根据等腰直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△BAO，则CD=AO，AD=BO，根据A，B点坐标可得CD=AO=2，AD=BO=1，则DO=3，再根据第三象限点的坐标特征即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】 ∵∠DFC'＝α，
∴∠CFE＝，
∵，
∴∠CFE＝∠FEA=，
∠CFE+∠FEB=180°，
∴∠FEB=，
根据折叠的性质可得∠FEB'=FEB=，
∴∠AEB' =∠FEB'-∠FEA=，
∴∠FEA-∠AEB'=
故选：D.
【分析】根据折叠的性质可得∠FEB'=FEB=，再根据平行线的性质及角的和差求解即可.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠EFB-∠BFC=∠CFE=18°，
∴∠BFC=∠EFB-18°，
∵2∠EFB+∠BFC=180°，
∴3∠EFB-18°=180°，
∴∠EFB=66°，
∵AE//FB，
∴∠EFB+∠AEF=180°，
∴∠AEF=114°，
故答案为：114.
【分析】根据题意先求出∠BFC=∠EFB-18°，再求出∠EFB=66°，最后根据平行线的性质计算求解即可。
9．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，
∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，
∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD，
△ABD≌△FBD，
DE=DA，
DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC，
△DEC≌△DFC，
；
故答案为40°.
【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解.
10．【答案】(2，-1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图中，过点B作轴于点T.
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点B作轴于点T.证明，可得 ，，从而求出OT=CT-CO=1，即得点B坐标.
11．【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，OD⊥AC于点D，
∵三条角平分线交于点O，
∴OM=OD，
∵△CAO的面积为9
∴
解之：OD=3，
∴OM=3，
∴.
故答案为：6
【分析】过点O作OM⊥AB于点M，OD⊥AC于点D，利用角平分线的性质可证得OM=OD，利用△CAO的面积为9，可求出OM的长，再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
13．【答案】37.5°
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】在长方形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，
∵BE＝2AE，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AED＝15°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，
∴∠DED′＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
根据翻折的性质，∠CED′＝ ∠DED′＝ ×75°＝37.5°，
∴∠BCE＝∠CED′＝37.5°．
故答案为：37.5°．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ABE＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB＝60°，然后求出∠BED的度数，再根据平角等于180°求出∠DED′，然后根据翻折变换的性质求出∠CED′，再根据两直线平行，内错角相等解答．
14．【答案】解：解：当时，得，因为，故此三角形不存在；
当时，得，
解得：，
综上，m的值为9．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分类讨论，再利用等腰三角形的性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
15．【答案】（1）解：由题意得，
解得2（2）解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；
当m+2=8时，解得m=6，符合题意；
当2m=8时，解得m=4，符合题意；
∴如果是等腰三角形，的值为6或4．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系列出不等式组，再求解即可；
（2）分三种情况，再利用等腰三角形的性质求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是.
（3）解：∵于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=CA，∠BAE=∠C=60°，再根据SASA判断出△AEB≌△CDA；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质及等量代换可得∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，最后根据邻补角的定义即可算出答案；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠PBQ=30°，根据含30°角直角三角形的性质得BP=2PQ=14，进而由BE=BP+PE算出答案.
17．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，
∴AE=AC，
∴∠C=∠EAC，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠AEB=2∠C；
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE=EC，
∴△ABE和△AEC是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线
（2）解：如图：
（3）解：如图，当AD=BD，AC=DC时
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠CAD，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=∠DAC=（180°-∠C）=（180°-30°）=75°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠BAD=75°，
解之：∠BAD=37.5°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=37.5°+75°=112.5°；
当AD=BD=DC时，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=30°+30°=60°，
∴∠BAD=（180°-∠ADB）=（180°-60°）=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+30°=90°；
当AD=DB=AC时，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠ADC=30°，
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-30°-30°=120°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠BAD=30°，
∴∠BAD=15°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=15°+120°=135°；
∴∠BAC的度数为90°或112.5°或135°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AE=AC，利用等边对等角可得到∠C=∠EAC；再利用三角形的外角的性质可推出∠B=∠AEB，由此可得到AB=AE=EC；然后利用三角形的等腰分割线的定义可证得结论.
（2）利用∠B＝20°，∠C＝40°，这两个角的度数存在2倍关系，因此作等腰三角形ADB和等腰三角形ADC，使BD=AD=DC；根据∠A＝120°，∠C＝40°，可知120°=80°+40°，将∠BAC分成两个角使得∠BAD=80°，∠DAC=40°，然后画出图形即可.
（3）利用已知在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，分情况讨论：当AD=BD，AC=DC时，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠ADC=∠CAD，利用三角形的内角和定理求出∠ADC，∠DAC的度数；再利用三角形的外角的性质求出∠BAD的度数，然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入计算求出∠BAC的度数；当AD=BD=DC时，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠C=∠DAC=30°，利用三角形的外角的性质可求出∠ADB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAD的度数；然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入计算求出∠BAC的度数；当AD=DB=AC时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ADC，∠DAC的度数；再利用三角形的外角的性质求出∠BAD的度数，然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，可求出∠BAC的度数；综上所述可得到∠BAC的度数.
18．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证明为直角三角形，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得。
19．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD= AC，
∵ ，
∴CD=CE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，∴DE=BD，
∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2DF，
即DE=2DF．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°， 求出CD=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质，求出∠E=30°，求出∠EFB即可；
（2）连接BD，求出BD=ED，根据含30度角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案。
20．【答案】（1）证明： ，
，
，
是等边三角形．
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
等边三角形，
，
， ，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（1）（2）得， ， ，
．
若 ，则 ，
，
．
当 为140°是时， ．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）由以及等边三角形判定方法即可得出结论；
（2）利用可得出，进而求得；
（3）结合(1)(2)得求出，然后根据三角形内角和定理求出，再利用等边对等角即可得出结论。
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
在△ADC和△BED中，
（2）解：①证明：∵，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴CE＝DE；
②如图，在DE上取点F，使DF＝BE，
在△CDF和△DBE中，
，
∴，
∴CF＝DE＝CE，
又∵，
∴FH＝HE，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明即可；
（2）①根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得CE=DE；
②在DE上取点F，使DF＝BE，先利用“SAS”证明可得CF＝DE＝CE，再利用线段的和差可得。
22．【答案】（1）证明：∵点与点D关于的对称，
∴CN垂直平分AD，
∴CA=CD，
∵是等边三角形，
∴CA=CB，
∴CB=CD，
∴是等腰三角形；
（2）解：由（1）知：CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵是等边三角形，
∴∠BCA=60°，
∵CA=CD，CN⊥AD，
∴∠DCN=∠CAN=α，
∵∠CBD+∠CDB+∠ACD=∠CBD+∠CDB+∠ACB+∠DCN+∠CAN=180°，
∴2∠BDC+60°+2α=180°，
∴∠BDC=60°-α；
（3）证明：在上截取使，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴在和中，
∴．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得CA=CD，再利用等边三角形的性质可得CA=CB，所以CB=CD，即可得到 是等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得∠BCA=60°，再求出∠DCN=∠CAN=α，利用角的运算和等量代换可得2∠BDC+60°+2α=180°，即可得到∠BDC=60°-α；
（3）在上截取使，连接，先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 1沪科版数学八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形 同步课堂测试
一、选择题
1．（2023八上·呈贡期中） 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：图形是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：图形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图形是轴对称图形，所以C不符合题意；
D：图形是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义，分别进行识别即可得出答案；
2．（2023八上·哈尔滨月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相组合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤的三边为a，b，c，且满足关系，则为等边三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤∵（a-b）（b-c）（c-a）=0，∴a=b或b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，判断①错误、②正确；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线三线合一，判断③错误；
根据线段的垂直平分线的性质：到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，判断④正确；
根据条件得a=b，b=c或c=a，则△ABC为等腰三角形，判断⑤错误．
3．（2021八上·颍东期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，
则垂直平分，垂直平分，
，
周长为，
由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得：，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
的最小值是3，
周长的最小值是3，
故答案为：A．
【分析】作点关于、的对称点、，连接，由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，再求出的最小值是3，即可得到周长的最小值是3。
4．（2021八上·兰陵期中）如下图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条边的中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可。
5．（2021八上·铜官期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
【分析】过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，利用“AAS”证明△AHC≌△BCG可得CH=CG，再利用角平分线的判定方法可得CE平分∠BEF，最后利用角平分线的定义可得∠BEC=。
6．（2023八上·三台期中） 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为（ ）
A．（-3，1.5） B．（-4，1.5） C．（-3，2） D．（-4，2）
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：过点C作C⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAB=90°
∵∠AOB=90°
∴
∴
在△ACD和△BAO中
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴CD=AO，AD=BO
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1)
∴CD=AO=2，AD=BO=1
∴DO=3
∵点C在第三象限
∴点C的坐标为（-3，2）
故答案为：C
【分析】过点C作C⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，根据等腰直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△BAO，则CD=AO，AD=BO，根据A，B点坐标可得CD=AO=2，AD=BO=1，则DO=3，再根据第三象限点的坐标特征即可求出答案.
7．（2023八上·聊城月考）如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA-∠AEB'的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】 ∵∠DFC'＝α，
∴∠CFE＝，
∵，
∴∠CFE＝∠FEA=，
∠CFE+∠FEB=180°，
∴∠FEB=，
根据折叠的性质可得∠FEB'=FEB=，
∴∠AEB' =∠FEB'-∠FEA=，
∴∠FEA-∠AEB'=
故选：D.
【分析】根据折叠的性质可得∠FEB'=FEB=，再根据平行线的性质及角的和差求解即可.
8．（2023八上·涪城开学考）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3的顺序，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则∠AEF的度数为 ( )
A．120° B．108°
C．126° D．114°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠EFB-∠BFC=∠CFE=18°，
∴∠BFC=∠EFB-18°，
∵2∠EFB+∠BFC=180°，
∴3∠EFB-18°=180°，
∴∠EFB=66°，
∵AE//FB，
∴∠EFB+∠AEF=180°，
∴∠AEF=114°，
故答案为：114.
【分析】根据题意先求出∠BFC=∠EFB-18°，再求出∠EFB=66°，最后根据平行线的性质计算求解即可。
二、填空题
9．（2020八上·江都月考）如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA= .
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，
∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，
∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD，
△ABD≌△FBD，
DE=DA，
DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC，
△DEC≌△DFC，
；
故答案为40°.
【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解.
10．（2023八上·南宁期末）如图，为等腰直角三角形，若，，则点B的坐标为 .
【答案】(2，-1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图中，过点B作轴于点T.
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点B作轴于点T.证明，可得 ，，从而求出OT=CT-CO=1，即得点B坐标.
11．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
12．（2022八上·余杭期中）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，三条角平分线交于点O．△CAO的面积等于9，则△ABO的面积= ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，OD⊥AC于点D，
∵三条角平分线交于点O，
∴OM=OD，
∵△CAO的面积为9
∴
解之：OD=3，
∴OM=3，
∴.
故答案为：6
【分析】过点O作OM⊥AB于点M，OD⊥AC于点D，利用角平分线的性质可证得OM=OD，利用△CAO的面积为9，可求出OM的长，再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
13．（2020八上·义安期末）如图（1）的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE＝2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图（2）为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图（2）中，∠AED＝15°，则∠BCE的度数为 ．
【答案】37.5°
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】在长方形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，
∵BE＝2AE，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AED＝15°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，
∴∠DED′＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
根据翻折的性质，∠CED′＝ ∠DED′＝ ×75°＝37.5°，
∴∠BCE＝∠CED′＝37.5°．
故答案为：37.5°．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ABE＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB＝60°，然后求出∠BED的度数，再根据平角等于180°求出∠DED′，然后根据翻折变换的性质求出∠CED′，再根据两直线平行，内错角相等解答．
三、解答题
14．（2022八上·安徽期末）在等腰中，，，，求m的值．
【答案】解：解：当时，得，因为，故此三角形不存在；
当时，得，
解得：，
综上，m的值为9．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分类讨论，再利用等腰三角形的性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
四、综合题
15．（2021八上·瑶海期末）已知的三边长分别为，，8．
（1）求的取值范围；
（2）如果是等腰三角形，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，
解得2（2）解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；
当m+2=8时，解得m=6，符合题意；
当2m=8时，解得m=4，符合题意；
∴如果是等腰三角形，的值为6或4．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系列出不等式组，再求解即可；
（2）分三种情况，再利用等腰三角形的性质求解即可。
16．（2023八上·港南期末）已知，如图，为等边三角形，相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若于，求的长.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是.
（3）解：∵于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=CA，∠BAE=∠C=60°，再根据SASA判断出△AEB≌△CDA；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质及等量代换可得∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，最后根据邻补角的定义即可算出答案；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠PBQ=30°，根据含30°角直角三角形的性质得BP=2PQ=14，进而由BE=BP+PE算出答案.
17．（2022八上·海曙期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
（2）如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD，∠C＝30°，请直接写出∠A的度数．
【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，
∴AE=AC，
∴∠C=∠EAC，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠AEB=2∠C；
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE=EC，
∴△ABE和△AEC是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线
（2）解：如图：
（3）解：如图，当AD=BD，AC=DC时
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠CAD，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=∠DAC=（180°-∠C）=（180°-30°）=75°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠BAD=75°，
解之：∠BAD=37.5°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=37.5°+75°=112.5°；
当AD=BD=DC时，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=30°+30°=60°，
∴∠BAD=（180°-∠ADB）=（180°-60°）=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+30°=90°；
当AD=DB=AC时，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠ADC=30°，
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-30°-30°=120°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠BAD=30°，
∴∠BAD=15°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=15°+120°=135°；
∴∠BAC的度数为90°或112.5°或135°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AE=AC，利用等边对等角可得到∠C=∠EAC；再利用三角形的外角的性质可推出∠B=∠AEB，由此可得到AB=AE=EC；然后利用三角形的等腰分割线的定义可证得结论.
（2）利用∠B＝20°，∠C＝40°，这两个角的度数存在2倍关系，因此作等腰三角形ADB和等腰三角形ADC，使BD=AD=DC；根据∠A＝120°，∠C＝40°，可知120°=80°+40°，将∠BAC分成两个角使得∠BAD=80°，∠DAC=40°，然后画出图形即可.
（3）利用已知在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，分情况讨论：当AD=BD，AC=DC时，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠ADC=∠CAD，利用三角形的内角和定理求出∠ADC，∠DAC的度数；再利用三角形的外角的性质求出∠BAD的度数，然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入计算求出∠BAC的度数；当AD=BD=DC时，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠C=∠DAC=30°，利用三角形的外角的性质可求出∠ADB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAD的度数；然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入计算求出∠BAC的度数；当AD=DB=AC时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ADC，∠DAC的度数；再利用三角形的外角的性质求出∠BAD的度数，然后根据∠BAC=∠BAD+∠DAC，可求出∠BAC的度数；综上所述可得到∠BAC的度数.
18．（2022八上·右玉期末）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且，交于点P，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证明为直角三角形，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得。
19．（2020八上·肥东期末）如图， 是等边三角形，延长 到 使 ．点 是边 的中点，连接 并延长交 于 ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD= AC，
∵ ，
∴CD=CE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，∴DE=BD，
∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2DF，
即DE=2DF．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°， 求出CD=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质，求出∠E=30°，求出∠EFB即可；
（2）连接BD，求出BD=ED，根据含30度角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案。
20．（2020八上·桐城期末）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由：
（3）探究：当 为多少度时， ？
【答案】（1）证明： ，
，
，
是等边三角形．
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
等边三角形，
，
， ，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（1）（2）得， ， ，
．
若 ，则 ，
，
．
当 为140°是时， ．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）由以及等边三角形判定方法即可得出结论；
（2）利用可得出，进而求得；
（3）结合(1)(2)得求出，然后根据三角形内角和定理求出，再利用等边对等角即可得出结论。
21．（2021八上·凤阳期末）在等腰三角形△ABC中，，D、E分别为AB、BC上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点C作，垂足为H，若，．
①求证：；
②求CE－BE的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
在△ADC和△BED中，
（2）解：①证明：∵，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴CE＝DE；
②如图，在DE上取点F，使DF＝BE，
在△CDF和△DBE中，
，
∴，
∴CF＝DE＝CE，
又∵，
∴FH＝HE，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明即可；
（2）①根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得CE=DE；
②在DE上取点F，使DF＝BE，先利用“SAS”证明可得CF＝DE＝CE，再利用线段的和差可得。
22．（2021八上·霍邱期末）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：∵点与点D关于的对称，
∴CN垂直平分AD，
∴CA=CD，
∵是等边三角形，
∴CA=CB，
∴CB=CD，
∴是等腰三角形；
（2）解：由（1）知：CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵是等边三角形，
∴∠BCA=60°，
∵CA=CD，CN⊥AD，
∴∠DCN=∠CAN=α，
∵∠CBD+∠CDB+∠ACD=∠CBD+∠CDB+∠ACB+∠DCN+∠CAN=180°，
∴2∠BDC+60°+2α=180°，
∴∠BDC=60°-α；
（3）证明：在上截取使，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴在和中，
∴．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得CA=CD，再利用等边三角形的性质可得CA=CB，所以CB=CD，即可得到 是等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得∠BCA=60°，再求出∠DCN=∠CAN=α，利用角的运算和等量代换可得2∠BDC+60°+2α=180°，即可得到∠BDC=60°-α；
（3）在上截取使，连接，先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 1
