高三数学高考押题卷（新高考1卷地区）
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. （5分）复数满足，则（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. （5分）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. （5分）已知圆，圆，圆上存在点，过作圆的两条切线，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知以为焦点的抛物线：上的两点，满足，则弦的中点到的准线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
7. （5分）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）下列命题中，正确的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则事件与事件独立
B. 已知随机变量服从二项分布，若，则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10. （5分）在棱长为的正方体中（如图），点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）．
A. B. 直线和平面平行
C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线和平面所成的角为定值
11. （5分）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数与图象的所有交点的横坐标之和为
12. （5分）定义在上的函数，满足，，，，则（ ）．
A. 是函数图象的一条对称轴
B. 是的一个周期
C. 函数图象的一个对称中心为
D. 若，且，，则的最小值为
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有 种．
14. （5分）若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
15. （5分）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 ．
16. （5分）已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最小值为 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．
（1）（5分）求的值．
（2）（5分）在边上取一点，使得，求的值．
18. 如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且．
（1）（5分）证明：平面．
（2）（7分）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知．
（1）（5分）求函数的单调增区间．
（2）（7分）若函数有两个极值点与，证明：．
20. 已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，，，成等比数列．
（1）（5分）求数列和的通项公式．
（2）（7分）设数列的前项和为，若不等式（）恒成立，求实数的取值范围．
21. 甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得分；只有一人答对，该团队得分；两人都答错，该团队得分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
（1）（5分）记表示该团队一轮答题的得分，求的分布列及数学期望．
（2）（7分）假设该团队连续答题轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得分”的概率，，求，，；并证明：答题轮数越多（轮数不少于），出现“连续三轮每轮得分”的概率越大．
22. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆相交于点，且．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且．若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求的取值范围．
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参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】C
【解析】解：集合，
，
则，
故选：C．
2【答案】D
【解析】∵，
∴．
故选．
3【答案】B
【解析】解：，．
，．
，
，
，解得．
故选：B．
4【答案】A
【解析】解：函数在区间上为单调
递减函数，
时，在上为单调递减函数，
且在上恒成立，
需在上的最小值，
且对称轴方程为直线，
；
时，在上为单调递增函数，不成立．
综上可得，的取值范围是，
故选：A．
5【答案】D
【解析】圆可化为，
因为，
所以四边形是正方形．
所以，可得点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆．
又因为点在圆上，
所以，
解得．
所以的取值范围为．
故选.
6【答案】B
【解析】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ，
设，，
，，，
，，
当时，弦的中点到的准线的距离为．
当时，，，
．
，且．．
则弦的中点到的准线的距离，的最大值是．
，弦的中点到的准线的距离的最大值是．
故选：B．
7【答案】B
【解析】由题意可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以．
由，得，
整理得对任意，且恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围是．
故选．
8【答案】D
【解析】因为，
所以，，
则，，
因为在区间上为“凹函数”，
所以，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
当，
即时，
因为，，
所以，，
故显然成立，
当，
即时，
令，
则在上恒成立，
又因为，
所以在上单调递增，
所以，
即，
则在上恒成立，
令，
则，
又，
当时，；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
综上：，
即．
故选：．
二、多选题（共4题，共 20 分）
9【答案】B D
【解析】A 选项：由互斥事件与独立事件的定义，
设事件、都是概率不为的事件，若事件与事件是互斥事件，则，而若事件与事件是相互独立事件，则，
故有误．B 选项：因为，则，
所以，即，解得，
故无误．C 选项：由随机变量服从正态分布，，
则，
故有误．D 选项：因为回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，
故无误．故选 BD.
10【答案】A B C
【解析】A 选项：因为在棱长为的正方体中， 点在线段上运动，
，，
又，
所以平面，而平面，
所以，
故正确；B 选项：因为平面与平面为同一个平面，易知平面，
故正确；C 选项：三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而面积为定值，
又因为，而平面，
所以点到平面的距离即为点到该平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，
故正确；D 选项：由线面夹角的定义，令与的交点为，
可得即为直线与平面所成的角，
当移动时，的长是变化的，
所以是变化的，故错误．故选 ABC.
11【答案】B C D
【解析】A 选项：由函数（其中，，）的图象可得：，，
∴，
∴，
∴过点，
∴，，，
∴，
∴，
当时，，故错误；B 选项：当时，，故正确；C 选项：当时，，
∴在上单调递增，故正确；D 选项：当时，，
所以与函数的图象有个交点，设其横坐标为，，，，，故正确；故选 BCD.
12【答案】A B C
【解析】由可得，
所以的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，即关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，
所以有，
所以有，
所以．
又由可得，，
所以的图象关于点对称，
所以．
对于项，因为，，
所以，
所以，
所以的周期为，故无误．
对于项，由已知的周期为，
所以的周期为，
因为的图象关于直线对称，
所以是函数图象的一条对称轴，故无误．
对于项，的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
所以．
又的图象关于直线对称，
所以，
所以，
所以有，
所以函数图象的一个对称中心为，故无误．
对于项，由知，的图象关于点对称，的图象关于点对称，
所以，，
所以．
又的周期为，
所以对，．
因为，
则当时，有．
因为，
所以，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意．
故的最小值为，故有误．
故选：．
三、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】60
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
①若个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有种，
②若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有种，
所以在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有种．
故答案为：．
14【答案】
【解析】因为，
所以，则．
所以曲线在点处的切线方程为．
设与相切于点，
因为，
所以，
则，即，可得，
从而．
故答案为：．
15【答案】
【解析】如下图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接，
则为正四面体内切球的半径，
因为，，，
所以，
所以，
解得，
所以正四面体内切球的体积，
由图象可以知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径，故最大球体积为；
中等球内切于高的正四面体中，中等球半径，故中等球的体积为；
最小求内切于高的正四面体中，最小球半径，故最小求的体积为；
所以九个球的体积和，
因此正确答案为：.
16【答案】
【解析】如图：
设，，不妨设在第一象限，
因为点在椭圆上，
所以， ①
又因为点在双曲线上，
所以， ②
则① ②得；
① ②得，
在中由余弦定理得：，
即，
即，
即，
即，，
当且仅当，时取等号，
所以，即的最小值为，
故答案为：.
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17（1）【答案】．
【解析】因为，，，
则由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
所以，
即．
17（2）【答案】．
【解析】因为，
所以为钝角，，
在中，易知为锐角，由可得，
所以在中，，
因为，
所以，
所以．
18（1）【答案】证明见解析．
【解析】因为四边形是菱形，
所以．
因为，，平面，且，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，平面，且，
所以平面．
18（2）【答案】存在，．
【解析】取棱的中点，连接，易证，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
故，，．
因为，
所以，
则．
设平面的法向量为，
则，
令，得．
平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
整理得，
解得或（舍去）．
故存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是．
19（1）【答案】当时，无单调递增区间，
当时，函数单调递增区间为
．
【解析】的定义域为，，
令，
当，
即时，恒成立，则恒成立，
当且仅当时，等号成立，
此时函数单调递减，无递增区间；
令，解得：或，
当时，恒成立，函数单调递减，无递增区间；
当时，令，解得：，
此时函数的单调递增区间为，
综上：当时，无单调递增区间，
当时，函数的单调递增区间为
．
19（2）【答案】见解析．
【解析】由（）知：当时，函数单调递减，无极值点，
当时，令，解得：
，
结合第（）问可知：
在单调递减，
在单调递增，
即为函数的两个极值点，
不妨设，，
则，以下证明，
变形为：，，
令，
即证，，
构造，，在上恒成立，
所以在上单调递减，故，
则，故，
．
20（1）【答案】，
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
，，，
①，
②，
，，成等比数列，
，
③，
由①②③解得：，，
，．
20（2）【答案】
【解析】由（）知，
所以，
即①，
所以②，
由①②得，
，
化简得（），
由，
即，
所以，
令（），
则，
由，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
，
，
所以若不等式（）恒成立，
则实数的取值范围为．
21（1）【答案】分布列见解析，
【解析】通过题意分析可得的所有可能取值为，，，
；
；
，
所以的分布列如下：
则．
21（2）【答案】，，，见解析
【解析】通过题意分析可得，，，；
经分析可得：若第轮没有得分，
则；
若第轮得分，且第轮没有得分，
则；
若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，
则，
则，
所以，，；
因为，
故，
故
；
故，
且，
则，
所以答题轮数越多（轮数不少于），出现“连续三轮每轮得分”的概率越大．
22（1）【答案】
【解析】通过题意，双曲线的焦点为，，
双曲线与椭圆有相同焦点且在第一象限的交点为，
，
，．
，，
，
椭圆的方程为．
22（2）【答案】
【解析】设，，
则．
四边形为平行四边形，
，．
点，，均在椭圆上，
，，．
，
，
．
由消去，
得，
显然，
，，
，
，
因为，
所以，
即，
所以，
即，
．高三数学高考押题卷（新高考1卷地区）
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. （5分）复数满足，则（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. （5分）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. （5分）已知圆，圆，圆上存在点，过作圆的两条切线，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知以为焦点的抛物线：上的两点，满足，则弦的中点到的准线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
7. （5分）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）下列命题中，正确的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则事件与事件独立
B. 已知随机变量服从二项分布，若，则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10. （5分）在棱长为的正方体中（如图），点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）．
A. B. 直线和平面平行
C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线和平面所成的角为定值
11. （5分）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数与图象的所有交点的横坐标之和为
12. （5分）定义在上的函数，满足，，，，则（ ）．
A. 是函数图象的一条对称轴
B. 是的一个周期
C. 函数图象的一个对称中心为
D. 若，且，，则的最小值为
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有 种．
14. （5分）若曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
15. （5分）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 ．
16. （5分）已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最小值为 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．
（1）（5分）求的值．
（2）（5分）在边上取一点，使得，求的值．
18. 如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且．
（1）（5分）证明：平面．
（2）（7分）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知．
（1）（5分）求函数的单调增区间．
（2）（7分）若函数有两个极值点与，证明：．
20. 已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，，，成等比数列．
（1）（5分）求数列和的通项公式．
（2）（7分）设数列的前项和为，若不等式（）恒成立，求实数的取值范围．
21. 甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得分；只有一人答对，该团队得分；两人都答错，该团队得分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，．
（1）（5分）记表示该团队一轮答题的得分，求的分布列及数学期望．
（2）（7分）假设该团队连续答题轮，各轮答题相互独立．记表示“没有出现连续三轮每轮得分”的概率，，求，，；并证明：答题轮数越多（轮数不少于），出现“连续三轮每轮得分”的概率越大．
22. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆相交于点，且．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且．若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求的取值范围．
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