高三数学高考押题卷（上海地区）
一、填空题（共12题，共 54 分）
1. （4分）若，则 ．
2. （4分）不等式的解集是 ．
3. （4分）如果，为第三象限角，则 ．
4. （4分）已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
5. （4分）已知的展开式中第项的系数为，则实数 .
6. （4分）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 ．
7. （5分）在一个倾斜角为的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成角的道路上坡，行走，则实际升高了 ．
8. （5分）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人．已知这名同学中有名男生，名女生，现决定让店主从他们人中选出人参加游戏，其余人观看，要求选出的人中至少有名女生，并且，角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．
9. （5分）已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 ．
10. （5分）水平放置的边长为的正方形沿轴正向滚动，初始时顶点在坐标原点，（沿轴正向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 ．
11. （5分）如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是椭圆的焦点，到桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个椭圆的离心率 ．
12. （5分）已知，设，，其中是整数．若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 ．
二、选择题（共4题，共 18 分）
13. （4分）如果，那么下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
14. （4分）下图为年年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）．
A. 年年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B. 年年工业企业利润总额逐年递增
C. 年年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速
D. 年年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值
15. （5分）已知正方体，点在直线上，为线段的中点．则下列说法不正确的是（ ）．
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 直线始终与直线异面 D. 直线始终与直线异面
16. （5分）对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质．设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差．那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ① ②都是真命题 D. ① ②都是假命题
三、解答题（共5题，12小题；共 78 分）
17. 如图，在三棱锥中，平面，， ．
（1）（7分）求证：平面．
（2）（7分）求二面角的大小．
18. 如图，三个校区分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点，现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点，重合），为小区铺设三条地下电缆管线，，，已知千米，，记，地下电缆管线的总长度为千米．
（1）（7分）将表示成的函数，并写出的范围．
（2）（7分）请确定工作坑的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
19. 在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病．据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为．（下列两小题计算结果中的概率值精确到）
（1）（7分）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率．
（2）（7分）对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．
20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为．点，分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为．点是椭圆上在第一象限内的一个动点．
（1）（6分）求椭圆的标准方程．
（2）（6分）若把直线，的斜率分别记作，，若，求点的坐标．
（3）（6分）设直线与轴交于点，直线与轴交于点．令，求实数的取值范围．
21. 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”.
（1）（6分）证明：函数与不存在“ 点”；
（2）（6分）若函数与存在“ 点”，求实数的值；
（3）（6分）已知函数.对存在实数，使函数与在区间内存在“ 点”，求实数的取值范围.
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一、填空题（共12题，共 54 分）
1. （4分）若，则 ．
2. （4分）不等式的解集是 ．
3. （4分）如果，为第三象限角，则 ．
4. （4分）已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
5. （4分）已知的展开式中第项的系数为，则实数 .
6. （4分）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 ．
7. （5分）在一个倾斜角为的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成角的道路上坡，行走，则实际升高了 ．
8. （5分）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人．已知这名同学中有名男生，名女生，现决定让店主从他们人中选出人参加游戏，其余人观看，要求选出的人中至少有名女生，并且，角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．
9. （5分）已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 ．
10. （5分）水平放置的边长为的正方形沿轴正向滚动，初始时顶点在坐标原点，（沿轴正向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 ．
11. （5分）如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是椭圆的焦点，到桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个椭圆的离心率 ．
12. （5分）已知，设，，其中是整数．若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 ．
二、选择题（共4题，共 18 分）
13. （4分）如果，那么下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
14. （4分）下图为年年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）．
A. 年年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B. 年年工业企业利润总额逐年递增
C. 年年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速
D. 年年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值
15. （5分）已知正方体，点在直线上，为线段的中点．则下列说法不正确的是（ ）．
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 直线始终与直线异面 D. 直线始终与直线异面
16. （5分）对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质．设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差．那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ① ②都是真命题 D. ① ②都是假命题
三、解答题（共5题，12小题；共 78 分）
17. 如图，在三棱锥中，平面，， ．
（1）（7分）求证：平面．
（2）（7分）求二面角的大小．
18. 如图，三个校区分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点，现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点，重合），为小区铺设三条地下电缆管线，，，已知千米，，记，地下电缆管线的总长度为千米．
（1）（7分）将表示成的函数，并写出的范围．
（2）（7分）请确定工作坑的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
19. 在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病．据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为．（下列两小题计算结果中的概率值精确到）
（1）（7分）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率．
（2）（7分）对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．
20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为．点，分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为．点是椭圆上在第一象限内的一个动点．
（1）（6分）求椭圆的标准方程．
（2）（6分）若把直线，的斜率分别记作，，若，求点的坐标．
（3）（6分）设直线与轴交于点，直线与轴交于点．令，求实数的取值范围．
21. 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”.
（1）（6分）证明：函数与不存在“ 点”；
（2）（6分）若函数与存在“ 点”，求实数的值；
（3）（6分）已知函数.对存在实数，使函数与在区间内存在“ 点”，求实数的取值范围.
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参考答案
一、填空题（共12题，共 54 分）
1【答案】-1
【解析】根据集合元素的互异性可知，
即且，
因为，
所以，
解得（负舍），
所以，
因此正确答案为：．
2【答案】
【解析】，
∴解集为．
3【答案】
【解析】由，为第三象限角，
有，
由诱导公式可得，
所以，
因此正确答案为：．
4【答案】1
【解析】解：根据题意，等比数列满足，，
则其公比，
若，则；
，则；
变形可得：，解得；
又由，解得；
故答案为：．
5【答案】3
【解析】由题设，展开式的通项为，
所以，
故，则，所以，
又，故．
因此正确答案为：．
6【答案】
【解析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为，设圆的半径为，
则，，，
由题意得，即，
所以，即，
所以，因为两平面所成的角为锐二面角，，即，
即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为．
故答案为：．
7【答案】
【解析】解：构造二面角，在直道上取一点，过点作平面于点，过作于点，连接，则．
为二面角的平面角，即．
．
8【答案】348
【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出名女生，先从名女生中选人，再从四名男生中选人，
然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，
剩余的名男生和女生扮演角色，
或，角色名男生名女生，女生先选有种，
剩下的一个角色从名男生中选人，则种，
所以共有种，
第二类：选出名女生，先从名女生中选人，再从四名男生中选人，
然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，
剩余的名女生扮演角色，
或，角色名男生名女生，选出名女生先选角色有种，
剩下的一个角色从名男生中选人，则种，
所以共有种，
第三类：选出名女生，先从名女生中选人，再从四名男生中选人，
然后安排角色，，角色名男生名女生，选出名女生先选角色有种，
剩下的一个角色让男生扮演，余下的名女生扮演角色，
所以共有种，
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式．
故答案为：．
9【答案】
【解析】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，，
所以，
所以为等边三角形，．
由等面积法可得，
解得，即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
10【答案】
【解析】如图，经过三次旋转后点回到轴，此时的坐标为，
由初始时点在坐标原点，可知的是周期为的周期函数，
所以，
由，，
所以扇形所在圆的方程为，
所以当时，，
所以，
又因为图象在轴上方，
所以，
所以，
故，
故答案为：．
11【答案】
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意可知，，，
由题意可得，，则直线的斜率，直线的方程为，
设，，则到的距离，
解得（舍去）或，
则，
又设直线的方程为，则到直线的距离，
整理得．
结合图可得，
得，
，则，故．
椭圆的离心率．
故答案为：．
12【答案】
【解析】
，
，
则方程满足
，
因为，
所以，
①当，无解时，即，时，
对于任意的都有，即恒成立，
所以在上严格递增．
②当有解时，即，时，
取，则，，
设的两个根为，，
则，
所以，均为大于，
所以在，上严格递增，
在上严格递减，不满足条件，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
二、选择题（共4题，共 18 分）
13【答案】D
【解析】由可得：
，，，
故选项，选项，选项有误，，
故选项无误．
故选．
14【答案】C
【解析】A 选项：年电子信息制造业企业利润总额增速为负数，从年到年利润总额下降，故不正确；B 选项：年工业企业利润总额增速为负数，从年到年利润总额下降，年工业企业利润总额增速为负数，从年到年利润总额下降，故不正确；C 选项：年年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，
所以利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故正确；D 选项：年年工业企业利润总额增速的均值为
，
年年电子信息制造业企业利润总额增速的均值为
，
，故不正确．故选 C.
15【答案】C
【解析】正方体中，易得平面，
点在直线上，为线段的中点，
当点和重合时，平面，
，故正确；
连接，如图所示：
当点为线段的中点时，为三角形的中位线，
即，故正确；
平面，当点和点重合时，平面，
则直线和在同一平面内，故错误；
平面，平面，，
故直线始终与直线不相交，且不平行，是异面直线，故正确．
故选．
16【答案】C
【解析】通过题意，对命题①，设数列的公比为，
因为数列具有性质，
所以对任意，也即，
因此数列严格增，
故①是真命题，
对命题②，设等差数列的首项为，对每个使得数列不具有性质的正整数，存在正整数，使得，则，
从而．因为是定值，
所以当无限增大时，得到，
故②是真命题．
因此正确答案为：.
三、解答题（共5题，12小题；共 78 分）
17（1）【答案】见解析．
【解析】因为平面，平面，平面，
所以，．
在中，因为， ，
所以由勾股定理可得．
在中，因为， ，
所以，
则，即．
因为，，平面，
所以平面．
17（2）【答案】．
【解析】过点作，则平面．
因为平面，平面，
所以，．
又，
所以以为原点，，和所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
依题意，可得，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
所以，
结合图示可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
18（1）【答案】，．
【解析】因为为弧的中点，由对称性，知，，
又，，
由正弦定理，得：，
又，
所以，．
所以
，
．
所以，．
所以．
18（2）【答案】当与的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．
【解析】令，，
，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，当，即时，有唯一的极小值，
即是最小值：，
答：当工作坑与的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．
19（1）【答案】．
【解析】由题意知：，
，
，
即事件与同时发生的概率为．
19（2）【答案】的分布为；．
【解析】，
，
所有可能的取值为，，，，
；
；
；
；
的分布为，
数学期望．
20（1）【答案】
【解析】由题意可得，，
解得，，
椭圆的标准方程为．
20（2）【答案】
【解析】设，，，
由得，，
则，，
由，
得到，
代入解得，，
．
20（3）【答案】
【解析】直线的方程为，
．
直线的方程为，
．
，，．
，
，
，
，
，，
，
．
21（1）【答案】证明见解析
【解析】函数，则.
由且，
得，此方程组无解，
因此，与不存在“ 点”.
21（2）【答案】
【解析】函数，
则.
设为与的“ 点”，
由且，
得，
即，（*）
得，即，
则.
当时，满足方程组（*），即为与的“ 点”.
因此，的值为.
21（3）【答案】
【解析】，
函数与在区间内存在“ 点”，记为，
所以，
解得，
由于，解得或，而，
所以，
所以函数在上为增函数，
因为时，时，，时，，时，，
所以时，；时，.
综上所述实数的取值范围是.高三数学高考押题卷（天津地区）
一、选择题（共9题，共 45 分）
1. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）设，则“且”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. （5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组第五组．如图是根据实验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共人，第三组中没有疗效的有人，则第三组有疗效的人数为（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）函数（为自然对数的底数）的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
5. （5分）函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）．
A. 关于点对称 B. 在上单调递增
C. 关于直线对称 D. 在处取最大值
6. （5分）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. （5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．现有直径长为的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体，若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥体积为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
9. （5分），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A. 或 B. C. D. 或
二、填空题（共6题，共 30 分）
10. （5分）已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为 ．
11. （5分）展开式中的常数项为 ．
12. （5分）已知圆截直线所得弦的长为，则实数的值为 ．
13. （5分）已知，，，则的最小值为 ．
14. （5分）已知箱中装有个不同的小球，其中个红球、个黑球和个白球，现从该箱中有放回地依次取出个小球．则个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量为取出个球中红球的个数，则的方差 ．
15. （5分）在梯形中，，，，，，与相交于点．若，则 ；若，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共5题，12小题；共 75 分）
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）（9分）若，求的值．
（2）（6分）若，的面积为，求边，的值．
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（5分）求证：．
（2）（5分）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）（5分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
18. 已知数列满足，且，，．
（1）（5分）求的通项公式．
（2）（5分）设，，求数列的前项和．
（3）（5分）设，证明：．
19. 已知椭圆：的离心率为，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点，且的面积是．
（1）（6分）求椭圆的方程．
（2）（9分）设直线与椭圆交于、两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），直线与轴交于点，求面积的取值范围．
20. 已知函数，．
（1）（5分）讨论极值点的个数．
（2）（10分）若恰有三个零点，，和两个极值点，.
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）若，且，证明：．
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参考答案
一、选择题（共9题，共 45 分）
1【答案】A
【解析】由题设可知：
集合，
集合，
则．
故选．
2【答案】A
【解析】若且，则，，所以，即﹔
若，则满足条件，但不满足且．
所以“且”是“”的充分而不必要条件．
故选．
3【答案】C
【解析】由频率分布直方图可得分布在区间第一组与第二组共有人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为，，所以第一组有人，第二组有人，第三组的频率为，所以第三组的人数为人，
第三组中没有疗效的有人，
第三组中有疗效的有人．
故选：．
4【答案】A
【解析】因为，
令，解得，
故函数的定义域为，，
故函数为奇函数，
函数图象关于原点对称，故排除；
又，
因为，，
所以，
即，
故排除．
故选：．
5【答案】A
【解析】A 选项：函数的最小正周期为，可得，
向右平移个单位长度后得到的函数为，
此函数为奇函数，又，
所以，
故函数，，
∴正确；B 选项：的递增区间为，，
故错；C 选项：，，，，
所以直线不是对称轴，
故错；D 选项：非最大值，
故错．故选 A.
6【答案】D
【解析】依题意是定义域为的偶函数，
所以，
，
，
，，，，，
，
，
由于在上单调递增，所以．
故选：．
7【答案】A
【解析】如图正方体中，四棱锥即为阳马，
设正方体棱长为，体积为，
显然，
所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大，在球的内部，任意构造一个正方体，
显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线等于球的直径，
即．
又，
所以，即，则，
所以．
又球的体积为，
所以应削去的胶泥的体积为．
故选．
8【答案】A
【解析】方法一：，的坐标分别为，由图像的对称性知，点在轴上，则根据几何关系有
，故，，即 ，，故渐近线斜率．
故选A．方法二：如图所示，
由题意知为双曲线的通径，所以，则．
又，因为，，所以点在轴上．
由，得，即，
所以，则由题意知，即，
所以，即，即，
所以，解得，而双曲线的渐近线斜率为，
所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是，
故选．
9【答案】D
【解析】当时，，，
当时，，函数单调递增；
当，，函数单调递减，；
当时， ，
其图像可以由的图像向左平移一个单位，再向下平移个单位，
再把轴上方的图像翻折到下方得到．画出函数图像，如下图所示：
，当时，，无零点；
当时，，即，
函数有两个零点，即函数图像有两个交点，
根据图像知：或，
解得或．
故选．
二、填空题（共6题，共 30 分）
10【答案】2
【解析】解：，
∴复数的虚部为．
11【答案】-220
【解析】二项式的展开式的通项为
，
令，求得，
即，
∴常数项为，
故答案为：．
12【答案】-4
【解析】圆即，圆心坐标为，
故弦心距为．
再由弦长公式可得，∴.
故答案为：．
13【答案】
【解析】由可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
14【答案】
【解析】由题意知，任取一球为红球的概率为，任取一球为黑球的概率为，任取一球为白球的概率为，
则依次取的个小球颜色不相同的可能取法以及概率：
红黑白：，红白黑：，黑红白：，黑白红：，白红黑：，白黑红：，
所以有放回地依次取个小球颜色互不相同的概率为．
由题意知，的取值为，，，．
则
则，，
，，
所以的分布列为
所以，
则
，
所以．
故答案为：；．
15【答案】
【解析】因为，，，，，
所以．
所以四边形为平行四边形．
所以且，则可设．
故
．
因为，，共线，
所以，解得，
所以．
因为，
所以
．
所以
．
因为，
所以
．
所以．
又，
所以．
因为，
所以．
如图以点为原点建立平面直角坐标系，
则，，，
设，，
故，，
则，
当时，此时取得最小值，取得最小值，
故答案为：；．
三、解答题（共5题，12小题；共 75 分）
16（1）【答案】．
【解析】因为，
由正弦定理得，
即，
因为，，
所以．
由为三角形内角得；
由，则，
所以，
，
．
16（2）【答案】，或，．
【解析】因为的面积，
所以①．
由余弦定理得，
则②，
由①②解得，或，．
17（1）【答案】证明见解析．
【解析】由题意，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得，，，，，．
，，
从而，
所以，即．
17（2）【答案】．
【解析】，，
设为平面的法向量，则，
不妨设，可得，
因为，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17（3）【答案】．
【解析】假设在线段上存在一点，
使得直线与所成角的余弦值为，则，
由题意，
则，解得，
所以存在点满足条件，
可得，
由（）可知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
18（1）【答案】．
【解析】数列满足，且，，，
∴当为奇数时，，此时数列是以为首项，为公差的等差数列，；
当为偶数时，，此时数列是首项为，公比为的等比数列，，
∴．
18（2）【答案】．
【解析】∵，，
∴，
∴数列的前项和，
令，
则，
∴
，
∴，
∴．
18（3）【答案】证明见解析．
【解析】∵，
∴，
，
∴
．
19（1）【答案】．
【解析】由得：，
则，
则，
解得：，则，，
∴椭圆的标准方程为：．
19（2）【答案】．
【解析】由点与点不重合可知：，
联立，整理可得：，，
设，，
则，
则，，
直线的方程为：，
令，
解得：，
又，，
则
，
即直线与轴交点为：，
∴
，，
令，
则，
∴，
当时，单调递增，则，
∴，
又，
∴．
20（1）【答案】当时，无极值点；
当时，有两个极值点．
【解析】通过题意分析可以得：，
设函数，
当时，开口向上，，
所以，在上单调递减，无极值点；
当时，在上有两个解，
，．
又因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以有两个极值点．
综上：当时，无极值点；
当时，有两个极值点．
20（2）【答案】（ⅰ）证明见解析．
（ⅱ）证明见解析．
【解析】(i)由（）知：，且，
又因为，
所以．
(ii)由(i)知:，
，，
所以，
所以．
令，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为时，，
时，，
所以．
所以要证明：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
又因为在上单调递增，
所以只需证:．
令，
所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即．
所以要证：，
只需证：，即证明：．
因为，
所以．
所以．
又因为，
所以，
所以．
令，，则，
所以在上单调递增，
所以．
所以．
所以成立．高三数学高考押题卷（天津地区）
一、选择题（共9题，共 45 分）
1. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）设，则“且”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. （5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组第五组．如图是根据实验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共人，第三组中没有疗效的有人，则第三组有疗效的人数为（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）函数（为自然对数的底数）的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
5. （5分）函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）．
A. 关于点对称 B. 在上单调递增
C. 关于直线对称 D. 在处取最大值
6. （5分）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. （5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．现有直径长为的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体，若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥体积为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
9. （5分），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A. 或 B. C. D. 或
二、填空题（共6题，共 30 分）
10. （5分）已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为 ．
11. （5分）展开式中的常数项为 ．
12. （5分）已知圆截直线所得弦的长为，则实数的值为 ．
13. （5分）已知，，，则的最小值为 ．
14. （5分）已知箱中装有个不同的小球，其中个红球、个黑球和个白球，现从该箱中有放回地依次取出个小球．则个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量为取出个球中红球的个数，则的方差 ．
15. （5分）在梯形中，，，，，，与相交于点．若，则 ；若，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共5题，12小题；共 75 分）
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）（9分）若，求的值．
（2）（6分）若，的面积为，求边，的值．
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（5分）求证：．
（2）（5分）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）（5分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
18. 已知数列满足，且，，．
（1）（5分）求的通项公式．
（2）（5分）设，，求数列的前项和．
（3）（5分）设，证明：．
19. 已知椭圆：的离心率为，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点，且的面积是．
（1）（6分）求椭圆的方程．
（2）（9分）设直线与椭圆交于、两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），直线与轴交于点，求面积的取值范围．
20. 已知函数，．
（1）（5分）讨论极值点的个数．
（2）（10分）若恰有三个零点，，和两个极值点，.
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）若，且，证明：．
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