高三数学高考押题卷（全国乙卷地区文科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为 ，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）．
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
7. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. （5分）圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，则它的体积是原来体积的( )
A. B. C. D.
9. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）在 中，，，， 为 内（包括边界） 的动点， 且 ， 则 的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
12. （5分）已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知点在抛物线：上，则点到抛物线焦点的距离是 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且．
（1）（3分）求证：
（2）（4分）求点到侧面 的距离；
（3）（5分）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知．
（1）（4分）当时，求函数在处的切线方程．
（2）（8分）若在恒成立，求的取值范围.
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为 ，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）．
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
7. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. （5分）圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，则它的体积是原来体积的( )
A. B. C. D.
9. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）在 中，，，， 为 内（包括边界） 的动点， 且 ， 则 的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
12. （5分）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线与的右支交于点，若是等腰三角形，且的角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知点在抛物线：上，则点到抛物线焦点的距离是 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题（共5题，12小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（3分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
（2）（4分）求证：．
（3）（5分）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知．
（1）（3分）当时，求函数在处的切线方程．
（2）（4分）求证：．
（3）（5分）若在恒成立，求的取值范围.
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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参考答案
一、选择题（共12题，共 60 分）
1【答案】D
【解析】∵
为纯虚数，
∴，解得．
故选．
2【答案】C
【解析】由可得，，
等价于，得，
即，，解，
可得，或，
所以，．
对于选项，因为，
所以，故选项有误；
对于选项，因为，
所以，故选项有误；
对于选项，因为，
所以，
所以，故选项无误；
对于选项，因为，
所以，故选项有误．
故选．
3【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，如图，
则该几何体的体积．
故选：．
4【答案】A
【解析】解：是上的奇函数，
，
．
故选：A．
5【答案】C
【解析】解：如图，
设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，
由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，
又正方形的面积为，
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．
故选：C．
6【答案】B
【解析】因为函数图像的相邻两个对称中心间的距离为，
则，
．
已知为奇函数，根据，可知，
则，．
令，得，
故错误，正确；
令，得，故、错误．
故选：．
7【答案】B
【解析】解：甲同学选择牛，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
甲同学选择马，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
所以总共有种选法．
故选：B．
8【答案】C
【解析】解：设一个圆锥的底面半径为，高为，
则其体积；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，
则所得圆锥的底面半径为，高为，
体积为，
，
它的体积是原来体积的．
故选：C．
9【答案】D
【解析】方法一：以点为坐标原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
则，，，．
∴，，
由题意得，四边形为正方形，
∴，
易得平面，且平面，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴为平面的一个法向量．
∴．
∴与平面所成角的正弦值为．
故选：．方法二：如图，在长方体中，连接交于点，连接．
∵四边形是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴．
又∵，，平面，
∴平面，
∴是在平面内的射影．
∴是与平面所成的角．
在正方形中，，
在矩形中，．
∴．
故选：．
10【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，
依题有：公比，，，解得，
则，
，，
从而，
，
故选：．
11【答案】B
【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
则， ，
为 所在平面内的动点，且，
可 设 ，
则 ， ，
，
其中 ，
的取值范围是 ．
因此正确答案为：．
12【答案】B
【解析】联立且在第一象限，可得，
而，，
所以，
，
由题设，，故是等腰直角三角形，
所以，
而的角平分线与轴平行，所以，
又，
可得，
则，
可得，
所以．
故选：．
二、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】2
【解析】解：由点在抛物线：上，可得，，
抛物线：，焦点坐标，
则点到抛物线焦点的距离是：，
故答案为：．
14【答案】8
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大，
由，解得，
此时，
故答案为：．
15【答案】20
【解析】由题知，为等差数列，，，
设公差为，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，，
所以使得达到最大值的是．
故答案为：．
16【答案】
【解析】∵函数，
∴函数的定义域是，
∴，
∵是函数的唯一一个极值点，
∴是导函数的唯一根．
∴在上无变号零点，
令，
，
①时，恒成立．在上单调递增，
，无解；
②时，的解为，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
∴的最小值为，
∴，
∴，
结合和图象知，它们切于．
综上所述，．
三、解答题（共5题，12小题；共 60 分）
17（1）【答案】．
【解析】依题意，得，
所以抽取的名学生的平均成绩．
17（2）【答案】．
【解析】依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该为．
而比赛成绩在的频率为：
，
而，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为．
18（1）【答案】
【解析】由于， ，则．
因为，由正弦定理知，
则．
18（2）【答案】
【解析】因为，所以由余弦定理，得，
即，解得（负值舍去），而，，
所以的面积．
19（1）【答案】．
【解析】假设在线段上存在一点，
使得直线与所成角的余弦值为，则，
由题意，
则，解得，
所以存在点满足条件，
可得，
由（）可知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19（2）【答案】证明见解析．
【解析】由题意，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得，，，，，．
，，
从而，
所以，即．
19（3）【答案】．
【解析】，，
设为平面的法向量，则，
不妨设，可得，
因为，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20（1）【答案】椭圆的方程为，离心率为．
【解析】因为椭圆经过点，
所以，解得．
所以椭圆的方程为．
因为，，
所以．
所以离心率为．
20（2）【答案】直线过定点．
【解析】直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设，，，，
则有，，
直线的方程为，
令，解得，
则，
所以直线的斜率为，
且．
所以直线的方程为．
令，
则
，
所以直线过定点．
21（1）【答案】．
【解析】当时，，则，
则，，
所以函数在点处的切线方程为．
21（2）【答案】证明见解析．
【解析】当时，，该函数的定义域为，
则，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
所以，即 ．
21（3）【答案】．
【解析】，则且，
由题意可知，对任意的，．
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
所以，．
①当时，即当时，，
此时函数在上单调递增，
故当时，，合乎题意；
②当时，即当时，由可得，
即，
此时，
解得，
，则
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
则，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22（1）【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．
【解析】解：当时，的参数方程为（为参数），
则的普通方程为，
是以坐标原点为圆心，半径为的圆．
22（2）【答案】
【解析】解：当时，：，
消去参数，得的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
联立，
其中，，
解得，
与的公共点的直角坐标为．
23（1）【答案】见解析
【解析】解：当时，，
，当时，恒成立，；
当时，恒成立，不符合，
综上，不等式的解集为．
23（2）【答案】见解析
【解析】解：当时，在上恒成立；
当时，，，不满足题意，
的取值范围为：．高三数学高考押题卷（全国乙卷地区文科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为 ，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）．
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
7. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. （5分）圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，则它的体积是原来体积的( )
A. B. C. D.
9. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）在 中，，，， 为 内（包括边界） 的动点， 且 ， 则 的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
12. （5分）已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知点在抛物线：上，则点到抛物线焦点的距离是 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且．
（1）（3分）求证：
（2）（4分）求点到侧面 的距离；
（3）（5分）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知．
（1）（4分）当时，求函数在处的切线方程．
（2）（8分）若在恒成立，求的取值范围.
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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参考答案
一、选择题（共12题，共 60 分）
1【答案】D
【解析】∵
为纯虚数，
∴，解得．
故选．
2【答案】C
【解析】由可得，，
等价于，得，
即，，解，
可得，或，
所以，．
对于选项，因为，
所以，故选项有误；
对于选项，因为，
所以，故选项有误；
对于选项，因为，
所以，
所以，故选项无误；
对于选项，因为，
所以，故选项有误．
故选．
3【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，如图，
则该几何体的体积．
故选：．
4【答案】A
【解析】解：是上的奇函数，
，
．
故选：A．
5【答案】C
【解析】解：如图，
设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，
由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，
又正方形的面积为，
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．
故选：C．
6【答案】B
【解析】因为函数图像的相邻两个对称中心间的距离为，
则，
．
已知为奇函数，根据，可知，
则，．
令，得，
故错误，正确；
令，得，故、错误．
故选：．
7【答案】B
【解析】解：甲同学选择牛，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
甲同学选择马，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
所以总共有种选法．
故选：B．
8【答案】C
【解析】解：设一个圆锥的底面半径为，高为，
则其体积；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，
则所得圆锥的底面半径为，高为，
体积为，
，
它的体积是原来体积的．
故选：C．
9【答案】D
【解析】方法一：以点为坐标原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
则，，，．
∴，，
由题意得，四边形为正方形，
∴，
易得平面，且平面，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴为平面的一个法向量．
∴．
∴与平面所成角的正弦值为．
故选：．方法二：如图，在长方体中，连接交于点，连接．
∵四边形是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴．
又∵，，平面，
∴平面，
∴是在平面内的射影．
∴是与平面所成的角．
在正方形中，，
在矩形中，．
∴．
故选：．
10【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，
依题有：公比，，，解得，
则，
，，
从而，
，
故选：．
11【答案】B
【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，
则， ，
为 所在平面内的动点，且，
可 设 ，
则 ， ，
，
其中 ，
的取值范围是 ．
因此正确答案为：．
12【答案】C
【解析】设椭圆左右焦点分别为，，连接，，
由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形，且，，
在中，
，
∴，（当且仅当时等号成立）可得，
即，则，
∴椭圆的离心率．
故选．
二、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】2
【解析】解：由点在抛物线：上，可得，，
抛物线：，焦点坐标，
则点到抛物线焦点的距离是：，
故答案为：．
14【答案】8
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大，
由，解得，
此时，
故答案为：．
15【答案】20
【解析】由题知，为等差数列，，，
设公差为，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，，
所以使得达到最大值的是．
故答案为：．
16【答案】
【解析】因为，
所以，，
即
．
令，
易知函数在上单调递增，
又，
所以恒成立，即恒成立．
所以．
令，，
则，，
由，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，
故实数的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17（1）【答案】．
【解析】依题意，得，
所以抽取的名学生的平均成绩．
17（2）【答案】．
【解析】依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该为．
而比赛成绩在的频率为：
，
而，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为．
18（1）【答案】
【解析】由于， ，则．
因为，由正弦定理知，
则．
18（2）【答案】
【解析】因为，所以由余弦定理，得，
即，解得（负值舍去），而，，
所以的面积．
19（1）【答案】证明见解析
【解析】由在底面上的投影为的中点，知平面，
又平面，故，
因是以为斜边的等腰直角三角形，故，
而，平面，，故平面，
由平面，得．
19（2）【答案】
【解析】由，为的中点，侧面为菱形，知，
由是以为斜边的等腰直角三角形，，可得，，
由（）知直线，，两两垂直，
如图，以点为原点，
直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，得，
又，故点到平面的距离为：
．
19（3）【答案】存在满足条件的点，
【解析】假设存在满足条件的点，令，
则
，
于是，由直线与侧面所成角的正弦值为，
可得
，
即，解得．
又，故．
因此存在满足条件的点，且．
20（1）【答案】椭圆的方程为，离心率为．
【解析】因为椭圆经过点，
所以，解得．
所以椭圆的方程为．
因为，，
所以．
所以离心率为．
20（2）【答案】直线过定点．
【解析】直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设，，，，
则有，，
直线的方程为，
令，解得，
则，
所以直线的斜率为，
且．
所以直线的方程为．
令，
则
，
所以直线过定点．
21（1）【答案】．
【解析】当时，，则，
则，，
所以函数在点处的切线方程为．
21（2）【答案】．
【解析】，则且，
由题意可知，对任意的，．
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
所以，．
①当时，即当时，，
此时函数在上单调递增，
故当时，，合乎题意；
②当时，即当时，由可得，
即，
此时，
解得，
，则
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
则，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22（1）【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．
【解析】解：当时，的参数方程为（为参数），
则的普通方程为，
是以坐标原点为圆心，半径为的圆．
22（2）【答案】
【解析】解：当时，：，
消去参数，得的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
联立，
其中，，
解得，
与的公共点的直角坐标为．
23（1）【答案】见解析
【解析】解：当时，，
，当时，恒成立，；
当时，恒成立，不符合，
综上，不等式的解集为．
23（2）【答案】见解析
【解析】解：当时，在上恒成立；
当时，，，不满足题意，
的取值范围为：．高三数学高考押题卷（全国乙卷地区理科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为 ，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）．
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
7. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. （5分）圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的倍，则它的体积是原来体积的( )
A. B. C. D.
9. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）在 中，，，， 为 内（包括边界） 的动点， 且 ， 则 的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
12. （5分）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线与的右支交于点，若是等腰三角形，且的角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知点在抛物线：上，则点到抛物线焦点的距离是 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题（共5题，12小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（3分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
（2）（4分）求证：．
（3）（5分）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知．
（1）（3分）当时，求函数在处的切线方程．
（2）（4分）求证：．
（3）（5分）若在恒成立，求的取值范围.
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
第 1 页，共 1 页高三数学高考押题卷（全国甲卷地区理科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列集合为空集的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）．
A. B. C. D.
9. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. （5分）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
11. （5分）已知正四棱锥的底面边长为，高为．以点为球心，为半径的球与过点，，，的球相交，相交圆的面积为，则球的半径为（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12. （5分）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线与的右支交于点，若是等腰三角形，且的角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
14. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
15. （5分）过抛物线的焦点的直线与交于，两点．设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则 ．
16. （5分）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 斜三棱柱的各棱长都为，，点在下底面上的投影为的中点．
（1）（6分）在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
（2）（6分）求点到平面的距离．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知函数，其导函数为．
（1）（4分）若函数有三个零点，且，试比较与的大小.
（2）（4分）若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.
（3）（4分）在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
第 1 页，共 1 页高三数学高考押题卷（全国甲卷地区文科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列集合为空集的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）已知，则“对任意，，”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
6. （5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续周的量化打分不低于分，则为优秀班级．下列能断定该班为优秀班级的是（ ）
A. 某班连续周量化打分的平均数为，中位数为
B. 某班连续周量化打分的平均数为，方差大于
C. 某班连续周量化打分的中位数为，众数为
D. 某班连续周量化打分的平均数为，方差为
9. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）已知正三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ）．
A. 直线/平面 B. 和到平面的距离相等
C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得
12. （5分）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）曲线在点处的切线方程为 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）过抛物线的焦点的直线与交于，两点．设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则 ．
三、解答题（共5题，10小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，点在线段上，且，为的中点．
（1）（6分）求证：平面．
（2）（6分）若平面平面，求三棱锥的体积．
20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，上顶点为．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，若，，判断是否为定值？并说明理由．
21. 已知函数．
（1）（5分）若，证明：．
（2）（7分）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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参考答案
一、选择题（共12题，共 60 分）
1【答案】D
【解析】∵
为纯虚数，
∴，解得．
故选．
2【答案】B
【解析】集合，集合，
所以，，
对于，，
因此不满足题意；
对于，，
因此满足题意；
对于，，
因此不满足题意；
对于，，
因此不满足题意，
故选．
3【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，如图，
则该几何体的体积．
故选：．
4【答案】A
【解析】因为对任意都成立，
所以，即，
又，
所以，
所以，
因为是的真子集，
所以“对任意，，”是“”的充分不必要条件，
故选：．
5【答案】A
【解析】解：是上的奇函数，
，
．
故选：A．
6【答案】B
【解析】，
，
即，
又向量在向量方向的投影向量
，
则，
即，
且，
则，
即向量与的夹角是．
因此正确答案为：．
7【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，
曲线即为圆
，
∵渐近线被圆所截得的弦长为．
则圆心到的距离，
利用勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
8【答案】D
【解析】若连续周的量化打分数据为，满足的条件，但第周的打分低于分，故，错误；
若连续周的量化打分数据为，满足的条件，但第周的打分低于分，错误；
根据方差公式，
因为方差为，
所以若存在一周的量化打分低于分，则方差一定大于，故能断定该班为优秀班级，正确．
故选：．
9【答案】C
【解析】解：如图，
设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，
由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，
又正方形的面积为，
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．
故选：C．
10【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，
依题有：公比，，，解得，
则，
，，
从而，
，
故选：．
11【答案】A B
【解析】A 选项：
连接交于点，连接，则为的中点，由为的中点，
知，而平面，平面，则平面，故正确；B 选项：由知，，，到平面的距离相等，又在线段上，∴和到平面的距离相等，故正确；C 选项：由题意，易知平面与平面不垂直，又平面，∴不可能有平面，故错误；D 选项：
由题意知：如图，过作，则为在平面上的射影，而由图知不可能与垂直，∴不可能成立．故选 AB.
12【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，
得到函数的图象，即，
因为函数在上没有零点，
则，即，即，
则，由，得，，得，，
若函数在上有零点，
则，，
即，，
又，则，，
当时，解得．
当时，解得．
当时，解得，与矛盾．
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或．
故选：．
二、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】．
【解析】曲线，可得，
切线的斜率为：，
切线方程为：，即：.
故答案为：．
14【答案】8
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大，
由，解得，
此时，
故答案为：．
15【答案】20
【解析】由题知，为等差数列，，，
设公差为，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，，
所以使得达到最大值的是．
故答案为：．
16【答案】4
【解析】易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；
设过的直线的斜率为，则，
将代入，
得，即．
设，，
则，，
所以，
又因为点，轴，
所以点纵坐标为，
即，
即，
所以，则，，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，
所以，
即或（舍去）．
故答案为：．
三、解答题（共5题，10小题；共 60 分）
17（1）【答案】．
【解析】依题意，得，
所以抽取的名学生的平均成绩．
17（2）【答案】．
【解析】依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该为．
而比赛成绩在的频率为：
，
而，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为．
18（1）【答案】
【解析】由于， ，则．
因为，由正弦定理知，
则．
18（2）【答案】
【解析】因为，所以由余弦定理，得，
即，解得（负值舍去），而，，
所以的面积．
19（1）【答案】证明见解析．
【解析】∵，为的中点，
∴．
∵底面为菱形，，
∴．
∵，
∴平面．
19（2）【答案】．
【解析】∵平面平面，
平面平面，，
∴平面，
∴．
∵，
∴，∴点到平面的距离为，
．
∵平面，，
∴平面．
∵，
∴
．
∴三棱锥的体积为．
20（1）【答案】．
【解析】由题意可得，解得，
故椭圆的方程为．
20（2）【答案】为定值，理由见详解．
【解析】为定值，理由如下：
由（）可得，由题意可知直线的斜率存在，
设直线，，，则，
联立方程，得，
消去得，
则，
，，
，，，，
∵，，
∴，
可得，
∴
（定值）．
21（1）【答案】证明见解析．
【解析】当时，，则有，
令，解得，
∴当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
∴函数，即得．
21（2）【答案】．
【解析】根据题意，恒成立，
等价变形可得恒成立，
令，则只需，
∵，
令，则有，
∴在上单调递增．
∵，，
∴存在，使得，．
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，
取，
∴．
∴，单调递增．
∴．
∴．
∴，．
∴．
故，
即实数的取值范围为．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22（1）【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．
【解析】解：当时，的参数方程为（为参数），
则的普通方程为，
是以坐标原点为圆心，半径为的圆．
22（2）【答案】
【解析】解：当时，：，
消去参数，得的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
联立，
其中，，
解得，
与的公共点的直角坐标为．
23（1）【答案】见解析
【解析】解：当时，，
，当时，恒成立，；
当时，恒成立，不符合，
综上，不等式的解集为．
23（2）【答案】见解析
【解析】解：当时，在上恒成立；
当时，，，不满足题意，
的取值范围为：．高三数学高考押题卷（全国甲卷地区理科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列集合为空集的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
6. （5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. （5分）如图，在长方体中，， ，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）．
A. B. C. D.
9. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. （5分）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
11. （5分）已知正四棱锥的底面边长为，高为．以点为球心，为半径的球与过点，，，的球相交，相交圆的面积为，则球的半径为（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12. （5分）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线与的右支交于点，若是等腰三角形，且的角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
14. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
15. （5分）过抛物线的焦点的直线与交于，两点．设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则 ．
16. （5分）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 斜三棱柱的各棱长都为，，点在下底面上的投影为的中点．
（1）（6分）在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
（2）（6分）求点到平面的距离．
20. 已知椭圆经过点．
（1）（4分）求椭圆的方程及离心率．
（2）（8分）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21. 已知函数，其导函数为．
（1）（4分）若函数有三个零点，且，试比较与的大小.
（2）（4分）若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.
（3）（4分）在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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参考答案
一、选择题（共12题，共 60 分）
1【答案】D
【解析】∵
为纯虚数，
∴，解得．
故选．
2【答案】B
【解析】集合，集合，
所以，，
对于，，
因此不满足题意；
对于，，
因此满足题意；
对于，，
因此不满足题意；
对于，，
因此不满足题意，
故选．
3【答案】B
【解析】由三视图还原几何体，如图，
则该几何体的体积．
故选：．
4【答案】A
【解析】解：是上的奇函数，
，
．
故选：A．
5【答案】C
【解析】解：如图，
设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，
由题意可知，，即．
图中黑色区域的面积为，
又正方形的面积为，
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．
故选：C．
6【答案】B
【解析】解：甲同学选择牛，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
甲同学选择马，乙有种选择，丙有种选择，选法共有种，
所以总共有种选法．
故选：B．
7【答案】D
【解析】方法一：以点为坐标原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
则，，，．
∴，，
由题意得，四边形为正方形，
∴，
易得平面，且平面，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴为平面的一个法向量．
∴．
∴与平面所成角的正弦值为．
故选：．方法二：如图，在长方体中，连接交于点，连接．
∵四边形是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴．
又∵，，平面，
∴平面，
∴是在平面内的射影．
∴是与平面所成的角．
在正方形中，，
在矩形中，．
∴．
故选：．
8【答案】B
【解析】，
，
即，
又向量在向量方向的投影向量
，
则，
即，
且，
则，
即向量与的夹角是．
因此正确答案为：．
9【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，
依题有：公比，，，解得，
则，
，，
从而，
，
故选：．
10【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，
得到函数的图象，即，
因为函数在上没有零点，
则，即，即，
则，由，得，，得，，
若函数在上有零点，
则，，
即，，
又，则，，
当时，解得．
当时，解得．
当时，解得，与矛盾．
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或．
故选：．
11【答案】B
【解析】当公共圆面在四棱锥内部时，如图所示，
设相交圆的圆心为，点为相交圆上的一点，也是两球的公共点，设球的半径为，
因为相交圆的面积为，
所以相交圆的半径为，即，底面正方形边长为，
所以，，，
由勾股定理有，
所以，设，则①，②，
联立①②解得．
当公共圆面在四棱锥外部时，如图所示，
同上可求，，，
则③，
④，
联立③④，解得．
故选：．
12【答案】B
【解析】联立且在第一象限，可得，
而，，
所以，
，
由题设，，故是等腰直角三角形，
所以，
而的角平分线与轴平行，所以，
又，
可得，
则，
可得，
所以．
故选：．
二、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】8
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大，
由，解得，
此时，
故答案为：．
14【答案】20
【解析】由题知，为等差数列，，，
设公差为，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，，
所以使得达到最大值的是．
故答案为：．
15【答案】4
【解析】易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；
设过的直线的斜率为，则，
将代入，
得，即．
设，，
则，，
所以，
又因为点，轴，
所以点纵坐标为，
即，
即，
所以，则，，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，
所以，
即或（舍去）．
故答案为：．
16【答案】
【解析】令，
则，
又，
所以得，
即，
所以为上的偶函数，
又时，，
所以在上单调递增，
又为上的偶函数，
所以在上单调递减，
由，
得，
所以，
即，
所以得，
解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
三、解答题（共5题，11小题；共 60 分）
17（1）【答案】．
【解析】依题意，得，
所以抽取的名学生的平均成绩．
17（2）【答案】．
【解析】依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该为．
而比赛成绩在的频率为：
，
而，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为．
18（1）【答案】
【解析】由于， ，则．
因为，由正弦定理知，
则．
18（2）【答案】
【解析】因为，所以由余弦定理，得，
即，解得（负值舍去），而，，
所以的面积．
19（1）【答案】存在，．
【解析】连接，因为，为的中点，
所以，由题意知平面，
又，，
所以．
以点为原点，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
由得，
同理得，
设，得，
又，，
由，
得，得，
又，
∴，
∴存在点且满足条件．
19（2）【答案】．
【解析】设平面的法向量为，，，
则有，可取，
又，
∴点到平面的距离为
，
∴所求距离为．
20（1）【答案】椭圆的方程为，离心率为．
【解析】因为椭圆经过点，
所以，解得．
所以椭圆的方程为．
因为，，
所以．
所以离心率为．
20（2）【答案】直线过定点．
【解析】直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设，，，，
则有，，
直线的方程为，
令，解得，
则，
所以直线的斜率为，
且．
所以直线的方程为．
令，
则
，
所以直线过定点．
21（1）【答案】
【解析】因为，故一正一负，
，
所以，所以是方程的两根，
由根与系数的关系得，
因为，
所以，故，
，，
因为，，
所以．
21（2）【答案】存在，理由见解析
【解析】，开口向上，，，
，，
①当时，，
根据零点存在定理可知，存在使得，
且时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以在区间上存在极大值点，
②当时，，，
根据零点存在定理可知，存在使得，
且时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以在区间上存在极小值点．
21（3）【答案】
【解析】对任意的，总存在使得成立，
设，的最大值为，
则，
即①，②，③，
由①③，得④，
由②，得⑤，
由④⑤，得，即，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22（1）【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．
【解析】解：当时，的参数方程为（为参数），
则的普通方程为，
是以坐标原点为圆心，半径为的圆．
22（2）【答案】
【解析】解：当时，：，
消去参数，得的直角坐标方程为，
的直角坐标方程为，
联立，
其中，，
解得，
与的公共点的直角坐标为．
23（1）【答案】见解析
【解析】解：当时，，
，当时，恒成立，；
当时，恒成立，不符合，
综上，不等式的解集为．
23（2）【答案】见解析
【解析】解：当时，在上恒成立；
当时，，，不满足题意，
的取值范围为：．高三数学高考押题卷（全国甲卷地区文科）
一、选择题（共12题，共 60 分）
1. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）已知集合，，则下列集合为空集的是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. （5分）已知，则“对任意，，”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. （5分）函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
6. （5分）已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续周的量化打分不低于分，则为优秀班级．下列能断定该班为优秀班级的是（ ）
A. 某班连续周量化打分的平均数为，中位数为
B. 某班连续周量化打分的平均数为，方差大于
C. 某班连续周量化打分的中位数为，众数为
D. 某班连续周量化打分的平均数为，方差为
9. （5分）如图是一边长为的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C. D.
10. （5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. （5分）已知正三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ）．
A. 直线/平面 B. 和到平面的距离相等
C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得
12. （5分）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）曲线在点处的切线方程为 ．
14. （5分）若，满足约束条件，则的最大值是 ．
15. （5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ．
16. （5分）过抛物线的焦点的直线与交于，两点．设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则 ．
三、解答题（共5题，10小题；共 60 分）
17. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
（1）（6分）求抽取的名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）．
（2）（6分）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．参考公式：（是第组的频率），参考数据：．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（1）（6分）求的值；
（2）（6分）若，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，点在线段上，且，为的中点．
（1）（6分）求证：平面．
（2）（6分）若平面平面，求三棱锥的体积．
20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，上顶点为．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，若，，判断是否为定值？并说明理由．
21. 已知函数．
（1）（5分）若，证明：．
（2）（7分）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
四、选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）（5分）当时，是什么曲线？
（2）（5分）当时，求与的公共点的直角坐标．
23. 已知．
（1）（5分）当时，求不等式的解集．
（2）（5分）若时，，求的取值范围．
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