高三数学高考押题卷（北京地区）
一、选择题（共10题，共 40 分）
1. （4分）若集合，下列关系式中成立的为（ ）．
A. B. C. D.
2. （4分）设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. （4分）如果，那么下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
4. （4分）在中，， ，则“”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. （4分）在中，为边上的中线，为的中点，若，则（ ）．
A. B. C. D.
6. （4分）一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
7. （4分）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
8. （4分）在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）．
A. 点的轨迹是一条线段 B. 与是异面直线
C. 与不可能平行 D. 三棱锥的体积为定值
9. （4分）已知函数，．若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
10. （4分）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在，使得，则实数唯一.
A. ② B. ① C. ①③ D. ①②③
二、填空题（共5题，共 25 分）
11. （5分）函数的定义域是 ．
12. （5分）设等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则数列的公比为 ．
13. （5分）设双曲线的焦点为，，点为该双曲线上的一点，若，则 ，的面积为 ．
14. （5分）已知函数，若，满足，，且，则的值为 ．
15. （5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6题，15小题；共 85 分）
16. 如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，，．四边形为矩形，线段交于点．
（1）（4分）求证：平面；
（2）（5分）求二面角的大小；
（3）（5分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
17. 已知函数．
（1）（7分）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）（6分）若当时，关于的不等式 ，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（），并求解．其中，①有解；②恒成立．
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．
18. 在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对，，，，五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了人，统计数据如下表，其中，，．
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（1）（4分）若某校共有名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数．
（2）（5分）从该区教师中随机抽取人，估计这人中至少有人使用教育软件的概率．
（3）（4分）设该区有名教师，从中随机抽取人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有名教师，其中有人使用教育软件，人使用教育软件，从学校中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师（除学校外）中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．试比较，和之间的大小．（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）（5分）当时，求函数的单调递增区间．
（2）（10分）设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
20. 已知椭圆的右焦点为．
（1）（5分）求点的坐标和椭圆的离心率．
（2）（10分）直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．
21. 已知数列，，，，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，，，，满足；第二组为，，，，满足，记．
（1）（4分）若数列，，，，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值．
（2）（5分）若数列，，，，，证明：（其中表示，中较大的数）
（3）（6分）证明：的值与数列的分组方式无关．
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参考答案
一、选择题（共10题，共 40 分）
1【答案】D
【解析】根据元素与集合、集合与集合的关系可得错误，
因为，所以，故正确．
故选:D.
2【答案】D
【解析】由题知，
于是，
所以．
故选：．
3【答案】D
【解析】A 选项：，则，
∴．B 选项：，单调递减，
∴．C 选项：三次方不改变符号，则．D 选项：，
∵，．
∴对．故选 D.
4【答案】A
【解析】时，由正弦定理知，
即，
时，由正弦定理知，
即，
故或，
故“”是“”的充分而不必要条件，
故选．
5【答案】C
【解析】
由为边上的中线，为的中点，可得：
，
所以，，
所以．
因此正确答案为：C.
6【答案】C
【解析】根据题意，先将个三口之家的成员进行全排列，有种情况，
再对个三口之家整体进行全排列，有种情况，
则有种不同的坐法．
故选：．
7【答案】B
【解析】不妨设为第一象限内的点，坐标为．
由抛物线的方程得，则，
故，
所以，点关于准线的对称点为，
故，
当且仅当，，三点共线时，等号成立．
即的最小值为．
故选．
8【答案】C
【解析】由题知平面，分别取，的中点，，
连接，，，，，可得，，
又，，
故平面平面，故点的轨迹为线段，正确；
由异面直线的判定定理可知与是异面直线，故正确；
当是的中点时，与平行，故不正确；
∵，平面，平面，
∴平面，
∴点到平面的距离不变，
故三棱锥的体积为定值，故正确．
故选：．
9【答案】B
【解析】设点，点，
当时，点，
根据指数函数与对数函数的性质知，此时，
显然满足条件；当，时，
由，知，
即，即（*），
由，知，
即，
将（*）式代入，得，
由于，有，
因此有，即，即，
由于，
所以（*）式可知不满足条件，
则有代入（*）式得，
所以，
故．
故选：．
10【答案】B
【解析】因为，
所以，则，
由，得，，
所以，
①当时，，所以，
所以为等差数列，①对；②若存在实数，使得为等比数列，
则，
即，
因为方程组无解，所以不可能为等比数列，②错；
③当为偶数时，
，
当为奇数时，，
若存在，使得，
所以，且，
当为偶数时，，解得；
当为奇数时，，解得，
所以不唯一，③错．
故选：B．
二、填空题（共5题，共 25 分）
11【答案】
【解析】要使函数有意义应满足，解得．
12【答案】或
【解析】设，
∵，，成等差数列，
∴，
即，
整理得，
又∵，
∴，
解得或，
故答案为或．
13【答案】5 2
【解析】，，
∴，
∴，
∴解得，（舍去），
而，
则
，
则，
则
．
故答案为：；．
14【答案】或
【解析】∵，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，，即，，
∴
，，
∵，
∴或．
15【答案】①②④
【解析】设甲与乙的工作效率分别为，工作年限分别为，劳累程度分别为，劳动动机分别为，
对于①，，，，，，
∴，，
则
，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，
，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共6题，15小题；共 85 分）
16（1）【答案】证明见解析
【解析】连接，在中，分别为中点，所以，
因为平面，平面．
所以平面
16（2）【答案】
【解析】如图以为原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系
则，
所以．
设平面的法向量为，
则
即解得
令，得，
所以
因为平面的法向量，
所以，
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
16（3）【答案】存在点，且
【解析】设存在点满足条件．
由．设，
整理得，
因为直线与平面所成角的大小为，
所以，
则，由知，即点与点重合．
故在线段上存在一点，且
17（1）【答案】，，．
【解析】因为
，
所以函数的最小正周期，
因为函数的单调递增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
17（2）【答案】若选择①，；若选择②，．
【解析】若选择①，由题意可知，不等式有解，即，
因为，所以，
故当，即时，
取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②，由题意可知，不等式恒成立，即，
因为，所以，
故当，即时，
取得最小值，且最小值为．
所以．
18（1）【答案】人．
【解析】从表格数据可知，，则，
所以样本中教师使用教育软件或的人数为，
故估计该校教师中使用教育软件或的人数为．
18（2）【答案】．
【解析】设事件为“从该区教师中随机抽取人，至少有人使用教育软件”，
由题意可知，样本中的名教师使用软件的频率为，
用频率估计概率，从该区教师中随机抽取一名教师，估计该教师使用教育软件的概率为，
记被抽取的人中使用软件的人数为，则，
所以，
，
所以．
18（3）【答案】．
【解析】．
19（1）【答案】增区间为．
【解析】当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
19（2）【答案】．
【解析】由，
可得，
设，
则，
令，即，解得，
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
显然，
若在上存在极值，
则满足或，
解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为．
20（1）【答案】，
【解析】椭圆，
，解得，
焦点，离心率．
20（2）【答案】直线过轴上定点
【解析】直线过点，
，
，
由，
得，依题意．
设，，
则，，
点关于轴的对称点为，
则，
直线的方程可以设为，
令，
则
，
直线过轴上定点．
21（1）【答案】数列分成：，；，．．
【解析】可将数列分成：，；，．
此时．
21（2）【答案】证明见解析．
【解析】因为，，
所以，
，
所以，
因为，，，，，，，，，共项，
所以，
所以．
21（3）【答案】证明见解析．
【解析】不妨将数列，，，重新排序得到，
数列，，，，满足（，，，），
因为，，
所以，
，
所以，
因为，，，，，，，，，共项，
所以恰为，，，中某一项，
同理恰为，，，中某一项（其中表示，中较小的数）．
因为，
所以
所以的值与数列的分组方式无关．高三数学高考押题卷（北京地区）
一、选择题（共10题，共 40 分）
1. （4分）若集合，下列关系式中成立的为（ ）．
A. B. C. D.
2. （4分）设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. （4分）如果，那么下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
4. （4分）在中，， ，则“”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. （4分）在中，为边上的中线，为的中点，若，则（ ）．
A. B. C. D.
6. （4分）一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
7. （4分）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
8. （4分）在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）．
A. 点的轨迹是一条线段 B. 与是异面直线
C. 与不可能平行 D. 三棱锥的体积为定值
9. （4分）已知函数，．若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
10. （4分）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在，使得，则实数唯一.
A. ② B. ① C. ①③ D. ①②③
二、填空题（共5题，共 25 分）
11. （5分）函数的定义域是 ．
12. （5分）设等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则数列的公比为 ．
13. （5分）设双曲线的焦点为，，点为该双曲线上的一点，若，则 ，的面积为 ．
14. （5分）已知函数，若，满足，，且，则的值为 ．
15. （5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6题，15小题；共 85 分）
16. 如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，，．四边形为矩形，线段交于点．
（1）（4分）求证：平面；
（2）（5分）求二面角的大小；
（3）（5分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
17. 已知函数．
（1）（7分）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）（6分）若当时，关于的不等式 ，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（），并求解．其中，①有解；②恒成立．
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．
18. 在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对，，，，五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了人，统计数据如下表，其中，，．
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（1）（4分）若某校共有名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数．
（2）（5分）从该区教师中随机抽取人，估计这人中至少有人使用教育软件的概率．
（3）（4分）设该区有名教师，从中随机抽取人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有名教师，其中有人使用教育软件，人使用教育软件，从学校中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师（除学校外）中随机抽取人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．试比较，和之间的大小．（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）（5分）当时，求函数的单调递增区间．
（2）（10分）设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
20. 已知椭圆的右焦点为．
（1）（5分）求点的坐标和椭圆的离心率．
（2）（10分）直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．
21. 已知数列，，，，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，，，，满足；第二组为，，，，满足，记．
（1）（4分）若数列，，，，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值．
（2）（5分）若数列，，，，，证明：（其中表示，中较大的数）
（3）（6分）证明：的值与数列的分组方式无关．
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