高三数学春季一模押题卷（全国版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2. （5分）复数(是虚数单位)，的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3. （5分）设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表．庑殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，又叫五脊殿．《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”，并给出了其体积公式：（ 下袤上袤）广 高（广：东西方向长度；袤：南北方向长度）．已知一刍甍状庑殿顶，南北长，东西长，正脊长，斜脊长，则其体积为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学所大学的机会，若每所大学至少保送人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. （5分）已知椭圆（），直线过坐标原点并交椭圆于， 两点（在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知函数，若，，，，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）若的展开式中的系数是，则下列结论正确的有（ ）．
A. B. 展开式中偶数项的二项式系数和为 C. 展开式中所有项系数的和为 D. 展开式中所有二项式系数的和为
10. （5分）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ）．
A. B.
C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递减
11. （5分）如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）．
A. 存在无数个点满足
B. 当点在棱上运动时，的最小值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 满足的点的轨迹是一段圆弧
12. （5分）关于函数，，下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，在处的切线方程为
B. 当时，存在唯一极小值点且
C. 对任意，在上均存在零点
D. 存在，在上有且只有一个零点
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知正方形的边长为，为平面内一点，则的最小值为 ．
14. （5分）设抛物线的焦点为．过点的直线与相交于，且，则 ．
15. （5分）在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为 ．
16. （5分）如图所示，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形的边长为，取正三角形各边的四等分点，，，作第个正三角形，然后再取正三角形各边的四等分点，，， 作第个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 ．设三角形的面积为，后续各阴影三角形面积依次为，，，，，则 ，数列的前项和 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，记的面积为．
（1）（5分）求．
（2）（5分）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由．条件：①，②，③．
18. 设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．
（1）（5分）求函数的单调递增区间；
（2）（7分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，
①若，求的值；
②若，，求的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，且为等边三角形．
（1）（5分）若，求证：．
（2）（7分）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用实验方案．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取个果实，按果径分成组进行统计：，，，，（单位：）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到及以上的为“大果”．
（1）（5分）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．
附：
（2）（7分）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径（单位：）服从正态分布，其中近似为样本平均数，．请估计对照园中果径落在区间内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
附：若服从正态分布，则，，．
21. 已知双曲线，的离心率为，点在上．
（1）（4分）求双曲线的方程．
（2）（8分）设过点的直线与双曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数．
（1）（4分）当时，求函数的单调递增区间．
（2）（8分）设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
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参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】D
【解析】解：，，，
则图中阴影部分表示的集合为．
故选：D．
2【答案】B
【解析】解：，
．
故选：B．
3【答案】A
【解析】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，
充分性：，
则对任意的恒成立，
则，，
若，则数列为单调递减数列，
则必存在，使得当时，，
则，不合乎题意；
若，由且数列为单调递增数列，
则对任意的，，合乎题意．
所以，“，”“为递增数列”；
必要性：设，当时，，
此时，，但数列是递增数列．
所以，“，”“为递增数列”.
因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：．
4【答案】B
【解析】∵，且，
∴，，
∴
，
∵，∴，
∴，，，
故选．
5【答案】D
【解析】如图，
已知，，，，
过点作，垂足为，过点作平面，垂足为，连接，
则，，，，故该五面体的高度为．
所以其体积．
故选：．
6【答案】A
【解析】每所大学至少保送人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，
先考虑甲去的学校有种情况，对甲去的学校分类讨论，
若该校只有人保送，则另外人去两所学校共有种方案；
若甲去的学校有人保送，则另外人去所学校共有种方案，
则不同的保送方案共有种．
故选：．
7【答案】D
【解析】依题意，设，，，，
直线，，的斜率一定存在，分别设为，，，
直线恰好是以为直径的圆的切线，则，则，
则，
，
，，
两式相减得，
，即，
，
，
，
椭圆的离心率，
故选：．
8【答案】A
【解析】因为，
所以在上是奇函数．
所以，
对求导得，，
令，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
则时，，
即，
所以在上单调递增．
因为，
所以，
因为在上单调递增，
所以．
令，
则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
而，
即，
所以，
即．
所以，
即，
则，
所以，
所以，
即．
故选：．
二、多选题（共4题，共 20 分）
9【答案】A D
【解析】A 选项：的展开式的通项为，
令，求得，可得展开式中的系数是，求得，故正确；B 选项：展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；C 选项：令，可得展开式中所有项系数的和为，故错误；D 选项：展开式中所有二项式系数的和为，故正确．故选 AD.
10【答案】A D
【解析】由图像可知函数的最大值为，最小值为，
所以，．
又，所以，
又，
所以．
又，
所以，
所以，故正确．
将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得的图象，
故错误．
由得，
所以的图像关于点对称，故错误．
由，
得，
所以选项正确．
故选．
11【答案】A D
【解析】对选项，若在上，此时必有，证明如下：
易得平面，
所以，
又，
所以平面，
所以，所以选项正确；
对选项，如图，
旋转平面使之与平面共面，连接，交于，
此时最短，为，此时，所以选项错误；
对选项，
当在和交点处时，
此时直线与所成的角即直线与所成角，
此时异面直线与所成的角最小，其正切值为，
即最小角大于，所以选项错误；
对选项，在平面上建立平面直角坐标系，
设，，
设，由得，整理可得
：，
根据解析式可得的轨迹是圆的一部分，故选项正确．
故选．
12【答案】A B D
【解析】直接法，逐一验证．
选项，当时，，，
所以，故切点为，，
所以切线斜率，
故切线方程为：，即切线方程为：，故符合题意；
选项，当时，，，则，恒成立，
所以单调递增，
又，，
故存在唯一极值点，不妨设，则，即，
，故符合题意；
对于选项、选项，，，令，即，
当，且时，显然，故，且，
所以，
令，则，
令，解得，，，
所以在上单调递减，
在上单调递增，有极小值，
在上单调递增，
在上单调递减，
有极大值为，
故选项，任意均有零点，不符合，
选项，存在，有且只有唯一零点，此时，
故选．
三、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】-4
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
设，则，
，
则
，
当时，上式取得最小值．
故答案为：．
14【答案】2
【解析】方法一：设直线的方程为，代入，
得，
设，，则，，
由，得，联立方程组，可求得．
故答案为：．方法二：设直线的倾斜角为，由抛物线的定义易知，，
∵，
∴，
代入，．
故答案为：．方法三：设，，由抛物线焦点弦性质则有
，解得，
所以．
故答案为：．
15【答案】
【解析】解：[解法一]设；
则①，
②；
由，得，
即，
代入②得；
此方程表示的圆心到直线的距离为；
即，
解得．
实数的最小值为．
[解法二]设；
则①；
由，得，
即，
代入①化简得；
点的轨迹是圆心为，半径为的圆，
又点在直线上，如图所示，
则直线与该圆有公共点，
即圆心到直线的距离为；
，
解得；
实数的最小值为．
故答案为：．
16【答案】
【解析】设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，，，
由题意， 得，由余弦定理得，
，
则，
由于，
，
所以，
，
于是数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
故答案为：；．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17（1）【答案】
【解析】因为，
所以，
解得，
所以．
17（2）【答案】选择①个；选择②个；选择③不存在，见解析
【解析】选择①，因为，
所以，
所以，
化简得.又，
故．
由，得．
因为，
所以或，故满足条件的的个数为．
选择②，因为，
所以，即，
化简得，
因为，所以，
解得．
由，得，
所以，
故满足条件的的个数为．
选择③，因为，
所以．
又，
所以，
所以，
化简得．
又，
故．
由，
得，无解，不存在满足条件的三角形．
18（1）【答案】；
【解析】通过题意，
，
，
而函数的图象关于原点对称，
则有 ，，
即，，
而，
则，，
因此，
由，，
得，
所以函数的单调递增区间是.
18（2）【答案】①；②
【解析】由（）知，，
即．
在中，，
即，
则，
解得，
①，
由余弦定理得：，
因此，
所以；
②在中，，
则有，得，
又，因此，
由正弦定理，
得
，
显然，
即，
从而，
所以的取值范围是.
19（1）【答案】见解析
【解析】因为底面为矩形，，为的中点，
所以，
所以为等腰直角三角形，
所以．
同理，．
所以．
又因为，且，面，面，
所以面．
因为面，
所以．
19（2）【答案】
【解析】取中点，中点、连接，，则．
又为等边三角形，
所以，
所以为二面角的平面角．
所以，
以为原点，以，方向分别作为，轴正方向，建立空间直角坐标系．
于是，，，，，，．
令为平面的一个法向量，
则，
即，
令，得．
设直线与平面所成的角为，
则
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20（1）【答案】
有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．
【解析】由频率分布直方图可得：采用实验方案时“大果”数量为，
则“非大果”数量为，
未采用实验方案时“大果”的数量为，
则“非大果”数量为，列联表如下：
假设：“大果”与“采用实验方案”无关，
则
，
依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立．
所以有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．
20（2）【答案】．
【解析】
，
所以服从正态分布，
．
所以对照园中果径落在区间内的概率为．
21（1）【答案】．
【解析】因为双曲线的离心率为，
所以，
化简得．
将点代入，可得，
解得，
所以的方程为.
21（2）【答案】存在，，常数为．
【解析】设，，直线的方程为，
联立方程组，
消去得，
由题可知且，
即且，
所以，．
设存在符合条件的定点，
则，，
所以
．
所以
，
化简得．
因为为常数，
所以，解得．
此时该常数的值为，
所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
22（1）【答案】单调递增区间为．
【解析】当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
22（2）【答案】．
【解析】由，
可得，
设，
则，
令，即，解得，
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减．
且，，，
显然，
若在上存在极值，
则满足或，
解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为．高三数学春季一模押题卷（全国版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2. （5分）复数(是虚数单位)，的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3. （5分）设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表．庑殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，又叫五脊殿．《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”，并给出了其体积公式：（ 下袤上袤）广 高（广：东西方向长度；袤：南北方向长度）．已知一刍甍状庑殿顶，南北长，东西长，正脊长，斜脊长，则其体积为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学所大学的机会，若每所大学至少保送人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. （5分）已知椭圆（），直线过坐标原点并交椭圆于， 两点（在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知函数，若，，，，则，，的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）若的展开式中的系数是，则下列结论正确的有（ ）．
A. B. 展开式中偶数项的二项式系数和为 C. 展开式中所有项系数的和为 D. 展开式中所有二项式系数的和为
10. （5分）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ）．
A. B.
C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递减
11. （5分）如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）．
A. 存在无数个点满足
B. 当点在棱上运动时，的最小值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 满足的点的轨迹是一段圆弧
12. （5分）关于函数，，下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，在处的切线方程为
B. 当时，存在唯一极小值点且
C. 对任意，在上均存在零点
D. 存在，在上有且只有一个零点
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知正方形的边长为，为平面内一点，则的最小值为 ．
14. （5分）设抛物线的焦点为．过点的直线与相交于，且，则 ．
15. （5分）在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为 ．
16. （5分）如图所示，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形的边长为，取正三角形各边的四等分点，，，作第个正三角形，然后再取正三角形各边的四等分点，，， 作第个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 ．设三角形的面积为，后续各阴影三角形面积依次为，，，，，则 ，数列的前项和 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，记的面积为．
（1）（5分）求．
（2）（5分）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由．条件：①，②，③．
18. 设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．
（1）（5分）求函数的单调递增区间；
（2）（7分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，
①若，求的值；
②若，，求的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，且为等边三角形．
（1）（5分）若，求证：．
（2）（7分）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用实验方案．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取个果实，按果径分成组进行统计：，，，，（单位：）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到及以上的为“大果”．
（1）（5分）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．
附：
（2）（7分）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径（单位：）服从正态分布，其中近似为样本平均数，．请估计对照园中果径落在区间内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
附：若服从正态分布，则，，．
21. 已知双曲线，的离心率为，点在上．
（1）（4分）求双曲线的方程．
（2）（8分）设过点的直线与双曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数．
（1）（4分）当时，求函数的单调递增区间．
（2）（8分）设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
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