高三数学春季二模押题卷（全国版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合，，全集，则集合中的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知平面向量，满足，，，记向量，的夹角为，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）的展开式中，项的系数为，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知抛物线，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）在如今这个时代，研究已方兴未艾．年月日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来速率有望达到，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计数据传输速率有望比快倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则最大信息传递率会提升到原来的（ ）（参考数据：，．）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
8. （5分）在三棱锥中，平面平面，，，若，则三棱锥体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）是等比数列的前项和，若存在，，，使得，则（ ）．
A. B. 是数列的公比 C. D. 可能为常数列
10. （5分）已知函数的图象过点和，的最小正周期为，则（ ）．
A. 可能取
B. 在上至少有个零点
C. 直线可能是曲线的一条对称轴
D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有个，则
11. （5分）下列说法正确的是（ ）．
A. 若事件，互斥，，，则
B. 若事件，相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
12. （5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（ ）
A. B. 双曲线的离心率
C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知，，则 ．
14. （5分）若直线：将圆：的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．
15. （5分）在正四棱台中，上 下底面边长分别为、，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为 .
16. （5分）已知不等式在上恒成立，则实数的最小值为 .
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取名试验者检验结果并评分（满分为分），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）（5分）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）（5分）据检测，这名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为，，，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量，求随机变量的分布列及其期望值．
18. 记的内角 的对边分别为 ，已知．
（1）（6分）证明：．
（2）（6分）若，，角的内角平分线与边交于点，求的长．
19. 如图，在三棱柱中，，，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为．
（1）（6分）求证：平面．
（2）（6分）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知等比数列的前项和满足．
（1）（6分）求首项的值及的通项公式.
（2）（6分）设，求满足的最大正整数的值．
21. 已知函数．
（1）（4分）讨论的单调性．
（2）（8分）证明：对任意，存在正数使得．且．
22. 已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点（点在轴的上方），直线，分别与直线相交于，两点．当点为椭圆的上顶点时，．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）若，且，求实数的取值范围．
第 1 页，共 1 页高三数学春季二模押题卷（全国版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合，，全集，则集合中的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. （5分）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知平面向量，满足，，，记向量，的夹角为，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）的展开式中，项的系数为，则实数的值为（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知抛物线，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）在如今这个时代，研究已方兴未艾．年月日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来速率有望达到，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计数据传输速率有望比快倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则最大信息传递率会提升到原来的（ ）（参考数据：，．）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
8. （5分）在三棱锥中，平面平面，，，若，则三棱锥体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）是等比数列的前项和，若存在，，，使得，则（ ）．
A. B. 是数列的公比 C. D. 可能为常数列
10. （5分）已知函数的图象过点和，的最小正周期为，则（ ）．
A. 可能取
B. 在上至少有个零点
C. 直线可能是曲线的一条对称轴
D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有个，则
11. （5分）下列说法正确的是（ ）．
A. 若事件，互斥，，，则
B. 若事件，相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
12. （5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（ ）
A. B. 双曲线的离心率
C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知，，则 ．
14. （5分）若直线：将圆：的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．
15. （5分）在正四棱台中，上 下底面边长分别为、，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为 .
16. （5分）已知不等式在上恒成立，则实数的最小值为 .
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取名试验者检验结果并评分（满分为分），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）（5分）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）（5分）据检测，这名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为，，，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量，求随机变量的分布列及其期望值．
18. 记的内角 的对边分别为 ，已知．
（1）（6分）证明：．
（2）（6分）若，，角的内角平分线与边交于点，求的长．
19. 如图，在三棱柱中，，，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为．
（1）（6分）求证：平面．
（2）（6分）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知等比数列的前项和满足．
（1）（6分）求首项的值及的通项公式.
（2）（6分）设，求满足的最大正整数的值．
21. 已知函数．
（1）（4分）讨论的单调性．
（2）（8分）证明：对任意，存在正数使得．且．
22. 已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点（点在轴的上方），直线，分别与直线相交于，两点．当点为椭圆的上顶点时，．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）若，且，求实数的取值范围．
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参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】A
【解析】解：，
，
，故选A．
也可用摩根定律：，
故选：A．
2【答案】D
【解析】∵
为纯虚数，
∴，解得．
故选．
3【答案】C
【解析】因为，
∴，
又，，
∴，
∴．
故选．
4【答案】B
【解析】因为展开式的通项公式为，
若中取，则中取，则系数为；
若中取，则中取，则系数为，
所以中项的系数为，解得．
故选．
5【答案】D
【解析】因为，，所以，故排除，；
又因为，，所以，故排除．
故选．
6【答案】C
【解析】由题知，直线的斜率不为，设直线的直线方程为，
代入抛物线方程得：，
，，，
选项：，故正确；
选项：，故正确；
选项：∵，
∴，，
∴
，
当时，，
∴，故错误；
选项：
，故正确．
故选．
7【答案】C
【解析】当时，最大信息传递率
；
当时，最大信息传递率
，
．
故选：．
8【答案】D
【解析】如图，取的中点，连接，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
设点到平面的距离为，
由于，，为的中点，
∴，，
可得，
，
设，则，
∴，
关于求导得，令，
解得或（舍），
由的单调性可知，当时，．
故选．
二、多选题（共4题，共 20 分）
9【答案】A B C
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，
显然是一次函数形式不是指数函数形式，故不满足，所以错；
当时，，
所以，，，
即，，
所以对．
故选：．
10【答案】B C D
【解析】由题意可知，，即，
而，所以，
又，
所以，，
即，，
所以．
对，若，则，
显然，无整数解，错误；
对，由，可得：，
因为，
所以，
故，，有解，
即在上至少有个零点，正确；
对，若直线可能是曲线的一条对称轴，
则，，
即，，
又，，
所以，，，符合，正确；
对，因为，
所以，
若函数的图象在上的最高点和最低点共有个，
则，
解得：，
而，，
所以当时，符合，正确．
故选：．
11【答案】A B C
【解析】A 选项：，正确；B 选项：，正确；C 选项：，
，
，
∴，
所以，
解得，正确；D 选项：由得，错误，故选 ABC.
12【答案】A B
【解析】设，
则，
由双曲线的定义知，，
即，，即，
∴，，故选项正确；
由余弦定理知，在中，
，
在中，
，
化简整理得，
∴离心率，故选项正确；
双曲线的渐近线方程为
，故选项错误；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，
则，与不符，故选项错误．
故选：．
三、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】3
【解析】解：，且，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
设直线和圆相交于、两点，
若较短弧长与较长弧长之比为，
则，
则圆心到直线的距离，
即，
即，
解得，
故答案为：．
15【答案】或
【解析】设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，
连接，相交于点，连接，相交于点，连接，
则球心在直线上，连接，．
如图所示，当球心在线段上时，
，
因为上 下底面边长分别为、，
所以，，
由勾股定理得，，
此时该正四棱台的高为．
如图所示，当球心在的延长线上时，
同理可知，，
此时该正四棱台的高为．
故答案为：或．
16【答案】/
【解析】因为，
可得，
构造函数，则，且，
当时，，
此时函数单调递减，当时，，
此时函数单调递增，因为求的最小值，只需考虑的情形，
因为，
则，，
所以，可得，则，
令，其中，则，
所以函数在上单调递减，
故，
所以，即，解得．
因此，实数的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17（1）【答案】；．
【解析】由，
可得，
平均得分为．
17（2）【答案】的分布列为
数学期望为．
【解析】的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为，
数学期望为．
18（1）【答案】见解析
【解析】因为，
所以，
所以，
即，
所以．
18（2）【答案】
【解析】由余弦定理得：，
，
又，
所以，，
由角平分线定理可得，，
，
在中，由余弦定理得：
，
所以．
19（1）【答案】见解析．
【解析】取中点，连接、，
因为，为的中点，
所以，故．
因为为等边三角形，
所以．
又因为，，面，
因此平面，
因为平面，
所以平面平面．
因为平面平面，
所以直线在平面的射影在直线上，
所以直线与平面所成角为，则，
因为，，
所以是正三角形，则，，
因为为等边三角形，，则，
所以在中，由，得
，则，
所以，
因为，，，面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，在中，，，
所以，
又，
所以，即，
又，，平面，
所以平面．
19（2）【答案】．
【解析】由（）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由于是的中点，易得，
又由可得，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，
即，
令，得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
易知，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
20（1）【答案】，．
【解析】方法一：当时，，则，
即，
因为数列是等比数列，
所以公比为，
当时，，即，
所以，且满足题意，所以的通项公式为．方法二：设的公比为，由题意得，，
即，
由①得，将其代入②，得，
解得或．（舍去），
所以的通项公式为．
20（2）【答案】．
【解析】由（）得，所以，
所以
，
由得，即，
令，则，
所以在时单调递增，且，
而，，
所以满足条件的最大正整数．
21（1）【答案】见解析．
【解析】，
若，则，则函数在上单调递减，
若，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，当，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
21（2）【答案】见解析．
【解析】由（）可知，当时，，
且在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以．
因为，
设，，
所以在上单调递减．
所以，即．
由零点存在性定理知，使得，
取，则，且．
22（1）【答案】．
【解析】通过题意可知，，
当点为椭圆的上顶点时，，解得，
故椭圆的方程为．
22（2）【答案】．
【解析】如下图所示，
通过题意，设直线的方程为，，，易得．
联立方程组，
消去并整理得，
则，，
直线的方程为，
令得，
同理可知，
则
，
由，解得，得，
即实数的取值范围为．
