高三数学春季二模押题卷（全国版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）满足等式的集合共有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. （5分）复数满足，则（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，与的等差中项为，则（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）用，，，，，组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，和相邻的概率是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8. （5分）已知分别是函数和的零点，则下列不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）已知两组数据：第一组数据；第二组数据．其中，，，，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（ ）
A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等
C. 极差一定相等 D. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
10. （5分）已知为椭圆的一个焦点，，为该椭圆的两个顶点，若，，则满足条件的椭圆方程为（ ）．
A. B. C. D.
11. （5分）如图，在三棱锥中，平面，，，，点到平面的距离为，则（ ）．
A. B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为
12. （5分）已知定义在上的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是（ ）．
A. B. 在单调递减
C. D. 在上可能有个零点
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
14. （5分）函数的部分图象如图，，，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则 ．
15. （5分）已知数列满足，，，则数列的前项和为 ．
16. （5分）在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为 .
四、解答题（共6题，13小题；共 70 分）
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）（5分）求角的大小．
（2）（5分）求的最大值．
18. 已知焦点为的抛物线经过点．
（1）（6分）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及的面积．
（2）（6分）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
19. 如图，三棱柱中，与均是边长为的正三角形，且．
（1）（6分）证明：平面平面．
（2）（6分）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20. 已知数列的首项，且满足．
（1）（6分）求证：数列为等比数列．
（2）（6分）若，求满足条件的最大整数．
21. 旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了 两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
（1）（6分）填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？
（2）（6分）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计分，评价为“一般”的计分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．附：，其中．
22. 已知函数，．
（1）（4分）求的单调区间．
（2）（4分）证明：．
（3）（4分）设，，证明：．高三数学春季二模押题卷（全国版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）满足等式的集合共有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. （5分）复数满足，则（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，与的等差中项为，则（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）用，，，，，组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，和相邻的概率是（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8. （5分）已知分别是函数和的零点，则下列不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）已知两组数据：第一组数据；第二组数据．其中，，，，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（ ）
A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等
C. 极差一定相等 D. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
10. （5分）已知为椭圆的一个焦点，，为该椭圆的两个顶点，若，，则满足条件的椭圆方程为（ ）．
A. B. C. D.
11. （5分）如图，在三棱锥中，平面，，，，点到平面的距离为，则（ ）．
A. B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为
12. （5分）已知定义在上的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是（ ）．
A. B. 在单调递减
C. D. 在上可能有个零点
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
14. （5分）函数的部分图象如图，，，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则 ．
15. （5分）已知数列满足，，，则数列的前项和为 ．
16. （5分）在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为 .
四、解答题（共6题，13小题；共 70 分）
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）（5分）求角的大小．
（2）（5分）求的最大值．
18. 已知焦点为的抛物线经过点．
（1）（6分）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及的面积．
（2）（6分）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
19. 如图，三棱柱中，与均是边长为的正三角形，且．
（1）（6分）证明：平面平面．
（2）（6分）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20. 已知数列的首项，且满足．
（1）（6分）求证：数列为等比数列．
（2）（6分）若，求满足条件的最大整数．
21. 旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了 两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
（1）（6分）填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？
（2）（6分）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计分，评价为“一般”的计分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．附：，其中．
22. 已知函数，．
（1）（4分）求的单调区间．
（2）（4分）证明：．
（3）（4分）设，，证明：．
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参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】D
【解析】方程的实数根有，，，
解集构成的集合为，
即，
则符合该等式的集合为，，，，
故这样的集合共有个．
故选：．
2【答案】A
【解析】，
，
．
故选．
3【答案】B
【解析】∵，且，
∴，
，
∴，
∴．
故选．
4【答案】D
【解析】是各项均为正数的等比数列，且，
设的公比为，
，
，即，
与的等差中项为，
，即，
则可解得，
则．
故选：．
5【答案】A
【解析】设该黄金圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则．
因为，
所以，
所以．
因为该圆锥的侧面积，
表面积，
所以，
则
故选．
6【答案】C
【解析】将个偶数排成一排有种，再将个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且和相邻，
分两种情况讨论：当个位是偶数：在个位，则在十位，
此时有种；不在个位：将或放在个位，百位或万位上放，在的两侧选一个位置放，最后剩余的个位置放其它两个奇数，
此时有种；
所以个位是偶数共有种；
同理，个位是奇数也有种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且和相邻的数有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，和相邻的概率是．
故选：．
7【答案】A
【解析】由题可知，，，
根据对称性，不妨设为渐近线上一点，坐标为，，
因为，
所以，
则，故，
故，在中，
，
由余弦定理得，
即，
即，
则，
即，即，
即，即，
所以．
故选：．
8【答案】C
【解析】由题意易得①；②，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
所以，，故正确；
，令，
则在上恒成立，
即在上单调递增；
由于在上单调递增，
，
所以，即，故错误；
在上单调递增，
所以，故正确，
故选：．
二、多选题（共4题，共 20 分）
9【答案】A B C
【解析】对于，，
又，
，
，无误；
对于，由知：，
又，则两组数据完全相同，
两组数据的中位数、极差和方差都一定相等，无误，有误．
故选：．
10【答案】B C D
【解析】本题讨论，两点的位置，由于椭圆的对称性，不妨设为右焦点，分种情况讨论：
（）当，两点均在轴上时：；
（）当点在轴上，点在轴上时：；
（）当点在轴上，点在轴上时：．
综上：故选．
11【答案】A B D
【解析】
过点作的垂线，垂足为，
由题意可知，，所以，
因为平面，又，，平面，
所以，，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，
因为点到平面的距离为 ，
故，
设，则有，
，
因为，
所以，
则，解得，故选项正确；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，故，
则，即，
所以，，
则，故选项错误；
因为平面，
所以为在平面内的射影，即为与平面所成的角，
所以，故选项正确；
对于，其外接圆圆心为的中点，则，
过点作平面的垂线，对应的方程为，
所以三棱锥的外接球的球心在垂线上，设，
则有，又，，
即，解得，
故，
则，故选项正确．
故选：．
12【答案】A D
【解析】对选项：∵函数的图象关于点对称，则，
∴，
又∵，
则函数的图象关于直线对称，且，
可得，
故，选项无误；
对选项：由选项可知：函数的周期为，且函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，
则，且函数的周期为，
则，即，
由选项可知：，则，
可得，即函数为偶函数，
∵函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，且函数的图象关于点对称，
故函数在上单调递减，但不能确定在是否连续不断，
故无法判断在上的单调性,选项有误；
对选项：∵函数的周期为，则，，
∵，则，
故，选项有误；
对选项：∵，
令，则，
解得，则，
故在一个周期内至少有个零点，
可得在上至少有个零点，
且，
故在上至少有个零点，
例如，与题意相符，
但在内无零点，
由函数的性质可知：在内均无零点，
故在一个周期内只有个零点，
可知在上有个零点，
故在上可能有个零点，选项无误．
故选：．
三、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】
【解析】解：，．
恒成立，
恒成立，求得．
故答案为：．
14【答案】
【解析】由题设，的图象过点，，
则，即，
又，则，
故且，
即，，
显然，则，
故且，可得，
综上所述，当时，，
故，故．
因此正确答案为：．
15【答案】465
【解析】当为奇数时，，是首项为，公差为的等差数列；
当为偶数时，，是首项为，公差为的等差数列；
，
故答案为：．
16【答案】或
【解析】，
整理得：设锐角外接圆的半径为，所以，则上式两边平方得：①，其中，代入①式，得：，整理得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立即，解得：或当时，此时，，此时点在外部，为钝角三角形，与题干矛盾，所以舍去，成立故答案为：
四、解答题（共6题，13小题；共 70 分）
17（1）【答案】．
【解析】∵，
由正弦定理，化简可得：，
∴，
∵，，
可得，
∴．
17（2）【答案】．
【解析】因为，，由正弦定理得
，
所以，
所以
，
因为，所以，可得，
因此，的最大值为，当且仅当，即时取得．
18（1）【答案】准线为，．
【解析】因为抛物线过点，
所以，即，
故抛物线的方程为，焦点，准线方程为，
所以．
18（2）【答案】证明见解析，定点．
【解析】
设直线的方程为．
由 得：，
由有．
设，，则，．
设的中点为，则，
所以到准线的距离，
，
通过题意有，
即，
整理得，解得，满足，
所以直线过定点．
19（1）【答案】证明见解析．
【解析】取的中点，连接，，
∵与均是边长为的正三角形，
∴，，．
∴为二面角的平面角．
∵，
∴．
∴，
又∵，， ，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面．
19（2）【答案】．
【解析】由（）知，，，．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，，．
设平面的一个法向量为．
由，得．
令，得．
设平面的一个法向量为．
由得．
令，得．
∴．
∴所求锐二面角的余弦值为．
20（1）【答案】证明见解析
【解析】由，
可得，
，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
20（2）【答案】
【解析】由（1）可知，故．
．
令，
，
易知随的增大而增大．
因为，，
所以满足的最大整数为．
21（1）【答案】见解析，有关
【解析】补全统计表如下：
零假设：对于、两条路线的选择与性别无关，
将所给数据整理，得到如下列联表：
所以，
根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，
即认为对、两条路线的选择与性别有关．
21（2）【答案】选择路线，见解析．
【解析】设为选择路线好评率，
则，
设为选择路线好评率，
则，
设路线和路线累计分数分别为，，
则，的可能取值都为、、、，
则，，，，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以，
所以选择路线．
22（1）【答案】单调递增区间为和，无单调递减区间．
【解析】由得：，
解得：或，
的定义域为；
方法一：当时，
，
的单调递增区间为和，无单调递减区间；
方法二：通过题意得：，
在，上单调递增，为增函数，
的单调递增区间为和，无单调递减区间．
22（2）【答案】证明见解析．
【解析】的定义域为，，
是偶函数，
等价于当时，
．
设，则，
单调递减，
当时，；
即当时，；
设，
则当时，，
当时，为增函数，
且，，
存在唯一的，使得，
即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
；
当时，；
在上恒成立，即；
综上所述：当时，，
．
22（3）【答案】证明见解析．
【解析】由，，可知，
，即，
其中，又，
且由（）可知在上单调递增，
当且仅当时，即时，成立，
．
由（）可知：当时，，
，
．
