高三数学春季一模押题卷（全国版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （5分）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. （5分）已知，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）甲、乙两个同学玩摸球游戏．袋子中装有个黄球，个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束，则两个同学共摸球次游戏结束的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有个零点，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知数列满足，，，，则数列的前项和（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高．某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左、右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）．则该机械插件中间部分的体积约为（）（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）下列命题中，正确的命题是( )．
A. 已知随机变量服从，若，，则
B. 已知，，则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
10. （5分）已知抛物线（）的焦点到准线的距离为，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 抛物线的准线方程为 B. 当，则直线的倾斜角为
C. 若，则点到轴的距离为 D.
11. （5分）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）．
A. 正四面体的外接球的表面积为 B. 正四面体的内切球的体积为
C. 正四面体的棱长为 D. 线段的最大值为
12. （5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，曲线在点处的切线方程为
B. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是
C. 当时，既存在极大值又存在极小值
D. 当时，恰有个零点，且
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知的展开式中的系数为，则实数的值是 ．
14. （5分）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
15. （5分）已知，满足，，则 ．
16. （5分）设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列．
（1）（5分）求的通项公式．
（2）（5分）设，求数列的前项和．
18. 如图，在梯形中，，．
（1）（5分）求证：；
（2）（7分）若，，求梯形的面积．
19. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）（5分）计算的值；
（2）（7分）采用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的分布列和数学期望．
20. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
（1）（6分）证明：平面；
（2）（6分）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．
22. 已知函数，．
（1）（4分）当时，求在处的切线方程．
（2）（8分）若时，恒成立，求的取值范围．
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参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】C
【解析】，
则．
故选：．
2【答案】C
【解析】由题：，，
，
所以．
故选：．
3【答案】A
【解析】由，
可得，
所以，
又，，
所以，
所以．
故选：．
4【答案】B
【解析】由于袋中有个黄球，个绿球，
若两个同学共摸球次游戏结束，则摸球的可能情况为前次摸出个绿球和个黄球，
第次摸出的是绿球，
设事件“两个同学共摸球次游戏结束”，
有以下摸球情况：
①黄 绿 绿 绿；
②绿 黄 绿 绿；
③绿 绿 黄 绿；
由于摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，
则
．
故选．
5【答案】B
【解析】先将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得的图象，
当时，，
因为在上恰有个零点，
所以，解得．
所以的取值范围为，
故选．
6【答案】C
【解析】，，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
．
，
数列的前项和为．
因此正确答案为：．
7【答案】C
【解析】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如下：
由已知可得，设为的中点，则，
由已知可得，
又，
所以．
由球的截面性质可得为以是斜边的直角三角形，
所以，即球的半径，
所以以为球心．
为半径的球的体积，
又，
所以，
因为球的半径，，
所以“球缺”的高为，
所以一个“球缺”的体积，
所以该机械插件中间部分的体积约为．
故选．
8【答案】B
【解析】由，
令，可得；
由于函数的定义域为，
令，可得，
所以，则函数为奇函数，
任取，且，则，，
所以，
所以，则函数在上为减函数，
由可得，
则，
整理得，解得．
故选．
二、多选题（共4题，共 20 分）
9【答案】B C D
【解析】A 选项：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，错误．B 选项：为必然事件，所以，而与互斥，
，正确．C 选项：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，正确．D 选项：因为在次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，由，得，即，
因为，
所以且，
又，即时，概率最大，故正确．故选 BCD.
10【答案】A D
【解析】A 选项：易知，从而准线方程为，故正确；B 选项：如图，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点.
由于，
不妨设，则，
由抛物线的定义易知：，，
则，
在中，，此时的倾斜角为，
根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故错误；C 选项：设，，则点，
由抛物线的定义知，，
所以，所以到轴的距离为，故错误；D 选项：由抛物线定义知，
所以
，
当且仅当，
即时取得等号，故正确．
故选 AD.
11【答案】B C
【解析】依题作出图形，如下：
设正四面体的棱长为，它的外接球和内切球的球心重合，
作平面，垂足为，
则为的重心，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为，内切球半径为，
由图可知，，
解得，，
依题可得，即，
解得，故正确；
正四面体的外接球的表面积为，故错误；
正四面体的内切球的体积为，故正确；
线段的最大值为，故错误．
12【答案】B C D
【解析】对于选项，当时，，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，故选项有误；
对于选项，因为对任意的，，
都有，
所以在上单调递增，即在上恒成立，
令，
则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
所以，解得，即实数的取值范围是，故选项无误；
对于选项，当时，由选项知，，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
又在上单调递减，
所以存在，使得，
又，在上单调递增，
所以存在，使得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故既存在极大值又存在极小值，故选项无误；
对于选项，因为，
由选项知，，
当时，；
当时，，
故函数有个零点，
不妨设为，，，，，
又
，
故有，则，
即当时，恰有个零点，，，且，故选项无误．
故选．
三、填空题（共4题，共 20 分）
13【答案】2
【解析】的通项公式为，
所以，
令，则中的系数为；
令，得，则中的系数为；
故的展开式中的系数为，
．
因此正确答案为：．
14【答案】2
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为，
所以，即切线长的最小值为．
故答案为：．
15【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
又因为，
则，
所以．
故答案为：．
16【答案】
【解析】
因为以为直径的圆过点，所以，
又，所以为等腰直角三角形，
所以．
设，则．
由双曲线的定义可得：，
两式相加得：，即．
所以，解得：.
在中，，
，，
由余弦定理得：，
即，
整理化简得：．
故答案为：．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17（1）【答案】．
【解析】∵，
∴，
又∵数列为以为公差的等差数列，
∴，即，
∵时，
，
∴时，符合上式，
∴数列的通项公式为．
17（2）【答案】．
【解析】由（）可得
，
所以
，
∴数列的前项和．
18（1）【答案】见解析
【解析】连接．
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，
结合①②可得．
18（2）【答案】
【解析】由（）知，
，
，
又，
所以，则．
连接，在中，
由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
所以，
解得或．
当时，连接，
在中，由余弦定理，得
，
所以，而此时，故不满足题意．
经检验满足题意，此时梯形的高，
当时，梯形的面积，
所以梯形的面积为．
19（1）【答案】
【解析】由频率分布直方图知：，
所以．
19（2）【答案】分布列见解析，数学期望为
【解析】按比例分层抽样抽取人，成绩在，的人数分别为，．
所以的所有可能取值为：，，，，
则，
，
，
；
则的分布列为：
所以的数学期望为：.
20（1）【答案】见解析
【解析】如图，连接，由题意知为的直径，所以．
因为，是圆柱的母线，所以且，
所以四边形是平行四边形．所以 ，所以．
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
20（2）【答案】
【解析】由（1）知是三棱锥底面上的高，，，
所以，即底面三角形是直角三角形．
设，，则，
所以
，
当且仅当时等号成立，即点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，
下面求二面角的余弦值：
法一：由（1）得平面，因为平面，
所以．
又因为，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则．
故，
所以二面角的余弦值为．
法二：由（1）知，，两两垂直，如图，以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
由（1）知平面，
故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由，，
得，
即，即，
取，则，得．
设二面角的平面角为，
则，
由题图可知 为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21（1）【答案】．
【解析】由题设得，，即，
解得，．
所以的方程为．
21（2）【答案】证明见解析．
【解析】设直线的方程为，代入得
．，
设，，则，
于是，．
，
又，
所以，即，，
即，，，
将，，
代入整理得，即，
当，即时，直线过点，舍去，
所以．经检验符合题意．
22（1）【答案】
【解析】当时，，，
所以，
又，
所以在处的切线方程为，
即．
22（2）【答案】
【解析】令，
则在上恒成立，
，，，
当时，，
因为在上单调递增，
故存在，
当时，，
即在上单调递减，
所以当时，，与题设矛盾，舍去．
当时，由，可得，
故在上单调递增，
所以，满足题意．
综上，的取值范围为．高三数学春季一模押题卷（全国版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （5分）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. （5分）已知，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）甲、乙两个同学玩摸球游戏．袋子中装有个黄球，个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束，则两个同学共摸球次游戏结束的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. （5分）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有个零点，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
6. （5分）已知数列满足，，，，则数列的前项和（ ）．
A. B. C. D.
7. （5分）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高．某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左、右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）．则该机械插件中间部分的体积约为（）（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
二、多选题（共4题，共 20 分）
9. （5分）下列命题中，正确的命题是( )．
A. 已知随机变量服从，若，，则
B. 已知，，则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
10. （5分）已知抛物线（）的焦点到准线的距离为，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 抛物线的准线方程为 B. 当，则直线的倾斜角为
C. 若，则点到轴的距离为 D.
11. （5分）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）．
A. 正四面体的外接球的表面积为 B. 正四面体的内切球的体积为
C. 正四面体的棱长为 D. 线段的最大值为
12. （5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，曲线在点处的切线方程为
B. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是
C. 当时，既存在极大值又存在极小值
D. 当时，恰有个零点，且
三、填空题（共4题，共 20 分）
13. （5分）已知的展开式中的系数为，则实数的值是 ．
14. （5分）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
15. （5分）已知，满足，，则 ．
16. （5分）设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）
17. 已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列．
（1）（5分）求的通项公式．
（2）（5分）设，求数列的前项和．
18. 如图，在梯形中，，．
（1）（5分）求证：；
（2）（7分）若，，求梯形的面积．
19. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）（5分）计算的值；
（2）（7分）采用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的分布列和数学期望．
20. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
（1）（6分）证明：平面；
（2）（6分）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）（4分）求椭圆的方程．
（2）（8分）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．
22. 已知函数，．
（1）（4分）当时，求在处的切线方程．
（2）（8分）若时，恒成立，求的取值范围．
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