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第十四章 单元评价
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列运算正确的是( )
A.a·a2=a3 B.(a2)3=a5
C.(2a)3=6a3 D.a12÷a3=a4
2.下列运算正确的是( )
A.(a-)2=a2- B.(a+3)(a-3)=a2-9
C.-2(3a+1)=-6a-1 D.(a+b)(a-2b)=a2-2b2
3.下列因式分解正确的是( )
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9) B.x2-x+=(x-)2
C.x2-2x+4=(x-2)2 D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
4.已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则ab等于( )
A.24 B.48 C.12 D.37
5.现规定一种运算“※”:a※b=ab+a-b,其中a,b为实数,则a※b+(b-a)※b等于( )
A.a2-b B.b2-b C.b2 D.b2-a
6.(2022西安期中)若等式(3x+5)2(3x-5)2=81x4-mx2+n2成立,则( )
A.m=-30,n=5 B.m=-30,n=-5或5
C.m=-450,n=25或-25 D.m=450,n=25或-25
7.(2022湖州期末)如图所示,把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①,1个小正方形②和2个大小一样的小长方形③后,如图摆放,且每个小长方形③的面积为16,则标号为②的小正方形的面积是( )
A.16 B.14
C.12 D.10
8.(2022青岛期中)3(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1计算结果的个位数字是( )
A.4 B.6 C.2 D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.因式分解:+ax+a= .
10.已知am=3,an=2,则a2m-n的值为 .
11.(2022齐齐哈尔期末)若x2y+xy2=30,xy=6,则x-y的值为 .
12.若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 .
13.(2022深圳模拟)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为 .
14.定义运算:a b=a(1-b),下面给出关于这种运算的几个结论:①2 (-2)=6;②(a b)-(b a)=a-b;③若a b=0,则a=0;④若a+b=0,则(a a)+(b b)=2ab.其中一定正确的是 (把所有正确结论的序号填在横线上).
三、解答题(共44分)
15.(6分)计算:
(1)(-4x2y3)·(-xyz)÷(xy2)2;
(2)(x+2y)(2y-x)-y(-x+4y).
16.(6分)因式分解:
(1)3x3-27xy2;
(2)(x+y)2-6(x+y)+9.
17.(7分)(2022盐城期中)小刚同学计算一道整式乘法:(3x+a)(2x-
3),由于他抄错了多项式中a前面的符号,把“+”写成“-”,得到的结果为6x2+bx+12.
(1)求a,b的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
18.(8分)求下列代数式的值:
(1)[(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)]÷xy,其中x=10,y=-;
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2,其中x+y=1,xy=-.
19.(8分)如图所示,在某住房小区的建设中,小区准备在一个长为(4a+3b)m,宽为(2a+3b)m的长方形草坪上修建两条宽为b m的通道.
(1)通道的面积是多少平方米
(2)剩余草坪的面积是多少平方米
20.(9分)[阅读材料]众所周知,图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能表现一些代数中的数量关系,运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.在某次数学活动课上,王老师准备了若干张如图(1)所示的甲、乙两种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,现用甲种纸片一张,乙种纸片一张,将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角,如图(2)所示.
[理解应用]
(1)观察图(2),用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式;
[拓展升华]
(2)利用(1)中的等式解决下列问题.
①已知(a-b)2=4,b2=9,且a>b,求a2的值;
②已知(4 044x-2)·2 022x=2 021,求(1-2 022x)2+2 0222x2的值.
附加题(共20分)
21.(10分)有一系列等式:
1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2;
2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2;
3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2;
4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2;
…
(1)根据你的观察、归纳发现的规律,写出11×12×13×14+1的结果为 ;
(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明.
22.(10分)当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时,可以得到一个等式,由图(1)可得等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由图(2)可得等式 ;
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)利用图(3)中的纸片(足够多),画出一种拼图,使该拼图可用来验证等式2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
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第十四章 单元评价
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列运算正确的是(A)
A.a·a2=a3 B.(a2)3=a5
C.(2a)3=6a3 D.a12÷a3=a4
2.下列运算正确的是(B)
A.(a-)2=a2- B.(a+3)(a-3)=a2-9
C.-2(3a+1)=-6a-1 D.(a+b)(a-2b)=a2-2b2
3.下列因式分解正确的是(B)
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9) B.x2-x+=(x-)2
C.x2-2x+4=(x-2)2 D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
4.已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则ab等于(C)
A.24 B.48 C.12 D.37
5.现规定一种运算“※”:a※b=ab+a-b,其中a,b为实数,则a※b+(b-a)※b等于(B)
A.a2-b B.b2-b C.b2 D.b2-a
6.(2022西安期中)若等式(3x+5)2(3x-5)2=81x4-mx2+n2成立,则(D)
A.m=-30,n=5 B.m=-30,n=-5或5
C.m=-450,n=25或-25 D.m=450,n=25或-25
7.(2022湖州期末)如图所示,把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①,1个小正方形②和2个大小一样的小长方形③后,如图摆放,且每个小长方形③的面积为16,则标号为②的小正方形的面积是(C)
A.16 B.14
C.12 D.10
8.(2022青岛期中)3(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1计算结果的个位数字是(B)
A.4 B.6 C.2 D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.因式分解:+ax+a= a(x+1)2 .
10.已知am=3,an=2,则a2m-n的值为 4.5 .
11.(2022齐齐哈尔期末)若x2y+xy2=30,xy=6,则x-y的值为 1或-1 .
12.若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 12 .
13.(2022深圳模拟)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为 -31 .
14.定义运算:a b=a(1-b),下面给出关于这种运算的几个结论:①2 (-2)=6;②(a b)-(b a)=a-b;③若a b=0,则a=0;④若a+b=0,则(a a)+(b b)=2ab.其中一定正确的是 ①②④ (把所有正确结论的序号填在横线上).
三、解答题(共44分)
15.(6分)计算:
(1)(-4x2y3)·(-xyz)÷(xy2)2;
(2)(x+2y)(2y-x)-y(-x+4y).
解:(1)(-4x2y3)·(-xyz)÷(xy2)2
=x3y4z÷(x2y4)=2xz.
(2)(x+2y)(2y-x)-y(-x+4y)
=4y2-x2+xy-4y2
=xy-x2.
16.(6分)因式分解:
(1)3x3-27xy2;
(2)(x+y)2-6(x+y)+9.
解:(1)3x3-27xy2
=3x(x2-9y2)
=3x(x+3y)(x-3y).
(2)(x+y)2-6(x+y)+9
=(x+y-3)2.
17.(7分)(2022盐城期中)小刚同学计算一道整式乘法:(3x+a)(2x-
3),由于他抄错了多项式中a前面的符号,把“+”写成“-”,得到的结果为6x2+bx+12.
(1)求a,b的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
解:(1)由题意,得(3x-a)(2x-3)=6x2+bx+12,
∴6x2-(2a+9)x+3a=6x2+bx+12.
∴-(2a+9)=b,3a=12.
∴a=4,b=-17.
(2)(3x+4)(2x-3)
=6x2-9x+8x-12
=6x2-x-12.
18.(8分)求下列代数式的值:
(1)[(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)]÷xy,其中x=10,y=-;
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2,其中x+y=1,xy=-.
解:(1)[(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)]÷xy
=(x2y2-4-2x2y2+4)÷xy
=-x2y2÷xy
=-xy.
当x=10,y=-时,
原式=-10×(-)=.
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
=x(x+y)(x-y-x-y)
=x(x+y)(-2y)
=-2xy(x+y).
当x+y=1,xy=-时,原式=-2×(-)×1=1.
19.(8分)如图所示,在某住房小区的建设中,小区准备在一个长为(4a+3b)m,宽为(2a+3b)m的长方形草坪上修建两条宽为b m的通道.
(1)通道的面积是多少平方米
(2)剩余草坪的面积是多少平方米
解:(1)b(2a+3b)+b(4a+3b)-b2
=2ab+3b2+4ab+3b2-b2
=6ab+5b2.
答:通道的面积是(6ab+5b2)m2.
(2)(4a+3b)(2a+3b)-(6ab+5b2)
=8a2+6ab+12ab+9b2-6ab-5b2
=8a2+12ab+4b2.
答:剩余草坪的面积是(8a2+12ab+4b2)m2.
20.(9分)[阅读材料]众所周知,图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能表现一些代数中的数量关系,运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.在某次数学活动课上,王老师准备了若干张如图(1)所示的甲、乙两种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,现用甲种纸片一张,乙种纸片一张,将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角,如图(2)所示.
[理解应用]
(1)观察图(2),用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式;
[拓展升华]
(2)利用(1)中的等式解决下列问题.
①已知(a-b)2=4,b2=9,且a>b,求a2的值;
②已知(4 044x-2)·2 022x=2 021,求(1-2 022x)2+2 0222x2的值.
解:(1)(y-x)2=y2-2xy+x2.
(2)①∵(a-b)2=4,
∴a-b=±2.
∵a>b,
∴a-b=2.
∵b2=9,
∴b=±3.
∴a=b+2=5或-1.
∴a2=25或1.
②设a=1-2 022x,b=2 022x,
则a+b=1,2ab=-2 021,
∴原式=a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2 021=2 022.
附加题(共20分)
21.(10分)有一系列等式:
1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2;
2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2;
3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2;
4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2;
…
(1)根据你的观察、归纳发现的规律,写出11×12×13×14+1的结果为 ;
(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明.
解:(1)24 025
(2)根据(1)规律,可猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.证明如下:
∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2,
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.
22.(10分)当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时,可以得到一个等式,由图(1)可得等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由图(2)可得等式 ;
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)利用图(3)中的纸片(足够多),画出一种拼图,使该拼图可用来验证等式2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
解:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=121-76=45.
(3)如图所示.
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