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第十一章 单元评价
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是(C)
A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5
2.(2022十堰期末)在实际生活中,我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性,下列实物图中利用了稳定性的是(C)
A.电动伸缩门 B.升降台
C.栅栏 D.窗户
3.如图所示,BD⊥AC,则图中以BD为高的三角形的个数是(D)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
第3题图
4.如图所示,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是(B)
第4题图
A.图中有三个直角三角形 B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角 D.∠2=∠A
5.如图所示,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE,若∠A=35°,
∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为(B)
第5题图
A.60° B.70° C.75° D.85°
6.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌(C)
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
7.(2022烟台期中)在第24届北京冬季奥林匹克运动会上,花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注,运动员通过冰刀在冰面上划出图形,并表演跳跃、旋转等高难度动作,某位运动员在冰面上滑出了如图所示的几何图形,请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为(D)
第7题图
A.360° B.270° C.240° D.180°
8.如图所示,在△ABC中,BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论:
①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠FEG=∠ABE+∠C;④2∠F=
∠BAC-∠C.
其中正确的有(C)
第8题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB=10,则AC= 6 .
第9题图
10.已知a,b,c是△ABC的三边,a=7,b=4,c为整数,则c的最大值为 10 .
11.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,则∠E= 15° .
第11题图
12.一个多边形的每个外角的度数都是60°,则这个多边形的内角和为 720° .
13.如图所示的是可调躺椅示意图(数据如图所示),AE与BD的交点为C,且∠A,DB,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=
110°,则图中∠D应 减小 (选填“增加”或“减小”) 10 °.
第13题图
14.在△ABC中,AD是高,∠BAD=60°,∠CAD=20°,AE平分∠BAC,则
∠EAD的度数为 20°或40° .
三、解答题(共44分)
15.(6分)已知三角形的三条边长分别是6,2a-2,8.
(1)求a的取值范围;
(2)若这个三角形是等腰三角形,求a的值.
解:(1)∵三角形两边的和大于第三边,∴8+6>2a-2,解得a<8.
∵三角形两边的差小于第三边,∴8-6<2a-2,解得a>2.∴a的取值范围是2
(2)若长为6的边是底,则2a-2=8,解得a=5,此时等腰三角形的三条边为6,8,8,符合三角形的三边关系;若长为8的边是底,则2a-2=6,解得a=4,此时等腰三角形的三条边为6,6,8,符合三角形的三边关系.综上所述,可得a的值为5或4.
16.(6分)一个多边形的每个内角都相等,且外角比内角大60°,求这个多边形一个内角的度数及边数.
解:设一个内角是x°,外角是y°,则得到一个方程组解得
∵这个多边形的每个内角都相等且多边形的外角和是360°,
∴多边形的边数是360°÷120°=3.
故这个多边形一个内角的度数为60°,有3条边.
17.(6分)如图所示,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线.
(1)已知∠BAC=68°,∠BAF=54°,求∠DAF的度数;
(2)若BC=6,S△ABC=3S△ADC,求DC的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=×68°=34°.
又∵∠BAF=54°,∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=54°-34°=20°.
(2)∵AF是△ABC的高,∴S△ABC=BC·AF,S△ADC=DC·AF.
∵S△ABC=3S△ADC,且BC=6,∴BC·AF=3×DC·AF.
∴DC=2.
18.(8分)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)求证:∠CDE=∠BAD.
(1)解:在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-45°=90°,
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°.
∴∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=180°-30°=150°.
∵∠ADE=∠AED,∴∠ADE=∠AED=×150°=75°.
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°-45°=30°.
(2)证明:由(1),知∠BAC=90°,
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-∠BAD.
∴∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=180°-(90°-∠BAD)=90°+∠BAD.
∴∠ADE=∠AED=×(90°+∠BAD)=45°+∠BAD.
∴∠CDE=∠AED-∠C=45°+∠BAD-45°=∠BAD,
即∠CDE=∠BAD.
19.(9分)如图所示,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,CE平分
∠BCD,交AB于点E,连接DE.
(1)若∠A=50°,∠B=85°,求∠BEC的度数;
(2)若∠A=∠1,求证:∠CDE=∠DCE.
(1)解:∵∠B+∠ADC=180°,∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠A=50°,∴∠BCD=180°-∠A=180°-50°=130°.
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠BCD=×130°=65°.
∵∠B=85°,∴∠BEC=180°-∠BCE-∠B=180°-65°-85°=30°.
(2)证明:由(1),知∠A+∠BCD=180°,
∴∠A+∠BCE+∠DCE=180°.
∵∠CDE+∠DCE+∠1=180°,∠1=∠A,∴∠BCE=∠CDE.
∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE.
∴∠CDE=∠DCE.
20.(9分)(2023沧州期中)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上,恰好三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.
(1)∠ABC+∠ACB= ,∠XBC+∠XCB= ,∠ABX+∠ACX= .
(2)若改变直角三角尺XYZ的位置,但三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ仍然分别经过点B,C,则∠ABX+∠ACX的大小是否变化 请说明理由.
解:(1)150° 90° 60°
(2)∠ABX+∠ACX的大小不变化.理由如下:
∵∠A=30°,
∴∠ABC+∠ACB=150°.
∵∠X=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°.
∴∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)
=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)
=150°-90°
=60°.
附加题(15分)
21.(1)如图(1)所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,试猜想∠BOC与∠A的关系,并证明;
(2)如图(2)所示,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的邻补角平分线,试猜想∠A与∠BDC的关系,并证明;
(3)如图(3)所示,已知BD为△ABC的角平分线,CD为∠ACE的平分线,且与BD交于点D,试猜想∠A与∠BDC的关系,并证明.
解:(1)∠BOC=90°+∠A.证明如下:
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=90°-∠A.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A.
(2)∠BDC=90°-∠A.证明如下:
如图所示,∵BD平分∠FBC,
∴∠DBC=∠FBC.
同理,得∠DCB=∠BCE.∴∠DBC+∠DCB=(∠FBC+∠BCE).
∵∠FBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠DCB=(∠A+∠ACB+∠ABC+∠A)=(180°+∠A)=90°+∠A.
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=90°-∠A.
(3)∠BDC=∠A.证明如下:
∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,
∴∠ECD=∠ACE,∠DBC=∠ABC.
∵∠ECD是△DBC的外角,
∴∠BDC=∠ECD-∠DBC=(∠ACE-∠ABC).
∵∠ACE是△ABC的外角,
∴∠ACE-∠ABC=∠A.
∴∠BDC=∠A.
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第十一章 单元评价
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是( )
A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5
2.(2022十堰期末)在实际生活中,我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性,下列实物图中利用了稳定性的是( )
A.电动伸缩门 B.升降台
C.栅栏 D.窗户
3.如图所示,BD⊥AC,则图中以BD为高的三角形的个数是( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
第3题图
4.如图所示,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是( )
第4题图
A.图中有三个直角三角形 B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角 D.∠2=∠A
5.如图所示,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE,若∠A=35°,
∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为( )
第5题图
A.60° B.70° C.75° D.85°
6.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌( )
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
7.(2022烟台期中)在第24届北京冬季奥林匹克运动会上,花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注,运动员通过冰刀在冰面上划出图形,并表演跳跃、旋转等高难度动作,某位运动员在冰面上滑出了如图所示的几何图形,请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( )
第7题图
A.360° B.270° C.240° D.180°
8.如图所示,在△ABC中,BD,BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论:
①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠FEG=∠ABE+∠C;④2∠F=
∠BAC-∠C.
其中正确的有( )
第8题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB=10,则AC= .
第9题图
10.已知a,b,c是△ABC的三边,a=7,b=4,c为整数,则c的最大值为 .
11.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,
则∠E= .
第11题图
12.一个多边形的每个外角的度数都是60°,则这个多边形的内角和为 .
13.如图所示的是可调躺椅示意图(数据如图所示),AE与BD的交点为C,且∠A,DB,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=
110°,则图中∠D应 (选填“增加”或“减小”) .
第13题图
14.在△ABC中,AD是高,∠BAD=60°,∠CAD=20°,AE平分∠BAC,则
∠EAD的度数为 .
三、解答题(共44分)
15.(6分)已知三角形的三条边长分别是6,2a-2,8.
(1)求a的取值范围;
(2)若这个三角形是等腰三角形,求a的值.
16.(6分)一个多边形的每个内角都相等,且外角比内角大60°,求这个多边形一个内角的度数及边数.
17.(6分)如图所示,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线.
(1)已知∠BAC=68°,∠BAF=54°,求∠DAF的度数;
(2)若BC=6,S△ABC=3S△ADC,求DC的长.
18.(8分)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)求证:∠CDE=∠BAD.
(2)证明:由(1),知∠BAC=90°,
19.(9分)如图所示,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,CE平分
∠BCD,交AB于点E,连接DE.
(1)若∠A=50°,∠B=85°,求∠BEC的度数;
(2)若∠A=∠1,求证:∠CDE=∠DCE.
20.(9分)(2023沧州期中)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上,恰好三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.
(1)∠ABC+∠ACB= ,∠XBC+∠XCB= ,∠ABX+∠ACX= .
(2)若改变直角三角尺XYZ的位置,但三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ仍然分别经过点B,C,则∠ABX+∠ACX的大小是否变化 请说明理由.
附加题(15分)
21.(1)如图(1)所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,试猜想∠BOC与∠A的关系,并证明;
(2)如图(2)所示,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的邻补角平分线,试猜想∠A与∠BDC的关系,并证明;
(3)如图(3)所示,已知BD为△ABC的角平分线,CD为∠ACE的平分线,且与BD交于点D,试猜想∠A与∠BDC的关系,并证明.
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