福建省福州十九中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列各数，，，，中，负数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2． 2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在斤以上，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．在下列一次函数中，其图象过点且随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，年月至月，新能源车月销量由万辆增加到万辆，设年月至月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线经过这两点与，若点在抛物线上，则可能的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2020八下·博白期末）若 有意义，则x的取值范围是
12．（2020·无锡模拟）因式分解： =
13．已知，则分式的值为 ．
14．如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．
15．在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这个数据平均数最小，小亮选的数会使这个数据中位数最大，密码的个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是 ．
16．如图，在等边中，点，分别在边和上，连接，点关于的对称点是点，连接和分别交于点和，若，，若和四边形面积相等，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，已知，，，求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
21．国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩分制进行整理、描述和分析成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，．
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量
年级 平均数 众数 中位数 满分率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生对“国安知识”学握较好？请说明理由写出一条理由即可；
（3）该校七、八年级各有人参加此活动，估计参加此活动成绩优秀的学生人数是多少？
22．三坊七巷作为“十大历史文化古街”之一，其悠久的历史吸引了许多游客，景点内的、两种纪念品深受广大游客们的喜爱若买件种纪念品和件种纪念品花费元，买件种纪念品和件种纪念品花费元．
（1）求两种纪念品的单价；
（2）游客决定要购买、两种纪念品共件，设购进种纪念品件，购进这件纪念品所需总费用为元若要求购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，试问如何购进、两种纪念品使得所需总费用最低，最低的费用是多少元？
23．问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线轴，直线上的任意两点的坐标为，点的坐标为且满足，则可以构成函数．
问题解决：
（1）已知点，，点在点的上方，若点在函数图象上，求的函数解析式；
（2）已知点，点且，当时，函数的最大值是，求的值．
24．如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上，延长和交于点，于点，交于点．
（1）求证：∽；
若，，求的值；
（2）如图，点是的中点，，求证：垂直平分．
25．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点和抛物线顶点所在的直线与的延长线交于点，求的度数；
（3）作直线与抛物线交于，两点且，点、和点、所在的直线相交于点，证明：点在定直线上运动．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：负数有 ，，，共3个
故答案为：C.
【分析】根据负数的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义求解即可.
3．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、根据平方差公式可得，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方、整式的运算逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列、 、、、、、，其中出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为，中位数为3.
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：因为随的增大而减小，所以一次项系数，所以A、B选项错误；
C、，当时，，所以其图象不过点，所以C选项错误；
D、，当时，，所以其图象过点，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 一次函数， 随的增大而减小，再把点代入，逐项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意可得
故答案为：D.
【分析】年 月新能源车月销量=月新能源车月销量，即可列关于的一元二次方程，即可得解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，结合选项可得的值可能是.
故答案为：A.
【分析】根据判别式得到，解得，逐项判断即可得解.
8．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：由题意得，
∵于点，∴，
在四边形中，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正多边形的性质得，结合已知条件求得，得用邻补角的性质求得.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 中 ，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在直角中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，利用三角形中位线定理求出，解直角即可求得.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线经过这两点与，
∴抛物线的对称轴为直线，所以，
∴，
已知点在抛物线上，所以，
∵抛物线经过这两点与，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，解得或（舍去），
∴，结合选项，故可能的值是.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线，得，求出，由已知条件得方程有两个不相等的实数根，根据判别式得，从而得，即可得解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】2（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2-8
=2（a2-4）
=2（a+2）（a-2）．
故答案为：2（a+2）（a-2）．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．【答案】3
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，所以，
∴.
故答案为：3.
【分析】将转化为，代入分式即可求解.
14．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 于点，于点 ，由勾股定理得，
直线经过正方形的顶点， 得，
在和中
∴
∴，
∴
故答案为：7.
【分析】由已知条件得，所以，由勾股定理得，，计算求解即可.
15．【答案】
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 小亮选的数会使这个数据中位数最大 ，小亮选的数为9， 小明选的数会使这个数据平均数最小 ，则小明选的数为1，若五位数密码第一个数字是， 要使这个五位数最大 ，则密码是69871.
故答案为：69871.
【分析】根据中位数、平均数的定义求解即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∵和四边形面积相等 ，
设，则，
，即，
解得.
故答案为：.
【分析】由是等边三角形，及对顶角相等，推出，然后根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，设，则，再根据相似三角形的性质计算求解即可.
17．【答案】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：两边都乘以得：，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）利用提公因式法将方程左边因式分解，得，进而求解即可；
(2)去分母，方程两边同乘得：，进而解得，再检验可得答案.
18．【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行线的性质得，根据三角形全等的判定SAS证明出≌，由全等三角的性质可得.
19．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，然后把代入求解即可.
20．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定与性质即可得解；
（2）结合（1）的结论证出，即可得出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论.
21．【答案】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，
因此中位数是分，即，
八年级学生竞赛成绩的中位数是，因此在分以上的应有人，可得分的有人，
因此竞赛成绩的众数为，即；
，；
（2）解：八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：
虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；
（3）解：七年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
则优秀人数为人，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即，找出八年级成绩出现次数最多的数即为八年级学生竞赛成绩的众数；
（2）根据中位数和和满分率判断即可得解；
（3）根据七、八年级学生竞赛的优秀率分别求出七、八年级学生人数，即可求解.
22．【答案】（1）解：设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得，
答：种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元；
（2）解：购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为，
此时，
答：购进种纪念品件，种纪念品件，所需总费用最低，最低的费用是元．
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1） 设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元， 根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，得，即，根据题意得，根据一次函数的单调性，求解即可.
23．【答案】（1）解：根据题意，得．
将代入，得，解得．
．
（2）解：，
，
，其开口向上，对称轴为．
当时，时取最大值，
，解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）根据点，，得，将代入求得，进而求得；
（2），证得，所以，根据二次函数的性质求解即可得解.
24．【答案】（1）证明：如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，；
，，
∽；
解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
，，
，
，，，
由，得直线解析式为；
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
直线解析式为，
由得，
，
，
；
（2）解：证明：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，如图：
，，
，
，
设，则，
，，
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
，
，
，
在的垂直平分线上；
为等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
；
点是的中点，
，
，，
，，
，
在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）由题意得，，根据相似的判定定理可得；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，，，，得直线解析式为，直线解析式为，两直线联立解得交点 ，根据两点间的距离公式可得；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，设，则，，，，，，所以在的垂直平分线上，然后证明，可得，，由两点间的距离公式可得，，所以，得在的垂直平分线上，所以垂直平分．
25．【答案】（1）解：将和代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：解：当时，，
解得或，
，
，
抛物线的顶点为，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可求点和抛物线顶点所在的直线解析式为，
当时，解得，
，
如图，过点作交于点，
当时，，
直线与轴的交点为，
，
在中，，
，，
，
，
解得，
，
，
，
；
（3）证明：直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当时，整理得，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
，
，
当时，解得，
点在直线上运动．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得解；
（2）令，解得，，由抛物线解析式得顶点坐标，利用待定系数法得直线的解析式为，同理可求点和抛物线顶点所在的直线解析式为，两直线交点，过点作交于点，求得，利用三角形面积求得，,即可得；
（3）直线的解析式为，设直线的解析式为，与抛物线解析式联立，整理得，由根与系数关系得 ，直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，两直线联立即可解得，所以点在直线上运动．
1 / 1福建省福州十九中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列各数，，，，中，负数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：负数有 ，，，共3个
故答案为：C.
【分析】根据负数的定义判断即可.
2． 2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在斤以上，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义求解即可.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、根据平方差公式可得，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方、整式的运算逐项判断即可.
4．义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列、 、、、、、，其中出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为，中位数为3.
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
5．在下列一次函数中，其图象过点且随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：因为随的增大而减小，所以一次项系数，所以A、B选项错误；
C、，当时，，所以其图象不过点，所以C选项错误；
D、，当时，，所以其图象过点，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 一次函数， 随的增大而减小，再把点代入，逐项判断即可.
6．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，年月至月，新能源车月销量由万辆增加到万辆，设年月至月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意可得
故答案为：D.
【分析】年 月新能源车月销量=月新能源车月销量，即可列关于的一元二次方程，即可得解.
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，结合选项可得的值可能是.
故答案为：A.
【分析】根据判别式得到，解得，逐项判断即可得解.
8．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：由题意得，
∵于点，∴，
在四边形中，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正多边形的性质得，结合已知条件求得，得用邻补角的性质求得.
9．如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 中 ，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在直角中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，利用三角形中位线定理求出，解直角即可求得.
10．已知抛物线经过这两点与，若点在抛物线上，则可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线经过这两点与，
∴抛物线的对称轴为直线，所以，
∴，
已知点在抛物线上，所以，
∵抛物线经过这两点与，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，解得或（舍去），
∴，结合选项，故可能的值是.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线，得，求出，由已知条件得方程有两个不相等的实数根，根据判别式得，从而得，即可得解.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2020八下·博白期末）若 有意义，则x的取值范围是
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2020·无锡模拟）因式分解： =
【答案】2（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2-8
=2（a2-4）
=2（a+2）（a-2）．
故答案为：2（a+2）（a-2）．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
13．已知，则分式的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，所以，
∴.
故答案为：3.
【分析】将转化为，代入分式即可求解.
14．如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 于点，于点 ，由勾股定理得，
直线经过正方形的顶点， 得，
在和中
∴
∴，
∴
故答案为：7.
【分析】由已知条件得，所以，由勾股定理得，，计算求解即可.
15．在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这个数据平均数最小，小亮选的数会使这个数据中位数最大，密码的个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是 ．
【答案】
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 小亮选的数会使这个数据中位数最大 ，小亮选的数为9， 小明选的数会使这个数据平均数最小 ，则小明选的数为1，若五位数密码第一个数字是， 要使这个五位数最大 ，则密码是69871.
故答案为：69871.
【分析】根据中位数、平均数的定义求解即可.
16．如图，在等边中，点，分别在边和上，连接，点关于的对称点是点，连接和分别交于点和，若，，若和四边形面积相等，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∵和四边形面积相等 ，
设，则，
，即，
解得.
故答案为：.
【分析】由是等边三角形，及对顶角相等，推出，然后根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，设，则，再根据相似三角形的性质计算求解即可.
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：两边都乘以得：，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）利用提公因式法将方程左边因式分解，得，进而求解即可；
(2)去分母，方程两边同乘得：，进而解得，再检验可得答案.
18．如图，已知，，，求证：．
【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行线的性质得，根据三角形全等的判定SAS证明出≌，由全等三角的性质可得.
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，然后把代入求解即可.
20．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定与性质即可得解；
（2）结合（1）的结论证出，即可得出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论.
21．国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩分制进行整理、描述和分析成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，．
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量
年级 平均数 众数 中位数 满分率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生对“国安知识”学握较好？请说明理由写出一条理由即可；
（3）该校七、八年级各有人参加此活动，估计参加此活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，
因此中位数是分，即，
八年级学生竞赛成绩的中位数是，因此在分以上的应有人，可得分的有人，
因此竞赛成绩的众数为，即；
，；
（2）解：八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：
虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；
（3）解：七年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
则优秀人数为人，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即，找出八年级成绩出现次数最多的数即为八年级学生竞赛成绩的众数；
（2）根据中位数和和满分率判断即可得解；
（3）根据七、八年级学生竞赛的优秀率分别求出七、八年级学生人数，即可求解.
22．三坊七巷作为“十大历史文化古街”之一，其悠久的历史吸引了许多游客，景点内的、两种纪念品深受广大游客们的喜爱若买件种纪念品和件种纪念品花费元，买件种纪念品和件种纪念品花费元．
（1）求两种纪念品的单价；
（2）游客决定要购买、两种纪念品共件，设购进种纪念品件，购进这件纪念品所需总费用为元若要求购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，试问如何购进、两种纪念品使得所需总费用最低，最低的费用是多少元？
【答案】（1）解：设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得，
答：种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元；
（2）解：购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为，
此时，
答：购进种纪念品件，种纪念品件，所需总费用最低，最低的费用是元．
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1） 设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元， 根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，得，即，根据题意得，根据一次函数的单调性，求解即可.
23．问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线轴，直线上的任意两点的坐标为，点的坐标为且满足，则可以构成函数．
问题解决：
（1）已知点，，点在点的上方，若点在函数图象上，求的函数解析式；
（2）已知点，点且，当时，函数的最大值是，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得．
将代入，得，解得．
．
（2）解：，
，
，其开口向上，对称轴为．
当时，时取最大值，
，解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）根据点，，得，将代入求得，进而求得；
（2），证得，所以，根据二次函数的性质求解即可得解.
24．如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上，延长和交于点，于点，交于点．
（1）求证：∽；
若，，求的值；
（2）如图，点是的中点，，求证：垂直平分．
【答案】（1）证明：如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，；
，，
∽；
解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
，，
，
，，，
由，得直线解析式为；
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
直线解析式为，
由得，
，
，
；
（2）解：证明：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，如图：
，，
，
，
设，则，
，，
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
，
，
，
在的垂直平分线上；
为等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
；
点是的中点，
，
，，
，，
，
在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）由题意得，，根据相似的判定定理可得；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，，，，得直线解析式为，直线解析式为，两直线联立解得交点 ，根据两点间的距离公式可得；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，设，则，，，，，，所以在的垂直平分线上，然后证明，可得，，由两点间的距离公式可得，，所以，得在的垂直平分线上，所以垂直平分．
25．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点和抛物线顶点所在的直线与的延长线交于点，求的度数；
（3）作直线与抛物线交于，两点且，点、和点、所在的直线相交于点，证明：点在定直线上运动．
【答案】（1）解：将和代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：解：当时，，
解得或，
，
，
抛物线的顶点为，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可求点和抛物线顶点所在的直线解析式为，
当时，解得，
，
如图，过点作交于点，
当时，，
直线与轴的交点为，
，
在中，，
，，
，
，
解得，
，
，
，
；
（3）证明：直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当时，整理得，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
，
，
当时，解得，
点在直线上运动．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得解；
（2）令，解得，，由抛物线解析式得顶点坐标，利用待定系数法得直线的解析式为，同理可求点和抛物线顶点所在的直线解析式为，两直线交点，过点作交于点，求得，利用三角形面积求得，,即可得；
（3）直线的解析式为，设直线的解析式为，与抛物线解析式联立，整理得，由根与系数关系得 ，直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，两直线联立即可解得，所以点在直线上运动．
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