2015年中考数学易错题赏析：(九)选择题之压轴题

（九）选择题之压轴题
题型特点
选择题中的压轴题和一般选择题相比，具有综合性较强、数形兼备、解题方法多样化、充满思辨性等特点，要求学生综合运用多种知识解题，思维要有一定的广度和深度，并会运用多种不同的方法灵活解题.这类题目重点考察学生综合分析问题、解决问题的能力.
解题方法
解答这类题目的方法除常用的直选法、观察法外，重点要掌握排除法和代入法.根据题目条件从四个选项中逐次排除选项的方法，包括分析排除法和反例排除法两种.若用一般方法不能求解时，可采用代入法，就是根据题目的有关条件，采用某些特殊情况分析问题，或采用某些特殊值代入计算分析，或将题目中不易求解的字母用符合条件的某些具体的数字代入，化一般为特殊来分析问题，通常包括已知代入法、选项代入法和特殊值代入法等.特别注意：这些方法在通常都是要综合灵活运用，不能生搬硬套.www.21-cn-jy.com
易错题赏析
易错题1：如图，已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是………………………………………………（ ）
答案：A
赏析：本题可采用运动过程展示与观察相结合的方法，对四个选项一一分析.对于A等边三角形：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，AB段，y随x匀速增加，直线变化；BD段，y随x变速减小，DC段，y随x变速增加（也可：在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则由勾股定理可得y＝；CA段，y随x匀速减小，直线变化.四部分的变化规律均符合图象特征；对于B菱形：如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AB段，y随x匀速增加，直线变化；BE段：y随x变速减小；EC段，y随x变速增加；CF段：y随x变速减小；FD段，y随x变速增加；DA段，y随x匀速减小，直线变化.与图象特征不符；对于C正方形：点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，与图形特征不符；对于D圆：AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，与图象特征不符；21·世纪*教育网

易错题2：如图，已知抛物线y1＝﹣2x2＋2，直线y2＝2x＋2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2.若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.21世纪教育网版权所有
例如，当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0.下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M＝1的x值是﹣或.其中正确的是………………………（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
答案：D
赏析：本题可采用数形结合法与排除法及观察法.观察图象，当x＞0时，函数y1的图象在函数y2的图象的下方，∴y1＜y2，①错误，排除选项A和B；又观察图象，当x＜0时，两个函数图象自左向右都是上升的，y1和y2均随x的增大而增大，∴M值随x值的增大而增大，②错误，排除选项C，∴答案为D.（对于④采用直选法：由y1＝y2解得x1＝﹣1，x2＝0.观察图象，当x＞0时，y1＞y2，∴由题意得y2＝1，解得x＝（负值舍去），当﹣1＜x＜0时，y1＜y2，∴由题意得y1＝1，解得x＝﹣，当x＜﹣1时，y1＞y2，∴由题意得y2＝1，解得x＝±，与x＜﹣1矛盾，舍去.∴综上，使得M＝1的x值是﹣或，④正确.）www-2-1-cnjy-com
易错题3：如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为……………（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
赏析：本题主要采用待定系数法与面积法.如下图，过点M作MG⊥OA于点G，设反比例函数解析式为y＝（k＞0），由反比例函数的性质可得，S△OMG＝S△OEC＝S△ODA＝，又由矩形的性质可得S△OMG＝S△AMG＝，S△OMA＝S△AMB＝＋＝k，S△OAB＝S△OBC＝S△OMA＋S△AMB＝k＋k＝2k，S矩形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝2k＋2k＝4k，又由图形面积关系可得S矩形OABC＝S△ODA＋S△OEC＋S四边形ODBE,∴可得方程4k＝＋＋9，解得k＝3.
易错题4：如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE，DE与FG相交于点O.设AB＝a，CG＝b（a＞b），下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO.其中结论正确的个数是……（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：A
赏析：本题是四边形与三角形的综合题，难度不是很大，根据题目条件，可采用直选法：对于①：∵四边形ABCD、CEFG都是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，∵，∴△BCG≌△DCE，∴①正确；2·1·c·n·j·y
对于②：∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE，又∵∠CBG＋∠BGC＝90°，∴∠CDE＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BG⊥DE，∴②正确；
对于③：∵四边形CEFG是正方形，∴GF∥CE，∴△DGO∽△DCE，∴，∴③错误；
对于④：∵DC∥EF，∴∠GDO＝∠OEF，∵∠GOD＝∠EOF，∴△OGD∽△OFE，∴，又∵DG＝DC－CG＝a－b，EF＝b，∴，∴，∴(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO，【来源：21·世纪·教育·网】
对于④也可采用逆推法：
(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO △OGD∽△OFE DC∥EF,此条件由正方形CEFG可得，∴再顺推得④正确.
∴答案选B.
易错题5：如图，P为⊙O的直径BA的延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确结论的个数为…………………（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：A
赏析：本题是圆与四边形、三角形的综合题，难度不大，可采用直选法.
对于①：如下图，连接OC、OD，则OC＝OD.在△PCO和△PDO中，∵，∴△PCO≌△PDO，∴∠PCO＝∠PDO，又∵PC与⊙O相切，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠PDO＝90°，∴PD⊥OD，∴PD与⊙O相切，∴①正确；21cnjy.com
对于②：∵PC、PD为⊙O的切线，∴∠CPB＝∠DPB.在△CPB和△DPB中，∵∴△CPB≌△DPB，∴CB＝DB，又∵PC＝PD＝BC，∴PC＝PD＝BC＝DB，∴四边形PCBD是菱形，∴②正确；2-1-c-n-j-y
对于③：如下图，连接OC，则OC⊥PC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
又∵∠COP＝∠OCB＋∠OBC，∴∠COP＝2∠OBC，
又∵CB＝CP，∴∠OBC＝∠CPB，∴∠COP＝2∠CPB，
又∵∠COP＋∠CPB＝90°，∴∠CPB＝30°，∴PO＝2OC，又∵AB＝2OC，∴PO＝AB，∴③正确；　　21*cnjy*com
对于④：∵ ∠CPB＝∠DPB，∠CPB＝30°，∴∠DPB＝30°，
又∵DP＝DB，∴∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝180°―∠DPB―∠DBP＝180°－30°－30°＝120°，
∴④正确.
∴答案为A.
易错练
1.如图，已知直线y＝﹣x＋2分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y＝交于E、F 两点.若AB＝2EF，则k的值是……………………………………………………………（ ）
A.﹣1 B.1 C. D.
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中正确结论的个数是…………………………………………………………………………………………（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图1，点E为正方形ABCD边AD上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5cm；②0＜t≤5时，y＝t2；③直线NH的解析式为y＝﹣t＋27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒.其中正确的结论个数为（ ）21·cn·jy·com
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF,则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确结论的个数有（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D在优弧BC上，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是………………………………………………………………（ ）
A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
参考答案
1.D 赏析：本题主要采用待定系数法和方程模型法以及构造法.如下图，作FH⊥x轴于点H，EC⊥y轴于点C，FH与EC交于点D.由一次函数解析式可求得A点坐标为（2,0），B点坐标为（0,2），则OA＝OB,∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∴EF＝AB＝，∴△DEF也为等腰直角三角形，∴FD＝DE＝EF＝1.设F点坐标为（t，﹣t＋2），则E点坐标为（t＋1，﹣t＋1），将F、E两点坐标分别代入反比例函数解析式得t(﹣t＋2)＝(t＋1)(﹣t＋1)，解得t＝，∴F点坐标为（，），∴把F点坐标代入反比例函数解析式得k＝×＝.∴答案为D.21教育网
2. D 赏析：本题主要采用数形结合的方法，将方程转化为函数模型的方法.观察图象，∵二次函数次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，①正确；观察图象，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＜0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴＜0，∴＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，②正确；将方程ax2＋bx＋c－m＝0转化为两个函数模型：∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，∴函数y＝ax2＋bx＋c与y＝m没有交点，由图象可得，当m＞2时，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝m没有交点，，当m＝2时，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝m只有一个交点，，当m＜2时，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝m有两个交点，③正确.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝，∴PF＝PBsin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝t×t＝t2，∴②正确；对于③：观察图2，把点N（7,10）代入直线NH的解析式y＝﹣t＋27得y＝≠10，∴③不正确；对于④：观察图2得，当t＝＞7秒时，点P在CD上，点Q已到点C并停止运动，此时，PD＝－BE－ED＝－5－2＝，PQ＝CD－PD＝4－＝，∵,,∴,又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，∴④正确.∴答案为B.
4.C 赏析：对于①：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴△ABG≌△AFG（HL），∴①正确；对于②：∵EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6－x，在Rt△ECG中，(6－x)2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3，∴BG＝3＝6－3＝GC，∴②正确；对于③：∵CG＝BG，BG＝GF，∴GC＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB＋∠AGF＝2∠AGB＝180°－∠FGC＝∠GFC＋∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF，∴③正确；对于④：∵S△GCB＝GC·CF＝×3×4＝6，S△AFE＝AF·EF＝×6×2＝6，∴S△GCB＝S△AFE，∴④正确；对于⑤：∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF＝45°，∴∠AGB＋∠AED＝180°－∠GAF＝135°，∴⑤错误.
5.B 赏析：∵点A是劣弧BC的中点，OA为半径，∴BC⊥OA，①正确，又AC＝AB，∴∠COA＝∠BOA，∵∠D＝ 30°，∴∠COA＝∠BOA＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝，∴③正确，设OA与BC交于点E，如下图，则CE＝BE，在Rt△OCE中，CE＝OCsin∠COE＝6×＝3，∴BC＝2CE＝6，∴②正确，又∵OC＝OA＝OB，∴△OAC、△OAB均为等边三角形，∴OC＝CA＝AB＝BO，∴四边形ABOC是菱形，∴④正确.