四川省雅安市2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（含解析）

雅安市2023-2024学年高二上学期12月联考
数 学 试 卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为直线与轴的交点，若为等腰三角形，则（ ）
A． B． C． D．2
5．若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
6．如图，在四面体中，，分别为，的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是双曲线（，）的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．已知是抛物线的焦点，过点的直线与交于，两点，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．9
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A．的长轴长为 B．的短轴长为
C．的坐标为 D．的最小值为
10．圆与圆的公切线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A． B．
C．的面积为31 D．的周长为
12．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》．已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）．设的中点为，，已知长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
14．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则__________．
15．已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则__________．
16．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线经过点．
（1）若经过点，求的斜截式方程；
（2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
18．（12分）
已知圆与圆关于直线对称．
（1）求的标准方程；
（2）记与的公共点为，，求四边形的面积．
19．（12分）
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，．
（1）证明：．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）
已知曲线的方程为．
（1）说明为何种圆雉曲线，并求的标准方程；
（2）已知直线与交于，两点，与的一条渐近线交于点，且在第四象限，为坐标原点，求．
21．（12分）
如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正三角形的边长为2．
（1）证明：平面．
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
22．（12分）
圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，的蒙日圆方程为．
（1）求的方程；
（2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过点作直线与交于，两点，且，证明：是定值．
数学试卷参考答案
1．B 由题意得到平面的距离为．
2．D 因为，所以直线的倾斜角为146°．
3．D 由题意得，所以的最大值为．
4．A 由题意得，，易得，所以，得．
5．C 若，在直线的同侧，则，解得．若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．
6．B 因为，分别为，的中点，所以．
因为为的重心，所以，所以．
7．B 记的右焦点为，的中点为，连接，（图略）．因为，为的中点，所以，则，从而．又，所以，则，，故的离心率为2．
8．A 由题可知，设的方程为，，．
联立方程组整理得，则，，，，则，
当且仅当时，等号成立．
9．ABD 由题意得，，，则的长轴长为，的短轴长为，的坐标为，的最小值为．
10．CD 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆与圆的位置关系为相交．由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2．
设公切线的方程为，即，由，得，所以公切线的方程为或．
11．AD 由题知，，则．因为在第一象限，所以．
在中，因为，所以，且，
可得，所以．
因为，所以，
故的周长为．
12．ACD 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．若秒针指向了钟上数字5，则，，，，则，，所以，A正确．，故是平面的一个法向量．因为，所以，所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确．若秒针指向了钟上数字4，则，，，，C正确．由，得．因为，所以外接圆的半径，则四面体外接球的半径，则，故四面体外接球的表面积为，D正确．
13． 在方向上的投影向量为．
14．6 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，所以，则．
15． 设，，由题意得两式相减得，
则，得．
16． 设，，则，故，当且仅当，，三点共线，且点在之间时取得最大值．
17．解：（1）由题意得，则的方程为，其斜截式方程为．
（2）设的截距式方程为，
由题意得得，所以在轴上的截距为．
18．解：（1）将的方程转化为，知的圆心为，半径为3．
设的圆心为，半径为，因为与关于直线：对称，
所以解得
故的标准方程为．
（2），
根据对称性可知到直线的距离，
则，
则四边形的面积．
19．解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．
（1）证明：因为，所以．
（2）设平面的法向量为，则
即不妨取，则．
易得平面，所以是平面的一个法向量，
且，．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
20．解：（1）因为，
所以是以，为焦点，实轴长为2的双曲线．
设：（，），则，，，
所以的方程为．
（2）由（1）可得的渐近线方程为，
由得即．
设，，由得，
由韦达定理得
则．
21．（1）证明：因为四边形为矩形，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为平面平面，平面，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）解：分别取，的中点，，连接，，因为平面平面，为正三角形，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
设，则，，，
设平面的法向量为，
则由得
令，得．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去），故．
22．（1）解：由题意得得
所以的方程为．
（2）证明：当，的斜率等于0时，，，所以．
当，的斜率不等于0时，设：，则：．
由得，
令，得．
设到的距离为，则，
得．
设，，由得，
则
则．
故．
综上，是定值．