广东省清远市阳山县重点中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（期中）数学试题（含解析）

南阳中学2023-2024学年第一学期第二次月考
高二级数学科试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题，8个小题，每小题5分共40分.
1．双曲线的实轴长为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．18
2．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
3．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．两平行直线和之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分.
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为8
C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形
10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．圆的半径为2
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．直线被圆截得的弦长最长为4
11．如图，在正四棱柱中，，，E为棱上的一个动点，则（ ）
B．三棱锥的体积为定值
C．存在点E，使得平面
D．存在点E，使得平面
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A． B．平分
C． D．延长交直线于点，则三点共线
三、填空题，4个小题，每小题5分共20分.
圆心C为，且半径为3的圆的方程是 .
14．若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P到原点的距离为 ．
15．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分.
17．已知的顶点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求的面积.
18．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在轴上，焦距为10，；
（2）渐近线方程是，虚轴长为4.
19．已知椭圆E的方程为，与是E的左右两个焦点，是E的下顶点．
(1)设斜率为1的直线l过点，且与E交于M，N两点，求弦的长；
(2)若E上一点P满足，求三角形的面积．
20．如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面PBM与平面NBM夹角的余弦值.
21．已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
(1)求，当为何值时，最小，最小值为多少？
(2)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由.
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．
试卷第1页，共3页
南阳中学2023-2024学年第一学期第二次月考
高二级数学科参考答案
1．B
2. D. 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，，
所以.
3．C 因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，
4．B 因为，所以，解得（舍去），，因此两条直线方程分别化为，则与之间的距离，故选B.
5．C
6．B 由消去y并整理得：，
由直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，
得，解得，
所以的取值范围是.
7．C 方程，即，
所以是以，半径为的圆上的点，
表示点与点连线的斜率，
设直线与圆相切，
到直线的距离，
解得或，所以的取值范围是.
8．A 【详解】因为，,
所以,可得.
在中，.
由椭圆的定义可得，故，
所以，所以.
故选:A.
9．AD 由椭圆C：，可得，，则，
对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确；
对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B错误；
对于选项C，的周长为，故C错误；
对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．
10．ABD 变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，半径为2,B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长．
11．ABC 如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设，，则，．
因为，所以，故A正确；
因为，而为定值，点到平面的距离也为定值，所以为定值，故B正确；
设平面的法向量为，因为，，
所以，令，得．
因为，所以由，可得，故C正确；
因为，且无解，所以D错误．
12．BD
【分析】对于A，直接代入即可得到
对于B，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；
对于C，由选项A可知.
对于D，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线
13．
【分析】根据圆心与半径直接求解.
【详解】因为圆心，半径为3，
所以圆的标准方程为：，
14． 设，
则点P到准线的距离为，所以，则，
所以点P到原点的距离为.
15． 设直线与椭圆交于两点，其中，
将两点代入椭圆可得，两式作差可得，
即，又中点坐标是，
所以，所以，
令，则，所以，所以，
16． 设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，因为为的中点，
所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，所以，.
17．（1）因为直线AB的斜率为，（2分）
由直线的点斜式可得，（3分）
化简可得.（5分，3个结果都不扣分）
（2）由（1）可知，直线AB的方程为，
则点C到直线AB的距离，（7分）
且,（9分）
则.（10分）（另法：求出三角形的三边，用面积公式也可）
18．（1）由题意，，(2分)解得，，则，（4分）
所以双曲线的标准方程为.（5分）
（2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，，（7分）
所以双曲线的标准方程为；（8分）
当双曲线焦点在轴上时，，解得，，（10）
所以双曲线的标准方程为.（11分）
综上所述，双曲线的标准方程为或.（12分）（少写一种情况扣3分）
19．（1）由椭圆方程可得，
所以,
故直线的方程为，（2分）
联立，（3分）
设,则，（4分）
所以（6分）
（2）由以及得，（8分）
故由余弦定理可得,（9分）
由于，（10分）
故（12分）
20.【详解】（1）在正四棱锥中，连接，
四边形为正方形
为的中点 （1分）
又点为的中点
为的中位线
（3分）
又平面，平面，
平面.（4分）
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为正四棱锥的体积为，
所以正四棱锥的体积，
所以（5分），（6分）
，,
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以.（8分）
设平面的一个法向量为,则
，即，令，则，
所以.（10分）
设平面PBM与平面NBM的夹角为，则
所以平面PBM与平面NBM夹角的余弦值为.（12分）
21.（1）（3分）
（4分）
（6分）
（2）以为圆心，为半径的圆的方程为，（8分）
显然线段为圆和圆的公共弦，（9分）
则直线的方程为，即，（10分）
经判断直线过定点，即所以直线过定点（12分）
22．（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，
可得，设，则，（1分）
因为，可得，（2分）
即，（3分）整理得.（4分）
（2）当直线的斜率存在，可设直线，（5分）
联立方程组，整理得，（6分）
设，
因为直线与曲线交于两点，则，
且，（7分）
因为，可得，（8分）
所以（9分）
；（10分）
当直线的斜率不存在，此时直线，（11分）
联立方程组，解得，不妨设，
此时，可得，
综上可得，为定值.（12分）

答案第1页，共2页