5.6 几何证明举例 第4课时 课件(共15张PPT) 青岛版八年级数学上册

(共15张PPT)
第4课时
第五章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
1.证明角平分线定理及其逆定理，并用其解决几何图形中的问题；
2.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
思考1：你还记得角平分线的性质什么吗？在前面我们利用什么得出了角平分线的性质吗
写出已知、求证，然后再写出具体的证明过程.
角的轴对称性质
思考2：如何证明这个性质？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）.
D
P
E
A
O
B
C
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
命题：角平分线上的点到角两边的距离相等
在△PDO和△PEO中，
求证：PD=PE.
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
D
P
E
A
O
B
C
讨论：请说出角平分线的性质定理的逆命题，它的逆命题是否正确？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
题
思考：如何证明这个结论？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
P
A
O
B
C
D
E
已知：如图，P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N，且PM=PN.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：连接MN，∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM.
∵∠BMN与∠PMN互余，∠BNM与∠PNM互余，
∴∠BMN=∠BNM, ∴BM=BN.
过点B，P作射线BD.
C
A
M
B
P
N
∵BP=BP，∴△PBM≌△PBN（SSS）.
∴∠ABD=∠CBD,即点P在∠AOB的角平分线上.
D
定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
应用格式：∵PM⊥AB，PN⊥BC，PM=PN，
∴点P在∠AOB的平分线上.
C
A
M
B
P
N
D
例1：已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证：AM平分∠DAB.
证明：过M作ME⊥AD于点E，
A
M
D
C
B
E
∵∠B=∠C=90°，
∴MC⊥DC，MB⊥AB
又∵DM平分∠ADC，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵M是BC的中点，∴MC=MB， ∴ME=MB，
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
1.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE=OF.
证明:在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF.
例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到AB、BC、CA的距离相等.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴PD=PE=PF.（等量代换）
即点P到AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
解：点P在∠A的平分线上.
证明：连接AP,
由上题可得，PD=PF.
∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
D
E
F
A
B
C
P
N
M
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
2.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC= ．
120°
解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是△ABC三个内角的平分线的交点，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
3.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC，ON⊥AB，OM⊥AC，，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC.
解：∵OB，OC，OA分别平分∠ABC，∠ACB和∠BAC，OD⊥BC，ON⊥AB，OM⊥AC，
∴OD=ON=OM，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
A
B
C
O
M
N
G
D
思考：本节课你学到什么？
角平分线
性质定理
逆定理
应用：三角形内角平分线的性质