5.6 几何证明举例 第2课时 课件(共16张PPT)青岛版八年级上册数学

(共16张PPT)
第五章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第2课时
1.利用基本事实和已证明的定理证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
2.利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明线段相等和角相等.
1.什么叫做等腰三角形？
2.等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的三线合一）.
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）.
3.上述性质你是怎么得到的？
4.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？
复习回顾
轴对称的性质
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.
（一）证明等腰三角形的性质
分析：常见辅助线做法
A
B
C
D
1
2
（1）作顶角的平分线
（2）作底边上的高
（3）作底边上的中线
使等腰三角形的两个底角分别成为两个全等三角形的对应角.
想一想：添加辅助线能起到了什么作用呢？
以作顶角的平分线为例：
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C.
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD (角平分线定义)，
在△BAD与△CAD中
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
结论：等腰三角形顶角的平分线垂直底边并平分底边,即得到AD⊥BC和BD=CD.
AB = AC (已知)
∠BAD = ∠CAD (已证)
AD = AD (公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴∠B =∠C (全等三角形对应角相等).
A
B
C
D
1
2
性质定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
应用格式：
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）.
联系等边三角形的定义，我们也能证明出等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°.
性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合，简称“三线合一”.
应用格式：
(1)∵AB=AC, ∠1=∠2,
∴AD⊥BC,BD=CD.
(2)∵AB=AC, BD=CD,
∴AD⊥BC,∠1=∠2.
(3)∵AB=AC, AD⊥BC,
∴∠1=∠2,BD=CD.
A
B
C
D
1
2
请你说出等腰三角形性质定理1的逆命题，你能证明它是真命题吗？
（二）证明等腰三角形的判定
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简称等角对等边）
A
B
C
已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.
求证：AB=AC.
已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：作AD⊥BC,垂足为D，
则∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C(已知)，
∠ADB=∠ADC=90°(已证)，
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC(全等三角形对应边相等).
A
B
C
D
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.
应用格式：
在△ABC中，∵∠B=∠C（已知），
∴AC=AB(等角对等边）.
C
B
A
同样地，我们可以联系等边三角形的定义证明等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
例1. 如图：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，AD＝AC．
求证：∠DAC＝2∠B.
∵∠BAC＝90°(已知)，
∴∠C+∠B＝90°.
∵AD＝AC，AE平分∠DAC(已知),
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）,
∴∠CEA=90°(垂直意义),
∴∠C+∠CAE＝90°,
B
A
D
C
E
证明:过点A作AE平分∠DAC，交BC于E,
∴∠CAE =∠B (等式性质),
∴∠DAC=2∠B(等量代换).
例2.已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：AD=AF．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角)，
∵DE⊥BC(已知)，
∴△DEB和△FEC为直角三角形.
∴∠BDE=90°-∠B，∠F=90°-∠C(直角三角形两锐角互余)，
∵∠FDA=∠BDE(对顶角相等)，
∴∠FDA=90°-∠B(等量代换)，∴∠FDA=∠F(等量代换).
∴AD=AF（等角对等边）.
利用等腰三角形的判定和性质，也可以证明线段相等和角相等.
总结：
1.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.求证：BC＝CD.
证明：如图，连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD（等角对等边 ）.
2.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠EAC，
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．
思考：本节课你学到什么？
证明等腰三角形的性质定理
证明等腰三角形的判定定理