2023学年第一学期高一年级 12月三校联考
数学学科 试题卷
考生须知：
1.本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
选择题部分（共 60分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合M y y 2x , x 1 ， N x y x x2 ，则M N 等于（ ）
A. 0,1 B. 2 C. 0, 2 D. , 2
【答案】C
2. 设命题 p : x Z, x2 2x 1，则 p 的否定为（ ）
A. x Z , x2 2x 1 B. x Z , x2 2x 1
C. x Z , x2 2x 1 D. x Z , x2 2x
【答案】B
3x2
3. 函数 f x 的图象大致是（ ）
3x 3 x
A. B. C . D. 【答案】B x 1 1 4．方程 3 x 的根所在区间是（ ）
2
2 1 2 1 1 1
A． ,1 B． , C． , D． 0,
3 2 3 3 2 3
高一数学三校联考试题卷 第 1 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
【答案】C
5．若a,b R，则“a 1,b 1”的充分不必要条件是（ ）
A．ab 1且 a b 2 B．ab 1且 (a 1)(b 1) 0
C．a b 2且 (a 1)(b 1) 0 D．a b 3且 (a 1)(b 1) 0
【答案】D
1
6.用二分法求函数 f x ln x 1 x 1在区间 ,1 上的零点，要求精确度为0.01时，
2
所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B.
1 1
7.已知不等式ax2 bx 1 0的解集为{x | x }，则不等式 x2 bx a 0的解集为
3 2
（ ）
A．{x | x -3或x -2} B．{x | -3 x -2}
C．{x | -2 x 3} D．{x | x -2或x 3}
【答案】D
ax2 bx 1
8. 已知函数 f x 在其定义域内为偶函数，且 f 1 ，
x2 1 2
1 1 1
则 f f f f 1 f 2 f 2023 （ ）
2023 2022 2
4045 4043
A. B. C. 2021 D. 0
2 2
【答案】A
2 2ax bx a x b x
因为 f x 为偶函数，所以 f x =f x ，所以 ，
x2
2
1 x 1
ax2
所以2bx 0且 x不恒为 0 ，所以b 0， f x
x2 1
1 a 1 x2
又因为 f 1 ，所以 ，所以a 1，所以 f x ，
2 2 2 x2 1
高一数学三校联考试题卷 第 2 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
1
2 2
1 x 2 x 1
又因为 f x f x 1，所以
x x
2 1 1 x2 1 1 x2
1
x2
1 1 1 1 4045
f f f f 1 f 2 f 2023 2022 1
2023 2022 2 2 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.若a,b,c R，则下列命题正确的是（ ）
1 1
A．若ab 0且a b，则 B．若0 a 1，则a3 a
a b
b 1 b
C．若0 a b，则 D．若c b a且ac 0，则cb2 ab2
a 1 a
【答案】BC
10. 若a,b (0, )，则下列选项成立的是（ ）
A. a(6 a) 9 B. 若ab a b 3，则ab 9
2 4 3a 1
C. a 的最小值为1 D. 若a b 1，则 6
a2 3 b ab
【答案】ABD
2 2
【详解】A选项：因为 a 6a 9 a 3 0， a 3时等号成立，所以a(6 a) 9，
A正确；
B选项：因为ab a b 3 2 ab 3，
所以ab 2 ab 3 0，解得 ab 3或 ab 1（舍去），
所以ab 9，当a b时等号成立，B正确；
C选项：a2
4 2 4 4 a 3 3 2 a2 3 3 1，
a2 3 a2 3 a2 3
2 4
因为a 3 无实数解，所以等号不成立，C错误；
a2 3
D选项：因为b 1 a，所以不等式
高一数学三校联考试题卷 第 3 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
3a 1
6 3a2 6ab 1 0 3a2 6a 1 a 1 0，
b ab
2 2 2
3a 1
即9a 6a 1 0，因为9a 6a 1 3a 1 0，所以不等式 6 成立，
b ab
1 2
当且仅当a ,b 时，等号成立，D正确.
3 3
11.已知函数 f x sin 2x ,则下列四个结论中不正确的是 ( )
6
5
A.函数 f x 的图象关于点 ，0 中心对称 B.函数 f x 的图象关于直线 x 对称
12 8
C.函数 f x 在区间 , 内有 4个零点 D.函数 f x 在区间 ，0 上单调递增
2
【答案】ABD
x x x
12.已知函数 f x e x 1 ， g x ln x x 1 的零点分别为 x1, x2 ，
x 1 x 1
则下列结论正确的是( )
1 1
A. x1 2ln x2 B. 1 C. x1 x2 4 D. xx x 1
x2 e
1 2
【答案】BC
非选择题部分（共 90分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.
1
13. log 327 3 lg 25 lg 4 7 7 log3 8 log
3 3 =_______ 4
1 1 1 1
【答案】（1）原式 2 3 3 log3 2 log2 3 =-
3 2 3 6
2 2m 1
14. 幂函数 f x m m 1 x 在 0, 上为减函数，则实数m的值为
__________.
【答案】0
3
15．已知角 的终边经过点P 2, tan ，则sin cos ．
4
高一数学三校联考试题卷 第 4 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
1
【答案】
5
bx2 1 f x 1,
16. 已知函数 f x 是奇函数，不等式组 的解集为 x1, x2 ，且x ，1
x a f x 2 3
x
x 1
x2 8
满足 x1 > 0， 2 ，则a ______，b ______. 2 x2 x1 b
【答案】 ①. 0 ②. 3 5
bx2 1
【详解】 f x 的定义域为 x | x a ，又函数 f x 是奇函数，所以定义域
x a
bx2 1
关于 (0,0)对称，从而 a 0，即a 0 .当a 0时， f x ，
x
bx2 1 bx2 1 1 f x 1,
f x f x .故a 0； f x bx ，不等式组
x x x f x 2 3
等价于1 f x 2 3 ，因为其解集为 x1, x2 ，是开区间，所以函数 f x 在 x1, x2 不
1
单调，所以b 0；又 x1 > 0，所以 x2 0，因此x ，x 是bx 2 3 的两个正根，即1 2 x
Δ 12 4b 0
2 3
bx2 2 3x 1 0，所以 x1 x2 0 ，解得0 b 3，
b
1
x1 x2 0 b
x1 x2 8
又因为 ，所以
x2 x
2
1 b
12 2
x2
2
x x x
2 x 2
1 2 1 2 1
x2 2x1x2
b b
12 8
2 ，
x2 x1 x1x2 x1x 1 b b
2
2
b
高一数学三校联考试题卷 第 5 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
即b2 6b 4 0，解得b 3 5 或b 3 5 （舍）.
故答案为：0；3 5 .
四、解答题：本题共 6 小题，第 17题 10分，第 18-22题每题 12分，共 70分.解答应写
出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 10分）（1）已知sin 是方程5x2 +7x 6 0的根， π，求
2
π
sin cos 4π tan
2 π- tan 6π
2
的值；
3π
sin π- cos
2
（2）已知sin 4π 2 sin ， 3 cos 6π 2 cos 2π ，且0 π，0 π，
求 和 的值.
3
【解析】（1）由5x2 +7x 6 0得： x x 1 -2， 2 ，
5
3 4 3
sin 1,1 2， sin ， cos - 1 sin - ， tan - ，
5 5 4
π
sin cos 4π tan2 π- tan 6π
2 3
tan - ；
3π 4
sin π- cos
2
（2）由sin 4π 2 sin 得：sin 2 sin ①；
由 3 cos 6π 2 cos 2π 得： 3 cos 2 cos ②；
2 2 2 2
①2 ②2 得：sin 3cos 2sin 2cos 2，
2 2 1 cos 3cos2 1 2cos2 2，解得：cos ，
2
π 3π
又0 π， 或 ，
4 4
高一数学三校联考试题卷 第 6 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
π π 6 3 π
当 时， 2 cos 3 cos ， cos ，又0 π， ；
4 4 2 2 6
3π 3π 6 3 5π
当 时， 2 cos 3 cos ， cos ，又0 π， ；
4 4 2 2 6
π 3π
4 4
综上所述： 或 .
π 5π
6 6
18. （本题满分 12 分） 已知 m R ，命题 p ： m2 m 6 0 ，命题 q ：函数
f x 2x2 mx 1在 0, 上存在零点.
（1）若 p 是真命题，求m的取值范围；
（2）若 p ， q 中有一个为真命题，另一个为假命题，求m的取值范围.
【小问 1详解】因为 p 真命题，所以m2 m 6 0成立，解得 2 m 3；
【小问 2详解】若q 为真命题，则函数 f x 2x2 mx 1在 0, 上存在零点，
则方程 2x2 mx 1 0在 0, 上有解，
1
因为 0，该方程在有解时两解同号，所以方程 2x2 mx 1 0在 0, 上有两个正根，
2
m2 8 0
则 ，得m 2 2 ，
m 0
若 p 为真命题，q 为假命题，是得 2 m 2 2 ， 若 p 为假命题，q 为真命题，得m 3，
所以m的取值范围为 2 m 2 2 或m 3.
19. （本题满分 12 分）已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，
f x x2 2x 3 .
（1）求 f x 在 0, 上的取值范围；
（2）求 f x 的函数关系式；
高一数学三校联考试题卷 第 7 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
（3）设 g x x 1，若对于任意 x1 2,3 ，都存在 x2 m,m 1 ，使得
f g x1 g f x2 ，求正数m的取值范围.
小问 1详解】因为 y x2 2x 3的对称轴为 x 1，所以函数 f x 在 0,1 单调递减，
在 1, 单调递增，因为 f 1 2 ，所以 f x 在 0, 上的值域为 2, ；
【小问 2详解】
因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f 0 0；
2 2
设 x 0，则 x 0 ，所以 f x x 2 x 3 x 2x 3；
又因为 f x 2是定义在R 上的奇函数，所以 f x f x x 2x 3，
x2 2x 3, x 0,
所以 f x 0, x 0,
x2 2x 3, x 0.
【小问 3详解】
因为 x1 2,3 ，所以1 g x1 2 ，所以2 f g x1 3，
当m 1时，m 1 2，因为 f x 在 1, 上递增，所以 f x 在 m,m 1 上递增，
所以m
2 2m 3 f x m2 2 22 ，所以m 2m 2 g f x2 m
2 1，
m2 1 3
所以 ，所以2 2 m 2，当0 m 1时，1 m 1 2，
m 2m 2 2
因为 f x 在 m,1 上递减， f x 在 1,m 1 上递增，
此时，因为 f m 3， f m 1 3，所以 g f x2 2，
所以0 m 1不符合题意，综上， 2 m 2 .
20. （本题满分 12分）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达
200 400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委 生态环境部等 9部门联合印发
《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年 1月 1 日起，将禁用不可降
高一数学三校联考试题卷 第 8 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
解的塑料袋 塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量 y 与时间 t
r
t
年之间的关系为 y y e v , y 为初始量，r 为光解系数（与光照强度 湿度及氧气浓度有关），0 0
v为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的 90 倍.（参考数据：
ln10 2.30,lg2 0.301）
(1)塑料自然降解，残留量为初始量的10%，大约需要多久？
(2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已
知 2年就可降解初始量的20%，则残留量不足初始量的5%，至少需要多久？（精确到年）
1
t 1 1
【详解】（1）由题可知 ty y e 90 0.1y ，所以 t ln0.1 2.30, t 2070 0 e 90 0.1
，所以 ，
90
所以残留量为初始量的10%，大约需要 207年；
r
2 r 1
（2）根据题意当 t 2时， y 1 20% y0 ， y v0 e 0.8y ，解得 ln0.8，所以0 v 2
t t t
ln0.8 ln0.8
y y e2 ，若残留量不足初始量的5%，则0 y0 e
2 0.05y ，0 (0.8)
2 0.05，两边
t 2 1-lg 2
取常用对数 lg0.8 lg0.05， t 26.8，所以至少需要 27年.
2 3lg2 1
21. （本题满分 12 分）已知函数 f x 、 g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数且
f x g x ex ；
4 1
（1）若对任意的正实数m、n m n 都有 f m f n 1 0 ，求 最小值；
m n
2k 2k
4 e e
（2）若 g x 对任意的 x 0恒成立，求实数 k 的取值范围．
x 2
【小问 1 详解】解：因为函数 f x 、 g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数且
f x g x ex f x g x e x，则 ，即 g x f x e x ，
ex e x
f
x
f x g x e
x 2
所以， ，解得 ，
g x f x e
x
ex e x g x
2
高一数学三校联考试题卷 第 9 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
ex e x
因为函数 y ex 、 y e x均为R 上的增函数，故函数 f x 为R 上的增函数，
2
由 f m f n 1 0 可得 f m f n 1 f 1 n ，则m 1 n，所以，
m n 1，又因为m、 n m n 均为正实数，所以，
4 1 4 1 4n m
4n m m n 5 5 2 9 ，
m n m n m n m n
4n m
m n
2
m
当且仅当 m n 1
3 4 1
时，即当 时，等号成立，故 有最小值9 .
1 m nm 0,n 0 n
3
m n
【小问 2详解】
ex e x
解： g x 定义域为R ，且函数 g x 为偶函数，
2
ex e x 1 1
当 x 0时，令 t ex
1，则 g x t ，
2 2 t
1 1
因为内层函数 t ex 在 0, 上为增函数，外层函数 y t 在 1, 上为增函数，
2 t
4 e2k e 2k
所以，函数 g x 在 0, 上为增函数，由 g x g 2k g 2k ，
x 2
4 4
因 x 0，则2 k x ，
x x
4 4 4
由基本不等式可得 x 2 x 4，当且仅当 x x 0 时，即当 x 2 时，等号
x x x
成立，所以，2 k 4，解得 2
22．（本题满分 12分）设函数 f (x) 2x (k 1) 2 x(x R)是偶函数．
高一数学三校联考试题卷 第 10 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQ为kAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
(1)求 k的值；
1 x
(2)设函数 g(x) n f (x) 2 f (2x) 2，若不等式 g x 0 对任意的 x 1, 恒成
立．求实数 n的取值范围；
(3)设h x log2 f x ，当 m为何值时，关于 x的方程
h x 1 m h x 1 4m 2m
2
m 0有 2 个实根．
【详解】（1）由函数 f (x) 是定义域在 R 上的偶函数，则对于 x R ，都有 f x f x ，
2 x k 1 2x 2x (k 1) 2 x即 ，即对于 x R ，都有 k 2 2x (k 2) 2 x ，得 k 2．
x x
（2）结合（1）可得 f x 2 2 ，则
g x n 2x 2 x 21 x 22x 2 2x 2 n 2x 2 x 22x 2 2x 2，
令 t 2x 2 x ，由
x
y 2x 在 R上单调递增， y 2 在 R 上单调递减，
3
所以 t 2x 2 x 在 x 1, 上单调递增，得 t ，
2
22x 2 2x 2
则不等式 g x 0 对任意的 x 1, 恒成立等价于n 在 x 1, 上恒成
2x 2 x
22x 2 2x 2 22x
2 2
2x 2 2x 2 x 4
立，所以n x x 即可，又
2x 2 x
4 4
t ，
2 2 x 2 2
x 2x 2 x 2x 2 x t
min
22x 2 2x4 2
由对勾函数的性质可得当 t 2时， t 取得最小值4 ，所以 的最小值为 4 ，
t 2x 2 x
即 n 4，所以实数 n的取值范围为 , 4 ．
1
（3）令 2x u ，u 0，由对勾函数的性质可得当u 1时，u 取得最小值 2 ，
u
所以 f x 2x 2 x 2，则h x log2 f x 1，令 p h x 1，则 p 0，
由图象可得，当 p 0时，关于 x的方程h x 1 0有 1个解；
当 p 0时，关于 x的方程h x 1 0有 2 个解，
高一数学三校联考试题卷 第 11 页 共 12 页
{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}
p p m p 4m 2m2 m p2 3mp 2m2则原问题转化为关于 的方程 m 0的根的个
2 2
数，令F p p 3mp 2m m，则F p 表示开口向上的抛物线，
2
又 3m 4 1 2m2 m 17m2 4m，
4
F p p2
3m
当m 时，则Δ 0，又 3mp 2m
2 m的对称轴 p 0 ，所以F p 0
17 2
有唯一解 p ，且 p 0，即其关于 x的方程有 2个解；
当m 0时，F p 0 2有两不等实根 p ， p F p p 3mp 2m2 m1 2，因为 的对称轴
3m
p 0，且 p1 p2 2m
2 m 0，
2
所以F p 0有 1个正数解，即关于 x的方程有 2个解；
4 2 1
当m 时，当 p p m F p 03 4 2m m 0，即 时， 有一个正数解，此时关于 x的
17 2
方程有 2个解；
1 4
综上所述，当m ,0 , 或m 时，方程有 2个根；
2 17
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{#{QQABAYAAoggAAhAAARgCEQUYCgIQkAAAAAoGgFAIoAABwQFABAA=}#}2023学年第一学期高一年级12月三校联考
数学学科试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）：
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
已知集合M={yp=25,x≤，N={p=x-},
1.
则MUN等于（▲）
A.(0,1]
B.{2y
c.[0,2]
D.（-0,2]
2.设命题p:3x∈Z,x2≥2x+1,则P的否定为（▲）
A.VxgZ,x2<2x+1
B.x∈Z,x2<2x+1
C.3xgZ,x2<2x+1
D.3x∈Z,x2<2x
3x2
3函数f()=3十3的图象大致是（▲)
m平
4方程(=的根所在区间是《)
c(G.(
5.若a,b∈R,则“a>l,b>1”的充分不必要条件是（▲）
A.ab>1且a+b>2
B.ab>1且(a-1)b-1)>0
C.a+b>2且(a-1)b-1)>0
D.a+b>3且(a-1)b-1)>0
6.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间
上的零点，要求精确度为0.01时，
所需二分区间的次数最少为（▲）
A.5
B.6
C.7
D.8
等式ax2+bx+1>0的解集为{x-(▲)
A.{x|x≤-3或x2-2}
B.{x|-3≤x≤-2}
C.{x|-2≤x≤3}
D.{x|x≤-2或x23}
8已知函数f(女)=四+在其定义域内为偶函数，且了0=2：
x2+1
则f
2023
+/
++寸9+f0+f(2)++f(2023)=(▲)
4045
4043
A.
2
B.
C.2021
D.0
2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是（▲）
11
A.若ab≠0且a
B.若0a b
C.若0atlD.若c10.若4，b∈(0，+o),则下列选项成立的是（▲)
A.a(6-a)≤9
B.若b=a+b+3,则ab≥9
4
Ca2+23
的最小值为1
.若a+b=1,则方+ab
30+26
11.已知函数f(x)=sin
2x-
则下列四个结论中不正确的是（▲）
5π
A.函数f(x)的图象关于点
0中心对称B.函数f(x)的图象关于直线x=-
12
对称
8
C函数了()在区间（←x,)内有4个零点D西数f儿）在区间一受0
上单调递增