初中数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式教学设计

14.2.1 平方差公式 教学设计
一、内容和内容解析
本节课是在学生已经掌握了多项式乘法的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法．本节课将引导学生在已有整式乘法知识的基础上，归纳这一类乘法结果的普遍性，是从特殊到一般的认识过程．除了从代数角度来证明这个公式之外，还从几何角度加以验证，加强对平方差公式的几何理解，体会数形结合思想．通过对平方差的学习和研究，让学生认识到平方差公式是一类多项式乘法的简便计算，它为今后学习因式分解、分式的化简、解一元二次方程、一次函数、二次函数、反比例函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了研究方法．因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有非常重要的地位，是初中学习阶段学生接触到的第一个最基本、用途最广泛的乘法公式．
采用“创设情景—自主探究、合作交流—猜想—验证—加深理解—应用与拓展”的教学方法．通过创设情境引入课题、激发学生的学习兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课．学生通过自己的计算、观察、分析、发现、总结、归纳得出这两个二项式相乘其积为两项，究其原因是从而猜想出平方差公式．证明猜想时运用多项式乘多项式法则，证明：；再进行几何验证，通过学生小组合作，利用割补法完成剪拼活动,根据图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式,渗透数形结合的思想．学生经历“特殊→归纳→猜想→证明”的认知过程，教学过程中有意识地培养学生的推理能力和语言表达能力．让学生用语言叙述公式，揭示公式的结构特征: ①公式左边是两个二项式相乘，而且是相同两数和与差相乘，即左边两括号内有一项相等、另一项互为相反数(式)； ②公式右边是这两个数的平方差，即右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的 和可以表示具体数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式．通过观察平方差公式，体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析、的广泛含义，抓住公式的核心，通过例题提高学生运用公式解决问题的能力．最后，通过例题2，突破创设情景中的问题，达到前后呼应，进一步落实等价转化思想，使学生充分体会成就感，进一步调动学生学习数学的积极性．
基于以上分析，确定本节课的教学内容主要如下：
1. 平方差公式的探究；
2. 平方差公式的验证；
3. 平方差公式的应用．
教学重点：
平方差公式的本质的理解与运用。
教学难点
平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。
二、目标和目标解析　
教学目标
1. 通过猜想、探索、归纳、论证平方差公式，理解、掌握平方差公式的特征和意义，并能够正确运用平方差公式解决问题；
2. 采用“创设情景—自主探究、合作交流—猜想—验证—加深理解—应用与拓展”的教学过程，让学生掌握从特殊到一般的认知规律，感受数学的魅力、意义. 同时在教学过程中培养学生的推理、归纳能力；在验证过程中培养数形结合思想；在应用与拓展中培养学生的等价转化思想．
3. 在教学过程中，特别是公式中字母、的广泛含义让学生体会到数学的简洁美. 充分培养了学生的合作精神，加强了团队意识，更重要的是通过发现问题—研究问题—解决问题让学生获得成功的喜悦，促进了学生的创新精神．
目标解析
1. 让学生经历“特殊─归纳─猜想─验证─运用”这一教学活动过程，积累数学活动的经验，经历探索并证明平方差公式，让学生清楚地、准确地运用数学语言表达平方差公式；在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析、的广泛含义．
2. 让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对学生发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解．在解决问题时，一切从题目结构出发，根据题目结构多角度思考一题多解，从中寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准、．
3. 通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生在原有知识的基础上经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程．让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，让学生的思维全过程得到充分展现，学生在发现、再发现的过程中，思维火花强烈碰撞，让数学结论的发现成为自然的事情．本节课充分发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣,让学生在整个学习过程中体会成功的喜悦．
三、教学问题诊断分析
从学生的构成与家庭结构方面看，我校八年级学生来自全市12所学校共414人，学生基础参差不齐，构成复杂．从智力与能力发展的年龄特征来看，八年级学生的思维正处于从具体的形象思维成分为主，向以抽象逻辑思维成分为主的转折期．因此，教学内容的呈现必须注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象、概括要求．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．
但是对学生来说，一方面如何从项的角度来理解平方差公式的特征，区别与其他多项式相乘的算式会有一定的困难；另一方面，用几何方法来验证所得的乘法公式要求有点高，估计学生会需要老师的帮助．由于学生初次学习公式，在运用公式时，认清结构不易，而且本节课所学的公式运用仅是基础部分的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应在今后教学中逐步达到解决难度较大的题目，并灵活运用．
四、教学支持条件分析
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，将从问题诊断分析和学生起点分析，分析在教学过程中存在的和可借助的支持条件．
1．学生的起点分析
（1）学生的知识技能基础：
学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的基础．经过长期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力．学生刚学过多项式的乘法，已具备学习平方差公式的知识基础．
（2）学生活动经验基础：
通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，有了对式的运算“快”、“准”的积极心理，学生已具备学习公式的基本技能，通过新课程教学的实施，学生已具有探索，合作交流的习惯．因而让学生通过探索、合作交流得出平方差公式就有了可能．
2．从问题诊断方面看
教学方法的选取既要能适应学生在这一时期的能力发展水平，又要能促进他们的思维向高一级阶段发展．故采用“创设情景—自主探究、合作交流—猜想—验证—加深理解—应用与拓展”的教学方法，学生在观察、分析、猜想、验证中总结出平方差公式，揭示公式的结构特征．
针对以上分析，本节课利用多媒体、实物投影、纸板教具展示教学的部分环节，如创设情境、公式的几何意义等．
五、教学基本流程
六、 教学过程
【活动】一、前馈补偿，导入新知
1.计算:(x+5)(y+3)=_______________________ 。结果是几项
2.请思考:若仍是两个一次二项式相乘，怎样改变其中的某项，使乘积的结果是三项呢
3.请再思考: 若还是两个一次二项式相乘，在乘积结果是三项的基础上，怎样改变其中的某项，使乘积的结果是两项呢
4.你还能够写出2—3个结果是两项的这种结构特征的算式吗？
5.上述探究中你发现了什么规律？(你能用自己的语言描述出这类式子的特征吗 ）
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【师生活动】：教师设置五个问题激发学生探究欲望，学生思考解决问题。
【设计意图】：通过“层层递进设问”引发学生探究的兴趣，复习旧知识同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。
【活动】二、合作交流，建构新知
活动1： 自主探究 （平方差公式的特征），平方差公式证明的探究：(见大屏幕)（要求：先自主总结，然后学习小组讨论交流，同学们进行展示，同学间互相补充，补充之后由老师进行点拨。）
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活动2：自主练习
1、下列各式中,能用平方差公式运算的是( )
A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c)
2、下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5)
【师生活动】：教师引导学生比较分析不同形式的异同（强调公式结构不变，字母可变），学生比较分析不同形式的异同，归纳总结其共性。
【设计意图】：通过几个不同刺激模式，由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的引领作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力。
【活动】三、精讲点拨，巩固模型
例1运用平方差公式计算：（直接写出结果）
(1) (3x+2)(3x-2)=_________________ ；
(2) (b+2a)(2a-b)=__________________；
(3) (-x+2y)(-x-2y)=_________________.
(4)102 ×98=_______________________ ；
(5) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=_________
【师生活动】：通过五个题目的设置，进一步培养学生对平方差公式的认识，掌握公式特征。学生认真书写，领悟公式本质。
【设计意图】：使学生能灵活运用公式，培养其发散思维和思考问题的严密性，思考角度的多样性.突出重点。
【活动】四、独立思考，体验成功
1、下面各式的计算对不对？ 如果不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x - 2
(2) (-3a-2)(3a-2) = 9a - 4
2、运用平方差公式解题：
(1)（5+a）( ) =25-a
(2)（-3a+ △ )(4b+ )=16b -9a 则△ =___ =___
(3) 若x －y =30，且x－y=－5， 则x+y的值是（ ）
【师生活动】：老师关注学生是否找准公式中的a、b，学生尝试性地灵活运用公式.理解公式的结特征，自主探究，加深理解。
【设计意图】：设置不同类型的习题让不同层次的学生体验成功，让不同层次的学生有所收获。
【活动】五、再现模型，升华新知
一、运用平方差公式计算：（对比应用体会公式本质）
（1）(m+n)(-n+m) =_________（公式中字母位置变化）
（2）(-x-y) (x-y)=_________（公式中字母符号变化）
（3）(2a+b)(2a-b) =________（公式中字母系数变化）
（4）(x2+y2)(x2-y2)=_______（公式中字母指数变化）
（5） 51×49 =_________ （ 巧用公式）
【师生活动】：老师组织学生以小组为单位交流，进一步体会平方差公式的特点，学生认真计算体会公式本质。
【设计意图】：使学生进一步理解公式中字母的广泛含义，体会公式.的本质特征（结构不变，字母可变）突破难点。
【活动】六、变式延伸，拓展训练
【师生活动】：以小组为单位交流问题的解决方法，进一步体会平方差公式的特点，教师关注每个小组交流的氛围、遇到的困难，教师及时点拨。学生积极思考，努力探索.。
【设计意图】：培养学生的整体思想、逆向思维，进一步理解公式中字母的广泛含义，综合运用公式，进一步化解难点，对不同层次的学生分层培养，力争让每一名学生都在课堂有所收获。
【活动】七、归纳总结，感悟提升
说说本节课你学习后的收获
【师生活动】：教师让学生归纳本节课学习的主要内容，培养学生学会梳理知识，养成好的学习习惯。引导学生在知识技能、情感、态度等方面进行自我评价。
设计意图：让学生在反思中感悟，在感悟中升华所学内容，多元评价以适应学生各种能力与素养的提升。
【活动】八、自由选择，自主作业
1、必答题
(1)P 153 第 1题, 第2题
(2)P156 复习巩固第1题
2、选作题
本节能力拓展内容
【师生活动】：教师对作业提出明确的要求，学生课后独立完成。
【设计意图】：分层设计，满足不同学生对学习的要求。让不同层次的学生得到不同的发展。.
【活动】九、达标检测，反馈目标
1.判断正误
（1）(2b+a)(a-2b)=4b2 -a2 ( )
（2）(x+ y) (-x -y)=x2 -y2 ( )
2.下列各式不能用平方差公式计算的有_________.(只填序号）
① (a+b)(b-a)； ②(a+b+c)(a+b-c)；
③ (-a+b)(-a-b)； ④ (-a+b)(a-b）.
3.运用平方差公式计算：
（1）； （2）；
【师生活动】：教师通过达标检测了解本节课教学目标的完成情况，学生可以发现自己本节课学习的效果，以便对不足之处及时学习。
【设计意图】：对教师检查教学目标的完成情况，学生的学习任务的完成情况起到及时反馈的目的，对后续的教和学有一定的指导意义。
【活动】十、教后反思
通过本节课的教学，自己觉得成功的地方有：
1．把数学问题“蕴藏”在活动中
导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，本节课我并不是简单的从复习旧知入手，而是把旧知识和新内容有机结合，层层深入，循序渐进的把新知识渗透在对旧知识的探索中，从而激发学生探求新知的欲望。我在教学设计时为学生提供充分探索与交流的空间，使学生经历观察，猜测、推理、交流、等活动得出多项式乘法的一种特殊形式即(a+b)(a-b)=-。
2．数于形的结合，多角度思考问题
我知道培养学生数形结合思想方法和能力的重要性，通过几何意义说明平方差方式的探究过程，学生可以切实感受到两者之间的联系，学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学证明的灵巧方法与和谐美是很有必要的。这样对于培养学生多角度的思考问题是非常有利的。
3．充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用
把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体。使他们在活动中进行规律的总结，并且通过交流练习、应用，深化了对规律的理解。学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的。新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华。在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用。通过分层巩固学生自己归纳出平方差公式的运用技巧。教学效果十分明显。
4. 平等民主，享受成功
加强师生之间的活动是必要的。在活动中，通过我的组织、引导和鼓励下，学生不断地思考和探究，并积极地进行交流，使活动有序进行，我始终以平等、欣赏、尊重的态度参与到学生活动中，营造出了一个和谐，宽松的教学环境。
同时自己在教学设计中把对知识掌握情况的反馈与学生对知识的小结有机结合，体现处处有反馈，时时有小结，这样在潜移默化中让教学目标与学习目标不断完善。
通过本节课的教学，自己觉得还有一些不妥的地方是：
1.知识的生成过程体现的还不是十分完善。在活动中，虽然引导学生掌握了平方差公式,但是对公式的结构特征还不是十分清晰。
2. 生活中的实际问题训练相对较少.如果能够增加一些学生生活当中的用平方差公式的问题，既可以加深对公式的理解，又有利于学生对数学来源于生活，服务于生活的理解。
3.合作学习的有效性还不够。 同学相互交流的时间稍短.如果再增加适量的交流时间，能够更好的发挥学生的主体作用，这样课堂会更加生动。


运用旧知
识
发现新知
验证
新知
运用
提升
多元评价
分层作业