兴文二中2023年秋期高二第三学月考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a，b的值是
A.， B.， C.， D.，
2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
A.1 B. C.3 D.4
3.已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和
A.是对立事件 B.不是互斥事件
C.互斥但不是对立事件 D．是不可能事件
4.已知是空间的一个基底,设则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是
A. B. C. D.以上都不对
5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是
A.或 B.
C.或 D.
6.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
7.方程表式的圆
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于直线对称 D.关于直线对称
8.过双曲线的左焦点,作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是
A. B.
C. D.
10.已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是
A.圆的圆心坐标是 B.圆的半径是2
C. D.ab的取值范围是
11.已知单位向量两两的夹角均为(,且),若空间向量满足,则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作,则下列命题是真命题的有
A.已知,则
B.已知,其中,则当且仅当时,向量的夹角取得最小值
C.已知,则
D.已知,则三棱锥的表面积
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某校开展“爱我家乡”演讲比赛,9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清,若记分员计算无误,则数字__________
14.直线必经过定点__________.
15.已知，，则向量与的夹角是___________.
16.已知抛物线,为坐标原点,直线与抛物线交于两点,若的重心为抛物线的焦点,则__________.
四、解答题（70分）
17.（10分）已知的三个顶点都在第一象限内，且，，，，求：
（1）直线AB的方程；
（2）直线AC和BC的方程.
18.（12分）在如图所示的四棱锥中,四边形ABCD为正方形,平面ABCD.
(1)若E为PD的中点,证明：平面ACE;
(2)若,求PD与平面ACE所成角的余弦值.
19.（12分）已知圆C与x轴相切,圆心C在直线上,且与y轴正半轴相交所得弦长为.
（1）求圆C的方程;
（2）过点的直线交圆于C,于E,F两点,且,求直线的方程.
20.（12分）新高考实行“”模式,其中“3”为语文,数学,外语这3门必选科目,“1”由考生在物理,历史2门首选科目中选择1门,“2”由考生在政治,地理,化学,生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理,再选科目为化学,生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个,求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率
（2）假设甲,乙,丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.
21.（12分）已知椭圆的左,右焦点分别为,且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于两点,记点P关于x轴对称的点为,若直线与x轴交于点D,求面积的最大值.
22.（12分）已知点F为抛物线的焦点,为E上一点,且.
(1)求抛物线E的方程.
(2)过E上动点A作圆的两条切线,分别交E于B,C（不同于点A）两点,是否存在实数t,使得直线BC与圆N相切.若存在,求出实数t的值,不存在,请说明理由.兴文二中2023年秋期高二第三学月考试
数学试题参考答案
1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C
9.ABC 10.ABCD 11.BC 12.AB
13.1 14. 15. 16.5
17（1）因为，，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为.
（2）由题意知，直线AC的倾斜角为，所以.
又直线AC过点，所以直线AC的方程为，即.
同理可知，直线BC的倾斜角为，所以.
又直线BC过点，所以直线BC的方程为，即.
18.（1）证明：连接BD,交AC于点O,连接EO,
因为O为BD中点,E为PD中点,
所以,因为平面ACE,平面ACE,所以平面ACE.
（2）如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设,又因为则,,,,
设面ACE的一个法向量为,,
则,令得：,
又因为,设PD与平面ACE所成角为,
则,
求PD与平面ACE所成角的余弦值为.
19.（1）设圆心,因为圆C与x轴的正半轴相切,
所以,圆C的半径为,因为圆C截y轴所得弦的弦长为,
所以,即,又,所以,所以圆.
（2）当直线l无斜率时,此时直线l方程为,由题知:此时直线l与圆C
截得的弦长为,不满足条件,
当直线l有斜率时,设直线方程为:,
则圆心到直线l的距离为,所以,解得,
所以直线l的方程为:或
20.（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,则所有选课组合的样本空间为,则,
设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,
则,,
所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为
（2）设甲乙丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,由题意可知,,相互独立,由（1）可得,
记N为甲乙丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得
21.(1)由椭圆的定义,可知解得
又所以椭圆C的标准方程为
(2)由题意,设直线l的方程为.设,则.
由,消去x,可得
因为,所以所以
因为,所以直线的方程为
令,可得
,所以
所以
令.
则,当且仅当即时等号成立，所以面积的最大值为
22.（1）由抛物线的定义得,所以,E的方程为.
（2）假设存在实数t,使得BC与圆N相切.
当A为坐标原点时,由BC与圆N相切得,
直线OB的方程为,由直线OB与圆N相切得, ,
解之得或,
当时,A,B,C三点重合,舍去,
下面证明当时,满足条件.
设,,
则直线的AB方程为: ,
因AB与圆相切,所以
即
同理由AC与圆相切得,
即,为方程的两根,
所以,
N到直线BC的距离为.
所以直线BC与圆N相切,
因此存在实数,使得直线BC与圆N相切.
