等差等比数列复习课
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课件35张PPT。一个传说： 国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的２倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：
由于每一个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的２倍，且共６４个格子，各个格子里的麦粒数依次是：
于是，宰相要求的麦粒总数就是
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。这个故事是我们大家都相当熟悉的。至于国王是如何解决这个难题的，知道的人可能不会多吧？
国王的处理方法很简单，他忍受不了宰相成天没完没了的讨债，就干脆下令砍掉宰相的头……抱歉，在下又在胡说八道了。那个故事的后半段如下：
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子^O^）。知识结构一般数列特殊数列已知递推关系求通项公式已知通项公式求前n项和等差数列等比数列数 列 应 用数 列数列的一般概念1、数列：
按一定次序排成的一列数叫做数列，数列中的每
一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列
的第1项（或首项），第2项，……，第n项，……
例如：
（1）2、通项公式：
数列的一般形式可以写成
其中 是数列的第n项。有时我们把上面的数列简记
作 ，如果数列 的第n项 与n之间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通
项公式，如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次
用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列
的各个项，如数列（1）的通项公式为3、递推公式 我们再来看数列（1）最初给出时的描述:
第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的２倍，也就是说：
即有：
象上面这样，如果已知数列 的第1项（或前几项），且任意项 与它的前一项（或前几项）间产关系可能用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。4、数列的分类 按项数分
有穷数列：项数有限；
无穷数列：项数无限
按 的增减性分：
递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
有界数列：
无界数列5、数列的实质：
对于数列
每一项的序号与这一项有下面的对应关系：
序号
项 用函数的观点看，数列可以看作一个定义域为正整数
集 （或它的有限子集 ）的函数当自变量
从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公
式也就是相应函数的解析式
数列可以用图象来表示，从图上看，它们是一群孤立
的点，例如上面的数列画到坐标系中依次是以下各点等差数列一、定义：
若数列 从第二项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，则数列 叫等差数列，这个常数称
为公差，记作d 二、递推公式： 三、通项公式： 四、等差中项：
若a，b，c成等差数列，则b称为a与c的等差中
项，且 即有：
a，b，c成等差数列
推广形式： 变式： 五、前n项和 六、用函数的观点看等差数列七、等差数列的一些性质（1）对于任意正整数m， n ，p ，q，如果m+n=p+q，则（2）对于任意正整数m，n，p，如果m+n=2p，则（3）若数列｛ ｝｛ ｝为等差数列，
则数列｛ ｝也是等差数列，（4）若数列｛ ｝为等差数列，则数列｛ ｝
｛ ｝｛ ｝｛ ｝｛ ｝也是等差
数列（相隔相同的距离取出的子数列仍为等差数列）（6）若数列｛ ｝为等差数列 (5)若数列｛ ｝为等差数列，数列
也是等差数列例题1、已知函数 ，
设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列 ，
求证： 为等差数列
例题2、已知数列 、 满足
证明： 成等差数列的充要条件是 成等差数列等比数列：一、定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q（q不为零）二、递推公式：三、通项公式：
推广形式：
变式：四、等比中项：若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且 即：
a，b，c成等比数列五、前n项和
说明：对此公式的运用一般先确定q是否为1，若不能确定则需要分类讨论六、用函数的观点看等比数列七、等比数列的性质：
1、数列 为等比数列2、对于任意正整数m， n ，p ，q，如果m+n=p+q，则3、对于任意正整数m，n，p，如果m+n=2p，则4、若数列 ， 为等比数列，则数列 也是等比数
列，其中5、若数列 为等比数列，则数列 ， ， ，
也是等比数列（在原数列中相隔相同的项数依次取出而
得到的子数列仍为等比数列）6、若数列 为等比数列，数列 是等比数列7、若数列 为等差数列，则数列 为等比数列8、若数列 为等比数列，则数列 为等差数列，其中例题1、等比数列 的公比为q，前n项和为
（1）若 成等差数列，
求证： 成等比数列
（2）若 成等比数列，
试问： 是否成等差数列？说明理由例题2、（2000年全国卷）
（1）已知数列 ， ，且数列
为等比数列，求常数p ；
（2）设 ， 是公比不相等的等比数列，
，证明： 不是等比数列解析：(1)本题求p的关键是 是等比数列的应用，有以下证明思路：一、利用等比的数列的充要条件得出p；二、由特殊到一般，先由前3项成等比数列，求出常数p，再证明这一常数适合于一般情形；
方法1：数列 为等比数列
要使(1)式结果是一个常数，当且仅当p=2或p=3方法2：数列 为等比数列
由题意知(2)式对于所的的正整数n均成立，即恒成立；
将(2)式整理得
要使(3)式恒成立，当且仅当p=2或p=3方法3：一般到特殊再到一般
数列 为等比数列 (由一般到特殊)
(以下再由特殊回到一般情形)检验:
当p=2时，
是等比数列
当p=3时，
是等比数列例题3、设数列 的前n项和为 ，且
（1）设 ，求证： 是等比数列；
（2）设 ，求证： 是等差数列；
（3）求2004各地高考试题数列题：
1、在等比数列 中， ，则该数列的通
项为 。
（04全国一（河南，河北，山东等地）文14） 2、等差数列 的前n项和记为 ，
已知
（1）求通项 ；
（2）若 ，求n
（04全国一（河南，河北、山东等地）文17）3、已知数列 ，
则数列 的通项为 。
（04全国一（河南，河北、山东等地）理15）4、已知数列 ， 且
（1）求
（2）求数列 的通项
（04全国一（河南，河北、山东等地）理22）
5、在等差数列 中，
（1）求数列 的通项公式
（2） ，求数列 的前n项和
（04全国二（四川、吉林等地）文17）6、数列 的前n项和记为 ，已知
证明：（1）数列 为等比数列；
（2）
（04全国二（四川、吉林等地）理19）
7、设数列 是公差不为零的等差数列， 是数列 的前n
项和， ， ，求数列 的通项公式
（04全国三（内蒙、海南，西藏、陕西等地）(老课程卷)文15）
8、已知数列 的前n项和为 满足
(1)写出数列 的前3项
(2)求数列 的通项公式
(3)证明：对于任意的整数m>4,
（04全国三（内蒙、海南，西藏、陕西等地）(老课程卷)理22）9、在等差数列 中， ，
则这个数列前20项和为
(A)160 (B)180 (C)200 (D)220
(04全国四文6） 10、已知数列 为等比数列
(1)求数列 的通项公式
(2) 是数列 的前n项和，证明：
(04全国四文18）
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的２倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：
由于每一个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的２倍，且共６４个格子，各个格子里的麦粒数依次是：
于是，宰相要求的麦粒总数就是
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。这个故事是我们大家都相当熟悉的。至于国王是如何解决这个难题的，知道的人可能不会多吧？
国王的处理方法很简单，他忍受不了宰相成天没完没了的讨债，就干脆下令砍掉宰相的头……抱歉，在下又在胡说八道了。那个故事的后半段如下：
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子^O^）。知识结构一般数列特殊数列已知递推关系求通项公式已知通项公式求前n项和等差数列等比数列数 列 应 用数 列数列的一般概念1、数列：
按一定次序排成的一列数叫做数列，数列中的每
一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列
的第1项（或首项），第2项，……，第n项，……
例如：
（1）2、通项公式：
数列的一般形式可以写成
其中 是数列的第n项。有时我们把上面的数列简记
作 ，如果数列 的第n项 与n之间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通
项公式，如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次
用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列
的各个项，如数列（1）的通项公式为3、递推公式 我们再来看数列（1）最初给出时的描述:
第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的２倍，也就是说：
即有：
象上面这样，如果已知数列 的第1项（或前几项），且任意项 与它的前一项（或前几项）间产关系可能用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。4、数列的分类 按项数分
有穷数列：项数有限；
无穷数列：项数无限
按 的增减性分：
递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
有界数列：
无界数列5、数列的实质：
对于数列
每一项的序号与这一项有下面的对应关系：
序号
项 用函数的观点看，数列可以看作一个定义域为正整数
集 （或它的有限子集 ）的函数当自变量
从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公
式也就是相应函数的解析式
数列可以用图象来表示，从图上看，它们是一群孤立
的点，例如上面的数列画到坐标系中依次是以下各点等差数列一、定义：
若数列 从第二项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，则数列 叫等差数列，这个常数称
为公差，记作d 二、递推公式： 三、通项公式： 四、等差中项：
若a，b，c成等差数列，则b称为a与c的等差中
项，且 即有：
a，b，c成等差数列
推广形式： 变式： 五、前n项和 六、用函数的观点看等差数列七、等差数列的一些性质（1）对于任意正整数m， n ，p ，q，如果m+n=p+q，则（2）对于任意正整数m，n，p，如果m+n=2p，则（3）若数列｛ ｝｛ ｝为等差数列，
则数列｛ ｝也是等差数列，（4）若数列｛ ｝为等差数列，则数列｛ ｝
｛ ｝｛ ｝｛ ｝｛ ｝也是等差
数列（相隔相同的距离取出的子数列仍为等差数列）（6）若数列｛ ｝为等差数列 (5)若数列｛ ｝为等差数列，数列
也是等差数列例题1、已知函数 ，
设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列 ，
求证： 为等差数列
例题2、已知数列 、 满足
证明： 成等差数列的充要条件是 成等差数列等比数列：一、定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q（q不为零）二、递推公式：三、通项公式：
推广形式：
变式：四、等比中项：若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且 即：
a，b，c成等比数列五、前n项和
说明：对此公式的运用一般先确定q是否为1，若不能确定则需要分类讨论六、用函数的观点看等比数列七、等比数列的性质：
1、数列 为等比数列2、对于任意正整数m， n ，p ，q，如果m+n=p+q，则3、对于任意正整数m，n，p，如果m+n=2p，则4、若数列 ， 为等比数列，则数列 也是等比数
列，其中5、若数列 为等比数列，则数列 ， ， ，
也是等比数列（在原数列中相隔相同的项数依次取出而
得到的子数列仍为等比数列）6、若数列 为等比数列，数列 是等比数列7、若数列 为等差数列，则数列 为等比数列8、若数列 为等比数列，则数列 为等差数列，其中例题1、等比数列 的公比为q，前n项和为
（1）若 成等差数列，
求证： 成等比数列
（2）若 成等比数列，
试问： 是否成等差数列？说明理由例题2、（2000年全国卷）
（1）已知数列 ， ，且数列
为等比数列，求常数p ；
（2）设 ， 是公比不相等的等比数列，
，证明： 不是等比数列解析：(1)本题求p的关键是 是等比数列的应用，有以下证明思路：一、利用等比的数列的充要条件得出p；二、由特殊到一般，先由前3项成等比数列，求出常数p，再证明这一常数适合于一般情形；
方法1：数列 为等比数列
要使(1)式结果是一个常数，当且仅当p=2或p=3方法2：数列 为等比数列
由题意知(2)式对于所的的正整数n均成立，即恒成立；
将(2)式整理得
要使(3)式恒成立，当且仅当p=2或p=3方法3：一般到特殊再到一般
数列 为等比数列 (由一般到特殊)
(以下再由特殊回到一般情形)检验:
当p=2时，
是等比数列
当p=3时，
是等比数列例题3、设数列 的前n项和为 ，且
（1）设 ，求证： 是等比数列；
（2）设 ，求证： 是等差数列；
（3）求2004各地高考试题数列题：
1、在等比数列 中， ，则该数列的通
项为 。
（04全国一（河南，河北，山东等地）文14） 2、等差数列 的前n项和记为 ，
已知
（1）求通项 ；
（2）若 ，求n
（04全国一（河南，河北、山东等地）文17）3、已知数列 ，
则数列 的通项为 。
（04全国一（河南，河北、山东等地）理15）4、已知数列 ， 且
（1）求
（2）求数列 的通项
（04全国一（河南，河北、山东等地）理22）
5、在等差数列 中，
（1）求数列 的通项公式
（2） ，求数列 的前n项和
（04全国二（四川、吉林等地）文17）6、数列 的前n项和记为 ，已知
证明：（1）数列 为等比数列；
（2）
（04全国二（四川、吉林等地）理19）
7、设数列 是公差不为零的等差数列， 是数列 的前n
项和， ， ，求数列 的通项公式
（04全国三（内蒙、海南，西藏、陕西等地）(老课程卷)文15）
8、已知数列 的前n项和为 满足
(1)写出数列 的前3项
(2)求数列 的通项公式
(3)证明：对于任意的整数m>4,
（04全国三（内蒙、海南，西藏、陕西等地）(老课程卷)理22）9、在等差数列 中， ，
则这个数列前20项和为
(A)160 (B)180 (C)200 (D)220
(04全国四文6） 10、已知数列 为等比数列
(1)求数列 的通项公式
(2) 是数列 的前n项和，证明：
(04全国四文18）