16.1 分式
【课前预习】
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【课堂互动】
【题型1 分式的概念辨析】
【例1】在中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解∶分式有，共3个．
故选：B
【训练1-1】若是分式，则□不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是分式，
∴分母中含字母，
而是一个常量，
故选项A不满足．
故选：A．
【训练1-2】对于代数式①，②来说，有下列说法，正确的是（ ）
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
【答案】B
解：①是分式，②是整式不是分式，
故选：B．
【训练1-3】下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
，
整式{ _______…}；
分式{________…}．
【答案】 ，， ，，，，，，
解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，，，，，的分母中含有字母，因此是分式．
故答案为：，，；，，，，，，．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：A、分母故选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母为零，故选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母为零故选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母为零故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【训练2-1】当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
解：当，，
∵分式没有意义，
∴，
∴，
故选：B．
【训练2-2】要使分式有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
解：，
，
，
，
分式有意义，的取值范围，
故选：D．
【训练2-3】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．
【答案】
【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，
∴x2+1≠0，
∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
故答案为：（答案不唯一）．
【题型3 分式值为零的条件】
【例3】若分式的值为零，则______．
【答案】-2
解：根据题意，得
，且、；
解得；
故答案是：．
【训练3-1】若分式的值为零，则x的值为________．
【答案】
解；根据分式的值为零的条件得：，且，
解得：，
故答案为：．
【训练3-2】分式的值为0，则x、y满足的条件为______．
【答案】且
解：∵，
∴，
解得且．
故答案为：且．
【训练3-3】若分式的值为0，则x的值为 _____．
【答案】1
解：∵分式的值为0，
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，
则x﹣2＝﹣1．则x＝1
故答案为：1．
【题型4 分式的求值】
【例4】已知，则_____．
【答案】
【详解】设，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即，
故答案为：．
【训练4-1】已知，则的值______．
【答案】为-1或3
【详解】∵，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【训练4-2】阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，，所以，即.
所以.所以.
该题的解法叫做“倒数法”．
已知：
请你利用“倒数法”求的值．求的值．
【答案】；
【详解】解：∵，且x≠0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
【训练4-3】若，．则的值为______
【答案】
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式====
故答案为：
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
【例5】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞ 4且x≠0．
故选：D．
【训练5-1】使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
【答案】C
【详解】∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【训练5-2】若分式的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
【答案】x＞-1
【详解】∵
而x-1≠0
∴
∵分式的值大于零
∴x+1＞0
x＞-1
故答案为：x＞-1
【训练5-3】若分式的值是负数，则的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．且 D．或
【答案】D
【详解】∵是负数，
∴或
∴或.
故选D.
【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】
【例6】若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
解：∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【训练6-1】若为整数，则能使的值也为整数的是______．
【答案】或或
解：，且，
若m为整数，的值也为整数，
则，，且，
解得：或或，
故答案为：或或．
【训练6-2】已知，则满足k为整数的所有自然数x的值 __________ ．
【答案】0，1，4．
解：∵，
∴当2x-1=1或2x-1=-1或2x-1=7或2x-1=-7时，k为整数，
解得：x=1或x=0或x=4或x=-3，
∵x 为自然数，
∴x=0，1或4，
故答案为：0，1，4．
【训练6-3】阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数．
（1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______．
【答案】 2 -3
解：(1)∵，
又∵的值是整数，
∴a+3=±1或±5，
∴a=-2或-4或2或-8，
∴a的正整数值为2；
（2）∵，
又∵的值是整数，
∴x-4=±1或±7，
∴x=5或3或11或-3，
∴x的负整数值为-3，
故答案为：（1）2；（2）-3．
【题型7 分式的规律性问题】
【例7】若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是，已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，……，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，则称为a的“友好数”，，
该数列每4个数为一个循环周期，
故选：A．
【训练7-1】给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【答案】
解：观察分式，，，，…，可以得出
分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为，
故第6个分式为，第n（n为正整数）个分式为：．
故答案为：，．
【训练7-2】如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝_____．
【答案】2012.5
【详解】试题分析：由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f（）＝1，根据这个规律即可求得结果.
由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）
＝+1+1+1…＋1＝2012.5．
【训练7-3】已知，·……，(即当为大于的奇数时，；当为大于的偶数时，），按此规律，_______________________．
【答案】
【详解】解：S1＝，
S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，
S3＝＝﹣，
S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，
S5＝＝﹣（a+1），
S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
S7＝＝，
…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2020＝336×6+4，
∴S2020＝S4＝﹣
故答案为：﹣
【题型8 分式的基本性质】
【例8】下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【详解】因为，
所以A错误；
因为，
所以B、C都错误；
因为，
所以D正确；
故选D．
【训练8-1】将的分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【训练8-2】若把分式（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的
【答案】B
解：由题意得：＝，
∴若把分式（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的 ，
故选：B．
【训练8-3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．
故选D．
【题型9 约分与通分】
【例9】关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】解：A、＝ ，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、＝ ，故本选项错误；
D、﹣＝1，故本选项正确；
故选D．
【训练9-1】分式 ， ，的最简公分母是_____________________
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【详解】解：分式 ， ，的分母依次为：，，
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【训练9-2】化简下列分式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）==；
（2）解：==；
（3）解：＝=；
（4）解：==．
【训练9-3】将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故==，
==；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故==，
==，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故==
==，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故，
．
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】已知三个正数，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．－1 D．1
【答案】D
【详解】解：∵，
∴
．
故选：D
【训练10-1】已知，________．
【答案】##-0.125
解：∵，
∴，
故答案为：．
【训练10-2】已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？
【答案】
【分析】根据，得出，也即，同理可得出，，继而得出，通分可得到，倒过来即是.
【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴.
【训练10-3】已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
【答案】
解：由，，，，，，可将每个等式的左右两边相乘得：
，
∴，
，
∴，
同理可得：，，，，，
∴；
故答案为．16.1 分式
【课前预习】
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【课堂互动】
【题型1 分式的概念辨析】
【例1】在中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【训练1-1】若是分式，则□不可以是（ ）
A． B． C． D．
【训练1-2】对于代数式①，②来说，有下列说法，正确的是（ ）
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
【训练1-3】下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
，
整式{ _______…}；
分式{________…}．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【训练2-1】当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【训练2-2】要使分式有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【训练2-3】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．
【题型3 分式值为零的条件】
【例3】若分式的值为零，则______．
【训练3-1】若分式的值为零，则x的值为________．
【训练3-2】分式的值为0，则x、y满足的条件为______．
【训练3-3】若分式的值为0，则x的值为 _____．
【题型4 分式的求值】
【例4】已知，则_____．
【训练4-1】已知，则的值______．
【训练4-2】阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，，所以，即.
所以.所以.
该题的解法叫做“倒数法”．
已知：
请你利用“倒数法”求的值．求的值．
【训练4-3】若，．则的值为______
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
【例5】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【训练5-1】使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
【训练5-2】若分式的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
【训练5-3】若分式的值是负数，则的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．且 D．或
【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】
【例6】若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【训练6-1】若为整数，则能使的值也为整数的是______．
【训练6-2】已知，则满足k为整数的所有自然数x的值 __________ ．
【训练6-3】阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数．
（1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______．
【题型7 分式的规律性问题】
【例7】若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是，已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，……，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【训练7-1】给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【训练7-2】如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝_____．
【训练7-3】已知，·……，(即当为大于的奇数时，；当为大于的偶数时，），按此规律，_______________________．
【题型8 分式的基本性质】
【例8】下列运算正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【训练8-1】将的分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【训练8-2】若把分式（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的
【训练8-3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A． B． C． D．
【题型9 约分与通分】
【例9】关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
【训练9-1】分式 ， ，的最简公分母是_____________________
【训练9-2】化简下列分式
(1)
(2)
(3)
(4)
【训练9-3】将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】已知三个正数，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．－1 D．1
【训练10-1】已知，________．
【训练10-2】已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？
【训练10-3】已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
