2023 年云学名校联盟高二年级 12 月联考
数学试卷
考试时间：2023 年 12 月 21 日 14:30-16:30 时长:120 分钟 满分:150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求．
2 2
1 y x．已知双曲线 1的渐近线方程为 y 2x，则实数m
16 m
A． 4 B．8 C．32 D．64
2．已知 l、m、n是不同的直线， 、 、 是不同的平面，则 l //m的一个充分条件是
A． l // ，m B． l // ，m // ， //
C． l， m， n D． l ， ， ， m
3．已知点 A(1,2)、 B(0, 3)，若经过点M ( 1,0)的直线 l与线段 AB有公共点，则直线 l的倾
斜角的取值范围为
A , 2 B 5 ． ． 0, ,
4 3 4 6
C 2 2 ．
0,
4
, D． , , 3 4 2 2 3
4．我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加，常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出．能
源安全成为我国必须解决的战略问题．发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构，
保障能源安全，保护环境，走可持续发展之路．为响应国家号召，甲、乙两公司在某小区
设置电动汽车充电桩．某一天，甲公司设置的 10组充电桩被使用的平均时间为 a，方差为
2 12；乙公司设置的 30组充电桩被使用的平均时间为b，方差为 .若 a b，则该小区这 40
5
组充电桩被使用时间的方差为
A 11 B 23 C 23 11． ． ． D．
5 10 20 10
5．下列有关事件与概率的说法错误的是
A．若 A B，则 P A P B B．若 P AB P A P B ，则 A与 B不独立
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C．若 A与 B对立，则 A与 B互斥 D．若 P A 1 P B ，则 A与B对立
6．已知O(0，0)，A( 3，0)，直线 l : y kx上存在点 P，且点 P关于直线 l : y x的对称点 P 满
足 P O 2 P A，则实数 k的取值范围是
A． ( , 3] [ 3, ) B．[ 3, 3]
3 3 C , D , 3
3
． ． ,
3 3
3 3
2
7 A F x y
2
．已知 、 分别为椭圆 2 1(a b 0)的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点a b2
对称的点，若直线CF平分线段 AB ,则椭圆的离心率为
A 1． B 3 C 15 2 6． ． D．
3 2 4 5
8．如图所示，两个不同的平面 、 ， A、B两点在两平面的交线上， AB 18，以 AB为直
径的圆C1在平面 内，以 AB为长轴，F、F 为焦点的椭圆C2在平面 内.过圆C1上一点P
向平面 作垂线，垂足为H，已知HF HF，且 HFF .若射线 FH 与椭圆相交于点Q，
6
且 FH FQ，在平面 内，以点H为圆心，半径为 4的圆经过点Q，且圆H与直线 AB相
切.则平面 、 所成的角的余弦值为
A 2 66 4 69． B．
33 69
C 2 78 D 2． ．
39 3
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．全部选对的得 5 分，选对但不全的得
2分，有选错的得 0 分．
9．已知圆O : x2 y2 1和圆C : x2 y2 4x 0相交于 A,B两点，则下列结论正确的是
A 15．两圆的公共弦 AB的长为 B．四边形OACB的面积为 15
2
C ．两圆的公切线相交于点（ 2，0） D．两圆的公切线相交所成角的大小为
3
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10．设甲袋中有 2个红球和 1个白球，乙袋中有 1个红球和 2个白球，现从甲袋中任取 1球
放入乙袋，再从乙袋中任取 1球，记事件 A＝“从甲袋中任取 1球是红球”，记事件 B＝
“从乙袋中任取 1球是白球”，则
2 7 1 1
A． P A B． P B C． P AB D． P AB
3 12 12 4
11．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是棱 A1B1、BC上的动点，且
A1E BF，则下列说法正确的是`
A EF CD ． 与 的夹角取值范围是 ， 4 2
B．平面C1EF与正方体 ABCD A1B1C1D1的截面为梯形
C．三棱锥C1 EFD1 的体积为定值
D 29．当 E、F分别是棱 A1B1、BC的中点时，三棱锥C1 EFB1 的外接球的表面积为 4
12．已知曲线C : x2 cos y2 1，其中 0, ，则下列结论正确的是
A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B ．若 ，则曲线的焦点坐标为 1，0 和 1，0
3
C ,
3 1 2
．若 ，则曲线的离心率 e , 6 3 2 2
D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为 2 2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．直线 l 经过点 P(3,6) ，且与圆 C : x2 y2 2x 4y 1 0 相切，则直线 l 的方程
为 ；
14．已知直线 l的方向向量为 u （1, 2,2），则向量 a (-1，1，2)在直线 l上的投影向量的坐标
为 ；
15．如图，直线 AB在平面 内，点C在平面 外，直线 AB与 AC的
夹角为
，直线 AC与平面 所成的角为 ．若平面 ABC与平面
2
7所成角的大小为 ，且 cos ，则 cos 的值为 ；4
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16．过焦点为 F的抛物线 y2 4x上一点 A作其准线的垂线，垂足为 B，直线 BF与抛物线相
交于C、D两点，当 BC CD时，三角形 ABF的面积为 ．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
已知直线 l1 :mx y 1 0，直线 l2 : 2x ny 4 0，其中m,n R .
(1)若直线 l1经过点 (1，2)，且 l1 l2 ，求m,n；
(2)若直线 l1 // l2，当 l1与 l2 之间的距离取最大值时，求直线 l1的方程.
18．(本小题满分 12 分)
2023年 9月 3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 78周年纪念日，某市宣传
部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了 50人，统计
了他们的竞赛成绩m 50 m 100 ，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中 x的值；
(2)求这 50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数；
(3)若成绩不低于 80分的评为“优秀市民”，从这 50名市民中的“优秀市民”中任选两名
参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得 90分以上的概率.
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19．(本小题满分 12 分)
如图，等腰梯形 ABCD中，AD // BC，AB BC CD 2，AD 4，现以 AC为折痕把 ABC
折起，使点 B到达点 P的位置，且 PA CD．
(1)证明：平面 PAC 平面 ACD；
(2)M 为 PD 2 5上的一点，若平面 ACM 与平面 ACD的夹角的余弦值为 ，求点 P到平面
5
ACM 的距离.
20．(本小题满分 12 分)
已知曲线C1上的点 P(x, y)到直线 l : x 4的距离是点 P到点 F (1,0)的距离的 2倍，曲线C2是
顶点为原点，焦点为 F 的抛物线.
(1)求曲线C1、C2的方程；
(2)经过点 F 的直线 l ，与曲线C1相交于 A、B两点，与曲线C2相交于M、N 两点，若
MN 2 AB ，求直线 l 的方程.
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21．(本小题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， M、N 分别是 AA1、BB1 的中点，
BB1 2AB 2.
(1)在平面MBC内找一点P，使得直线PA1 //平面MNC，并说明理由；
(2)若二面角C A1B1 B 的大小为 ，求直线BC与平面MBC所成角的正弦值．4 1
22． (本小题满分 12 分)
双曲线的左右焦点为 F1 ( c,0)，F2 (c,0) ,实轴长为 6，点 P在双曲线的右支上,直线 PF1交双
曲线于另一点Q ,满足 PF2 F1F2 ,且 PQF2的周长为 32.
(1)求双曲线的标准方程；
G(9(2)过点 ,1)作直线 l与双曲线的右支相交于M、N 两点，在线段MN 上取点 H，满足
5
MG MH
，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明
GN HN
理由.
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数学评分细则
一、二 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B D A A C ACD ABD ACD BCD
三、填空题
13． x 3或3x 4y 15 0 14 1 2 2 ．（ ， ，）
9 9 9
15 3． 16．18 2
5
四、解答题
17．解：（1）因为直线 经过点(1,2),将点(1,2)带入直线 的方程可得
,解得 , …………2分
又因为 ,
所以 2 ,解得 . …………4分
综上所述， ， . …………5分
（2）根据题意，直线 过定点 A(0,1), 直线 过定点 B(2,0). …………6分
因为 ,所以 与 之间的距离
当 时， 与 之间的距离取得最大值. …………8分
此时 ,
又因为直线 的斜率 ，直线 的斜率为 ,
所以 ,解得 ， …………9分
所以直线 的方程为 . …………10 分
题目简单评分标准很细，严格按评分标准给分。
18．解：（1）由频率分布直方图可知：
0.004 10 10x 0.04 10 0.016 10 0.008 10 1
∴ x 0.032 …………2分
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n
（2）由 x xi pi 得：
i 1
x 0.04 55 0.32 65 0.4 75 0.16 85 0.08 95 74.2 …………4分
设市民竞赛成绩的上四分位数为 a，则
0.08 0.16 0.25, 0.08 0.16 0.4 0.25
∴70 a 80
∴ (80 a) 0.04 0.08 0.16 0.25
∴ a 79.75 …………7分
（3）由频率分布直方图可知：50 名市民中有“优秀市民”12 人，其中 8人成绩在不高于 90
分，记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 ，有 4 人成绩在 90 分以上，记为 B1 ,B2 ,B3 ,B4 .从“优秀
市民”中任选两名参加座谈会， 用集合{m,n}表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样
本空间为
{{m,n} | m,n {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 ,B1 ,B2 ,B3 ,B4}}，
其中 n ( ) 66 …………9分
事件M “两名市民至少有一人获得 90 分以上”，则
M {{m,n} | m,n {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8}}，其中 n (M ) 28…………10 分
P(M ) 1 n(M ) 28 19∴ 1 …………12 分
n( ) 66 33
本题没有其他解题方法，评分标准很细，严格按照评分标准给分。
P(M ) 38 19
第三问如果学生没有过程只有概率结果 66 33，建议扣一分
19．（1）在梯形 ABCD中，取 AD的中点 N ，连接CN
BC // AD , BC AN 1 AD , 四边形 ABCN 为平行四边形， AB CN ，
2
1
CN AD , CD AC …………2分
2
PA CD , PA AC A , PA , AC 平面 PAC , CD 平面 PAC ,
CD 平面 ACD,∴平面 PAC 平面 ACD . …………4分
（2）分别取 AC, AD中点O,连接 PO, PA PC ,O为 AC中点, PO AC,
又平面 PAC 平面 ACD,平面 PAC 平面 ACD AC ,PO 平面 PAC ,
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PO 平面 ACD, O,N 分别为 AC, AD中点， ON //CD, ON 平面 PAC ,
则以O为坐标原点,OA,ON ,OP正方向为 X ,Y ,Z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1), A( 3 ,0,0), C( 3 ,0,0), D( 3 ,2,0), ………6分
DP ( 3 , 2,1), AC ( 2 3 ,0,0), CD (0,2,0), AD ( 2 3 ,2,0), PA ( 3 ,0, 1),
设DM DP ( 3 , 2 , ) (0 1) ,则 AM AD DM ( 3 2 3,2 2 , ),
设平面 ACM 的法向量 n (X ,Y ,Z ), n (0, ,2 2) …………8分
2 5
∵平面 ACM 与平面 ACD夹角的余弦值为 ,又平面 ACD的一个法向量m (0,0,1)
5 ，
m n 2 2
cos m,n 2 5 , 1 ………10 分
m n 5 2 8 4 5 2
PA n
∴点 P到平面 ACM 的距离 d 2 5= n = ………12 分5
（2）另：以 C点建系：则 A(2 3,0,0)，D(0, 2,0),P( 3,0,1),PD ( 3,2, 1) ………6 分
令 PM PD且0 1, CM ( 3 3 , 2 ,1 ) …………8分
可得平面 ACM 的法向量 n (0,1 , 2 )，平面 ACD的法向量m (0,0,1)，有：
-2
= 2 5 ， = 1 则 M为中点 ………10 分
（1- ）2+（-2 ）2 5 2 ，
AP n
n (0, 1 , -1)则 AP ( 3,0,1) d 2 5 ………12分
2 n 5
20．解：（1）记点 P到直线 l的距离为d，由题知 d 2 PF
2 2
x 4 2 x 1 2所以 y2 x y，化简为 1. …………4分
4 3
2 2
∴C x y 21 : 1 C4 3 2
: y 4x …………5分
，
（2）由题意可知，直线 l 的斜率不为 0
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2 2
设直线 l : x ty 1，由曲线C1 :
x y
1,联立方程有
4 3
4 3t 2 y2 6ty 9 0
y
6t
1
y2 4 3t 2 2
所以 AB 1 t 2 y y
12 1 t
1 2 2 . …………8分
y y 9 4 3t 1 2 4 3t 2
联立直线 l : x ty 1与曲线C2 : y
2 4x，有 y2 4ty 4 0
y3 y4 4t
所以 MN 1 t 2 y y 4 1 t 23 4 …………10 分
y3y4 4
MN 2 AB 4 1 t 2 2 12 1 t
2 t 2 2又 所以 2 解得 即 t 6 4 3t 3 3
6 6
所以直线 l 的方程为 x y 1或 x y 1 . …………12 分
3 3
另解：当斜率不存在时，代入计算不符题意
x2 y2
当斜率存在时，设直线 l : 由曲线C1 : 1,联立方程有4 3
得 所以 ………8 分
联立直线 与曲线C2 : y
2 4x，有
所以 …………10 分
又 MN 2 AB 所以 解得
所以直线 l 的方程为 …………12 分
21．解：（1）延长 BM 、B1A1 交于点 P，
点M , N 为 AA1 , BB1的中点，
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MA1 // NB1，MA1 NB1即四边形MA1B1N是平行四边形 …………3分
A1B1 //MN …………4分
BM B1A1 P , P B1A1
PA1 //MN， 又 MN 平面MNC , A1B1 平面MNC
PA1 //平面MNC …………5分
故在平面 MBC 内可以找一点 P (P BM B1A1 )，使得直线 PA1 //平面 MNC .（点 P不唯
一） …………6分
（2）如图所示，连接CB1 z
∵ AB BC， AB BB1，BC BB B B C1
∴ AB 平面BCC1B1即 A1B1 平面BCC1B A1 N
∴ AB B1C M
B1 C
y
1
∴ CB1B是二面角C A1B1 B的平面角，
A1
即 tan CB B
BC
1 1BB P1 x
∴ BB1 BC …………8分
以 B1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
B ( 0 , 0 , 2), C ( 0 , 2 , 2), M (1, 0 , 1) B1 ( 0 , 0 , 0 )
∴ BC (0, 2, 0)， B1M (1, 0, 1)，B1C (0, 2, 2)
设平面MB1C的法向量为 n ( x , y , z )，则
n B M ，∴令 x 1，可取 x z 0 n (1, 1, 1) …………10 分
1
n B1C 2y 2z 0
设直线 BC与平面MB1C所成角为 ，
则 sin | cos BC,n | |
BC n | 2 3 ，
| BC | | n | 2 3 3
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BC MB C 3∴直线 与平面 1 所成角的正弦值为 …………12 分3
第一问:延长 BC 至点 G使 BC=CG，延长 B1A1 至点 H 使 B1A1=A1H，则直线 GH 上任意一点都可
以是点 P。第一问找出 p 点没有证明的扣一分，把图形补成长方体，之后找的 p 点，参照参
考答案给分，第二问就按参考答案给分。
22．解：（1）由 PF2 F1F2 2c，
则 PF1 2c 6， PQ 2c 6 QF1 ， QF2 QF1 6 …………2分
所以有 2c 6 QF1 2c QF1 6 32
解得， c 5
x2 y2
所以双曲线的标准方程为 1 …………4分
9 16
MG MH
(2)因为 ，
GN HN
设MG GN，则MH HN
2 2 2 2
设M (x1, y1)， N (x , y ) H (x, y)
x1 y x y
2 2 ， ，则有
1 1， 2 2 1
9 16 9 16
MG GN 9 9由 ，得 x ,1 y 1 x5 2
, y2 1
5
9 9 x 1
x2 9
x1 (x2 )
1 5
即 5 5 ， 可化为 …………7分
1 y (y 1)
y1 y2
1 2 1 1
由MH HN，得 (x x1, y y1) (x2 x, y2 y)
x1 x2
x x1 (x2 x)
x
1
即 ，可化为 …………9分
y y1 (y2 y)
y1 y2
y 1
x2 2 2 2 2 2
所以 1
x2 9 x y1 y2 ，
2
1 5 1 2
y
1 x 1 y 1 x
2 y2 2 2
所以 1 1
2 x2 y2
5 16 1 2
1 …………11 分
9 16 9 16
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即16x 5y 80 0
所以点H在定直线16x 5y 80 0上. …………12 分
此题用常规方法运算很复杂，设 H（x0,y0）、M（x1,y1）、N（x2,y2），如果联立方程韦达定理正
18 x 90 x
0 x1 x2 2x1x2 0或
确，到这可得 6分，把比值关系转化为： 5 5 ，到这可得 7 分，
2y0 y0 1 y1 y2 2y1y2 0
y 1
最后再结合 k 0l 9 ，消去 k ,可得答案，12 分x0 5
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