黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·香坊期中）复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·香坊期中）若 a∈R ，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高三上·香坊期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·香坊期中）若，，，则实数，，之间有大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·香坊期中）已知等差数列的前项和为，公差为2，且、、成等比数列，则（ ）
A． B．5 C． D．20
6．（2023高三上·香坊期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·香坊期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·香坊期中）设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·香坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数在上为减函数，则的值为1
C．图象关于点成中心对称
D．若，则的最大值是
10．（2023高三上·香坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．若为第一象限角，则为第一或第三象限角
B．函数是偶函数，则的一个可能值为
C．是函数的一条对称轴
D．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
11．（2023高三上·香坊期中）已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数 D．函数有6个零点
12．（2020高一下·东莞期末）已知点O为 所在平面内一点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线 必过 边的中点
C．
D．若 ，且 ，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高三上·香坊期中）如图，点，，，均在正方形网格的格点上.若（，），则 .
14．（2023高三上·香坊期中）已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
15．（2023高三上·香坊期中）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
16．（2023高三上·香坊期中）在锐角中角、、的对边分别为、、，记，，若，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·香坊期中）已知函数.
（1）求函数的单调减区间以及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值.
18．（2023高三上·香坊期中）如图，在长方体中，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2023高三上·香坊期中）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（2023高三上·香坊期中）在中，，.
（1）求；
（2）求的最大值.
21．（2023高三上·香坊期中）已知数列的前项和为满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2023高三上·香坊期中）已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以 复数的虚部是 .
故答案为：C.
【分析】利用复数除法法则计算，再结合复数的定义即可求解.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意，若复数z=a2-4+(a+2)i为纯虚数，
则满足，解得a=2，
所以“a=2”是复数“z=-4+(a+2)i”为纯虚数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以，，
所以 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】 求对数函数的定义域得出集合A，解不等式求出集合B，根据补集和交集的运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为 ，所以，
又，即，
所以.
故答案为：B
【分析】判断三个数a，b，c与0，1的大小，即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：因为 、、成等比数列，
所以，得，解得，
所以.
故答案为： C .
【分析】直接根据 、、成等比数列 ，可得，求出，再利用等差数列的前n项和即可求解.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】解：因为 ，所以，两边平方得，
即，即，所以.
故答案为： .
【分析】首先利用诱导公式将 ，化简得，再两边平方结合二倍角公式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，所以，所以 ，
又因为B、P、D三点共线，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，再根据三点共线即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：解：由题意，设等比数列的公比为q，
由 ，可得，
因为，
所以，
解得，或，
所以，
当时，，
当q=2时，，
所以或
故答案为：D.
【分析】先设等比数列 的公比为q，根据已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，进而可求得 的值.
9．【答案】B,D
【知识点】命题的否定；幂函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，命题“，"的否定是“ ， ”，A错误；
对于B，因为 是幂函数，
所以，解得m=1或m=2，
又因为y=f(x)在上为减函数，所以，，综上所述，m=1，B正确；
对于C，f，
所以f(x)的图象是由的图象向左平移2个单位，再关于y轴对称后向上平移1个单位，
所以y=f(x)的对称中心为(-2，1)，C错误；
对于D，因为，
当且仅当，即x=2时，等号成立，
D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A， 由全称命题的否定为特称命题即可判断；
对于B，由幂函数的性质求解即可；
对于C，由题意可得，再由图象的平移变换即可判断；
对于D，由利用基本不等式即可判断.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；余弦函数的性质；象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解： 对于A：若α为第一象限角，则，k∈ Z，
则：，k∈Z，所以为第一或第三象限角，A正确；
对于B：函数是偶函数，若φ的一个可能值为，
当时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，函数为奇函数，B错误；
对于C：，所以是函数 的一条对称轴，C正确；
对于D：扇形圆心角为，半径为1 cm，则该扇形的弧长为 cm，D错误．
故答案为：AC.
【分析】直接利用象限角，弧长公式，正弦型函数的性质，余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数f(x)对，都有f(x+2)=-f(x)
且函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，
当时，，
对都有f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期函数，周期为4，
函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得函数f(x)的图象，
又函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是R上的奇函数，
当时，，即函数f(x)在(0，1]上递增，在[-1，0)上单调递增，
因为，f(x)在[-1，1]上单调递增，
由f(x+2)=-f(x)得：f(x+2)=f(-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=1对称，函数f(x)在[1，2]上递减，
对于A，f(2022)=f(5054+2)=f(2)=-f(0)=0，A正确；
对于B，因为函数f(x)在[-1，1]上单调递增，函数f(x)的周期为4，
所以f(x)在(3，5)上单调递增，B正确；
对于C，因为f(-1)=-f(1)=-1，f(-1)≠f(1)函数f(x)不是R上的偶函数，C错误；
对于D，函数y=f(x)-|lgx|的零点，即函数y=f(x)与y=llgxl图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=llgx|的部分图象，如图，
因为函数y=f(x)的最大值为1，而当x>10时，lgx>1，
所以函数y=f(x)与y=llgx|图象的交点在(0，10) 内，
观察图象知，函数y=f(x)与y=llgx|图象在(0，10)内只有6个交点，
所以函数y=f(x)-|x|有6个零点，D正确.
故答案为：AD.
【分析】 根据给定条件，分析函数的性质，结合指定区间上的解析式，逐项分析计算、判断作答.
12．【答案】A,C,D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的线性运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，点O为 所在平面内一点，且 ，
可得 ，即 ，
即 ，所以 ，所以A是正确的；
在 中，设 为 的中点，
由 ，可得 ，
所以 ，所以直线 不过 边的中点，所以B不正确；
由 ，可得 且 ，
所以 ，所以 ，可得 ，所以
所以 ，所以C符合题意；
由 ，可得
因为 ，且 ，
可得 ，
所以 ，所以D是正确的.
故答案为：ACD.
【分析】 运用向量的加法计算公式可得正确，设BC中点为G，只需证明向量OG与向量OA是否共线，就可确定B选项是否正确，如图延长OB到D，使得BD=OB，延长OC到E，使得CE=2OC，即可分析出S：S的值，分别以OA，OC为边做平行四边形OAHC，以OB，OC为边做平行四边形OBMC，结合三角形的结合计算关系，在△AOH中，利用余弦定理可解出|OA|.
13．【答案】
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：根据题意，结合向量加法的平行四边形法则分解向量，如图
所以，
所以，
所以 .
故答案为：.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分解即可得答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：记，则，g'(x)=[f(x)+(x)]，
因为f(x)+f'(x)>0，所以g'(x)>0，g(x)在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】构造函数，利用已知判断其单调性，结合求解可得.
15．【答案】2024
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：，其中是等差数列，
则(常数)，故，
所以数列为等比数列，
则.
故答案为：2024.
【分析】 根据已知条件， 结合等差数列、等比数列的性质，即可求解.
16．【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以，
又因为，
所以，即.
所以.
故答案为：4.
【分析】根据余弦定理和数量积的坐标表示可得，然后对目标式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边可得.
17．【答案】（1）解：，
由，解得，减区间为，
又，所以，
由正弦函数性质知.，.
（2）解：由题意，而，所以，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得单调区间和最值；
(2)由(1)得，确定的范围，求出，再由两角差的余弦公式计算.
18．【答案】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，，平面，因此平面.
（2）解：如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，则，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据线面垂直的性质及判断定理，即可证明平面；
(2)建立空间直角坐标系，求出坐标，写出向量，求得平面的法向量，求得法向量的夹角，即平面与平面夹角的余弦值 .
19．【答案】（1）解：由题意，，在等差数列中，设公差为，
由，得，则，
又，，成等比数列，7，，成等比数列，
得，即，得，
，，数列的通项公式为：.
（2）解：由题意及（1）得，，在数列中，，
在数列中，，，
，，
两式相减得.
.
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】 (1)设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差d，即可得到数列的通项公式；
(2)表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
20．【答案】（1）解：由正弦定理可得，由于，所以，
故，
化简得，由于，所以，
由于为三角形的内角，所以.
（2）解：由正弦定理可得，所以，，
故，其中，
故当时，取最大值1，故的最大值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将边化成角，再结合正弦的和角公式即可求解；
（2）由正弦定理得，进而可得，，再将化为，利用，消去C，再利用辅助角公式即可求解.
21．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即，
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）解：由（1）知，，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，所以的值为1，2，3.
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）首先令n=1求出a1的值，当时，根据可得，
两式作差可，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出，进而求出的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
22．【答案】（1）解：，又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述；极大值为，极小值为.
（2）解：，
令，则；
（ⅰ）当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ⅱ）当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；，
，
即当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)求导后，利用f'(2)=0可求得a的值，进而得到f(x)，f'(x)，由导函数正负可确定f(x)单调性，由极值定义可求得结果；
(2)当和a<-2时，由导数可知f(x)在上单调递增，知f(x)≥f(1)=0，满足题意；当a>2时，可知f(x)在上单调递减，可知f(x)（3）由（2）可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前n项和，由此可得结论.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高三上·香坊期中）复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以 复数的虚部是 .
故答案为：C.
【分析】利用复数除法法则计算，再结合复数的定义即可求解.
2．（2023高三上·香坊期中）若 a∈R ，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意，若复数z=a2-4+(a+2)i为纯虚数，
则满足，解得a=2，
所以“a=2”是复数“z=-4+(a+2)i”为纯虚数的充要条件.
故答案为：C.
【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．（2023高三上·香坊期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以，，
所以 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】 求对数函数的定义域得出集合A，解不等式求出集合B，根据补集和交集的运算求解即可.
4．（2023高三上·香坊期中）若，，，则实数，，之间有大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为 ，所以，
又，即，
所以.
故答案为：B
【分析】判断三个数a，b，c与0，1的大小，即可得到结果.
5．（2023高三上·香坊期中）已知等差数列的前项和为，公差为2，且、、成等比数列，则（ ）
A． B．5 C． D．20
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：因为 、、成等比数列，
所以，得，解得，
所以.
故答案为： C .
【分析】直接根据 、、成等比数列 ，可得，求出，再利用等差数列的前n项和即可求解.
6．（2023高三上·香坊期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】解：因为 ，所以，两边平方得，
即，即，所以.
故答案为： .
【分析】首先利用诱导公式将 ，化简得，再两边平方结合二倍角公式即可求解.
7．（2023高三上·香坊期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，所以，所以 ，
又因为B、P、D三点共线，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，再根据三点共线即可得出结论.
8．（2023高三上·香坊期中）设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：解：由题意，设等比数列的公比为q，
由 ，可得，
因为，
所以，
解得，或，
所以，
当时，，
当q=2时，，
所以或
故答案为：D.
【分析】先设等比数列 的公比为q，根据已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，进而可求得 的值.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高三上·香坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数在上为减函数，则的值为1
C．图象关于点成中心对称
D．若，则的最大值是
【答案】B,D
【知识点】命题的否定；幂函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，命题“，"的否定是“ ， ”，A错误；
对于B，因为 是幂函数，
所以，解得m=1或m=2，
又因为y=f(x)在上为减函数，所以，，综上所述，m=1，B正确；
对于C，f，
所以f(x)的图象是由的图象向左平移2个单位，再关于y轴对称后向上平移1个单位，
所以y=f(x)的对称中心为(-2，1)，C错误；
对于D，因为，
当且仅当，即x=2时，等号成立，
D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A， 由全称命题的否定为特称命题即可判断；
对于B，由幂函数的性质求解即可；
对于C，由题意可得，再由图象的平移变换即可判断；
对于D，由利用基本不等式即可判断.
10．（2023高三上·香坊期中）下列说法正确的是（ ）
A．若为第一象限角，则为第一或第三象限角
B．函数是偶函数，则的一个可能值为
C．是函数的一条对称轴
D．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；余弦函数的性质；象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解： 对于A：若α为第一象限角，则，k∈ Z，
则：，k∈Z，所以为第一或第三象限角，A正确；
对于B：函数是偶函数，若φ的一个可能值为，
当时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，函数为奇函数，B错误；
对于C：，所以是函数 的一条对称轴，C正确；
对于D：扇形圆心角为，半径为1 cm，则该扇形的弧长为 cm，D错误．
故答案为：AC.
【分析】直接利用象限角，弧长公式，正弦型函数的性质，余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
11．（2023高三上·香坊期中）已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数 D．函数有6个零点
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数f(x)对，都有f(x+2)=-f(x)
且函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，
当时，，
对都有f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期函数，周期为4，
函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得函数f(x)的图象，
又函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是R上的奇函数，
当时，，即函数f(x)在(0，1]上递增，在[-1，0)上单调递增，
因为，f(x)在[-1，1]上单调递增，
由f(x+2)=-f(x)得：f(x+2)=f(-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=1对称，函数f(x)在[1，2]上递减，
对于A，f(2022)=f(5054+2)=f(2)=-f(0)=0，A正确；
对于B，因为函数f(x)在[-1，1]上单调递增，函数f(x)的周期为4，
所以f(x)在(3，5)上单调递增，B正确；
对于C，因为f(-1)=-f(1)=-1，f(-1)≠f(1)函数f(x)不是R上的偶函数，C错误；
对于D，函数y=f(x)-|lgx|的零点，即函数y=f(x)与y=llgxl图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=llgx|的部分图象，如图，
因为函数y=f(x)的最大值为1，而当x>10时，lgx>1，
所以函数y=f(x)与y=llgx|图象的交点在(0，10) 内，
观察图象知，函数y=f(x)与y=llgx|图象在(0，10)内只有6个交点，
所以函数y=f(x)-|x|有6个零点，D正确.
故答案为：AD.
【分析】 根据给定条件，分析函数的性质，结合指定区间上的解析式，逐项分析计算、判断作答.
12．（2020高一下·东莞期末）已知点O为 所在平面内一点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线 必过 边的中点
C．
D．若 ，且 ，则
【答案】A,C,D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的线性运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，点O为 所在平面内一点，且 ，
可得 ，即 ，
即 ，所以 ，所以A是正确的；
在 中，设 为 的中点，
由 ，可得 ，
所以 ，所以直线 不过 边的中点，所以B不正确；
由 ，可得 且 ，
所以 ，所以 ，可得 ，所以
所以 ，所以C符合题意；
由 ，可得
因为 ，且 ，
可得 ，
所以 ，所以D是正确的.
故答案为：ACD.
【分析】 运用向量的加法计算公式可得正确，设BC中点为G，只需证明向量OG与向量OA是否共线，就可确定B选项是否正确，如图延长OB到D，使得BD=OB，延长OC到E，使得CE=2OC，即可分析出S：S的值，分别以OA，OC为边做平行四边形OAHC，以OB，OC为边做平行四边形OBMC，结合三角形的结合计算关系，在△AOH中，利用余弦定理可解出|OA|.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高三上·香坊期中）如图，点，，，均在正方形网格的格点上.若（，），则 .
【答案】
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：根据题意，结合向量加法的平行四边形法则分解向量，如图
所以，
所以，
所以 .
故答案为：.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分解即可得答案.
14．（2023高三上·香坊期中）已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：记，则，g'(x)=[f(x)+(x)]，
因为f(x)+f'(x)>0，所以g'(x)>0，g(x)在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】构造函数，利用已知判断其单调性，结合求解可得.
15．（2023高三上·香坊期中）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 .
【答案】2024
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：，其中是等差数列，
则(常数)，故，
所以数列为等比数列，
则.
故答案为：2024.
【分析】 根据已知条件， 结合等差数列、等比数列的性质，即可求解.
16．（2023高三上·香坊期中）在锐角中角、、的对边分别为、、，记，，若，则 .
【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以，
又因为，
所以，即.
所以.
故答案为：4.
【分析】根据余弦定理和数量积的坐标表示可得，然后对目标式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边可得.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高三上·香坊期中）已知函数.
（1）求函数的单调减区间以及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）解：，
由，解得，减区间为，
又，所以，
由正弦函数性质知.，.
（2）解：由题意，而，所以，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得单调区间和最值；
(2)由(1)得，确定的范围，求出，再由两角差的余弦公式计算.
18．（2023高三上·香坊期中）如图，在长方体中，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，，平面，因此平面.
（2）解：如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，则，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据线面垂直的性质及判断定理，即可证明平面；
(2)建立空间直角坐标系，求出坐标，写出向量，求得平面的法向量，求得法向量的夹角，即平面与平面夹角的余弦值 .
19．（2023高三上·香坊期中）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由题意，，在等差数列中，设公差为，
由，得，则，
又，，成等比数列，7，，成等比数列，
得，即，得，
，，数列的通项公式为：.
（2）解：由题意及（1）得，，在数列中，，
在数列中，，，
，，
两式相减得.
.
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】 (1)设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差d，即可得到数列的通项公式；
(2)表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
20．（2023高三上·香坊期中）在中，，.
（1）求；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，由于，所以，
故，
化简得，由于，所以，
由于为三角形的内角，所以.
（2）解：由正弦定理可得，所以，，
故，其中，
故当时，取最大值1，故的最大值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将边化成角，再结合正弦的和角公式即可求解；
（2）由正弦定理得，进而可得，，再将化为，利用，消去C，再利用辅助角公式即可求解.
21．（2023高三上·香坊期中）已知数列的前项和为满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即，
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）解：由（1）知，，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，所以的值为1，2，3.
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）首先令n=1求出a1的值，当时，根据可得，
两式作差可，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出，进而求出的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
22．（2023高三上·香坊期中）已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）解：，又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述；极大值为，极小值为.
（2）解：，
令，则；
（ⅰ）当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ⅱ）当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；，
，
即当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)求导后，利用f'(2)=0可求得a的值，进而得到f(x)，f'(x)，由导函数正负可确定f(x)单调性，由极值定义可求得结果；
(2)当和a<-2时，由导数可知f(x)在上单调递增，知f(x)≥f(1)=0，满足题意；当a>2时，可知f(x)在上单调递减，可知f(x)（3）由（2）可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前n项和，由此可得结论.
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