第九章 中心对称图形—平行四边形 综合测试卷（B）
一、精选择题(每题3分，共24分)
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ( )
2．对角线互相垂直平分的四边形是 ( )
A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形
3．用两块边长为的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( )
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．用两个全等但不是等腰的直角三角形，一定能拼成的是 ( )
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①②③④⑤
5．如图，已知矩形纸片ABCD，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG﹥60 ，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在边长为2的正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC．以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为 ( )
A． B． C． D．
7．如图，OA⊥OB，等腰Rt△CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45 ．将△CDE绕点C逆
时针旋转75 ，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为 ( )
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD的面积为20 c ( http: / / www.21cnjy.com )m2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO，为邻边作平行四边形AO1C2B．．．；依此类推，则平行四边形AO4 C5B的面积为 ( )
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
二、填空题(每题2分，共20分)
9．如图，平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接E、F、G、H、E，则四边形EFGH
是 ．
10．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线L上滑动．要使四边形CBFE为菱
形，还需添加的一个条件是 ．(填一个即可)
11．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若
EF=3，AE=5，则AD ．
12．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8 cm，BD=6 cm，DH⊥AB于点H，则DH
=
14．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定
是 ．
15．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90 ,若AB=5，BC=8，则
EF的长为 ．
16．如图，菱形ABCD中，∠B=60 ，AB= 4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长
为 ．
17．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于轴对称，CE交轴于点H．若E点的坐标是(7，一3)，则D点的坐标是 ．
18．如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90
到△CBE’的位置．若AE=I，BE=2，CE=3，则么BE’C= ．
三、解答题(共56分)
19．(本题8分)如图，在□ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．求证：．EN=FM
20．(本题7分)已知：如图，△ABC中，∠C=90 ，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
21．(本题8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，∠B=90 ，AG∥CD交BC
于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
22．(本题9分)如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )在菱形ABCD中，∠B=72 ，请设计三种不同的方法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形．(要求画出分割线段，标出所得的三角形内角的度数．两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法)
23．(本题12分)如图，在口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
(1)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
(2)证明：当旋转角为90 时，四边形ABEF是平行四边形；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗 如果不能，请说明理由；如果能，求
出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．
24．(本题12分)已知，矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图2，动点 ( http: / / www.21cnjy.com )P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5 cm，点 ( http: / / www.21cnjy.com )Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为、 (单位：cm，≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶 点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．
参考答案
一、1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B
二、9．平行四边形 10．BE⊥CF(答案 ( http: / / www.21cnjy.com )不唯一) 11．7 12．45。 13．4.8 14．对角线互相垂直的四边形 15．1.5 16．16 17．(5，0) 18．135。
三、19．证明：∵在平行四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD．AD∥BC，又∵EF∥BD，∴四边形BNED和四边形FBDM为平行四边形，∴FM=BD。EN=BD。∴EN=FM．
20．∵ DE⊥BC． ( http: / / www.21cnjy.com )DF ⊥AC ∴∠CFD=∠CED=90。，又∵∠ACB=90。，∴四边形CFDE是矩形．又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF=DE，∴矩形CFDE是正方形．
21．(1)证明：∵AD∥BC，AG∥CD，∴四边形AGCD为平行四边形，∴AG=CD，又∵点E、F分别为AG、CD的中点，∵EG=AG=Dc=DF，∴四边形DEGF是平行四边形．
(2)连接DG，∵G为BC中点，∴BG=CG，由(1)得：AD=CG，∴AD=BG，又∵AD∥BC，∴四边形ABGD为平行四边形，∴AB∥DC，又∠B=90。，∴∠DGC=∠B=90。，∴GF=CD=DF，∴平行四边形DEGF为菱形．
22．方法多样，提供几例仅供参考
23．解：(1)在□ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2．在△AOF和△COEE中，∠1=
∠2，OA=OC，∠3=∠4，．∴△AOF≌
△COE(ASA)，∴AF=CE
(2)由题意，∠AOF=90。(如图1)，
( http: / / www.21cnjy.com )
又∵AB⊥AC，∴∠BAO=90 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，∠AOF=90 ，∴∠BAO=∠AOF壬，∴BA∥EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE．
∵BA∥EF，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
(3)当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形
(如图2)．
∵AF=CE，AD∥BC，AD=BC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )FD∥BE；DF—BE，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EF⊥BD，∴口BEDF是菱形．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90 ，∴BC2=AB2+AC2．
∵AB=1,BC=,∴AC==2
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴OA=AC=×2=1
∵在△AOB中，AB=AO=1, ∠BAO=90
∴∠1=45
∵EF⊥BD, ∴∠BOF=90
∴∠2=∠BOD-∠1=90 -45 =45 ，即旋转角为45
24．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCD，又∵EF垂直平分
AC．∴AO=CO，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥ AC，∴平行四边形AFCE为菱形．∴AF
=CF．设AF=，则CF=，BF=BC-CF=8-，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，42+(8--)2=2，=5．∴AF=5．
(2)①情况一：当P在AF上，Q在CD上时，四边形APCQ显然不可能是平行四边
形．情况二：当P在BF上，Q在ED上时，则当BP=DQ时，四边形APCQ为平行四
边形，即8--5=4t一4， t=．情况三：当P在AB上，Q在ED上时，显然四边形
APCQ不可能为平行四边形；情况四：当P在AB上，Q在EC上时，四边形APCQ显
然不可能为平行四边形．∴当t=时，四边形APCQ为平行四边形．
②a+b=12．第九章 中心对称图形—平行四边形 综合测试卷（A）
一、选择题(每题3分，共24分)
1．观察下列标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( )
2．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．如果菱形的边长是，一个内角是60 ，那么菱形较短的对角线长等于 ( )
A． B． C． D．
4．如图，将其中一个角为60 的直角三角形纸片沿一中位线剪开，不能拼成的四边形是( )
A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
5．平行四边形一边的长是10 cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是 ( )
A．4 cm，6 cm B．6 cm，8 cm C．8 cm，12 cm D．20 cm，30 cm
6．边长为10 cm的正方形ABCD绕对角线的交点O旋转到得到正方形OA’B’C’，如图，
则阴影部分面积为 ( )
A．100 cm2 B．75 cm2 C．50 cm2 D．25 cm2
7．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为 ( )
A．9 B．18 C．36 D．48
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm，点P在AD
边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边
上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两
个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，
在这段时间内，线段PQ有多少次平行于AB
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每空2分，共20分)
9．已知菱形ABCD，两条对角线AC=6 cm，DB=8 cm，则菱形的周长是 cm，面
积是 cm2．
10．矩形的两条对角线的夹角为60 ，一条对角线与较短边的和为15，则较长边的长为
．
11．如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB
12．一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为 m2．
13．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O．下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AOOE；④S△AOE=S四边形DEOF，其中正确的
是 (填序号)．
14．如图，矩形ABCD中，E 是 BC中点，矩形ABCD的周长是20 cm，AE=5 cm，则AB
的长为 cm．
15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则
四边形ABOM的周长为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形
A1B1C1D1，由顺次连接正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1。四边的中点得到第二个正方形A2B2 C2 D2……以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ．
17．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=3，边CD在直线L上，将矩形ABCD沿直线L作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A，位置时，则点A经过的路线长为 ·
三、解答题(共56分)
18．(本题8分)如图AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试判断AEDF是何图形，并说明理由．
19．(本题8分)已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
(1)求证：△BCG≌DCE；
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE’，判断四边形E’BGD是什么特殊四边形 并说明理由．
20．(本题7分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别为E、F．
求证：四边形EBFM是正方形．
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21．(本题10分)如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕
点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E
在BC同侧，连接EF、CF．
(1)如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．
(2)如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．
22．(本题12分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点．BE交
AC于点F，连接DF．
(1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．
23．(本题共11分)如图，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度／秒的速度沿轴向
正方向运动，以0、A为顶点作菱形0ABC，使点B、C在第一象限内，且∠AOC=60°；
点P的坐标为(0，3)，设点A运动了秒，求：
(1)点C的坐标(用含的代数式表示)；(2分)
(2)点A在运动过程中，当为何值时，使得△OCP为等腰三角形．(9分)
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参考答案
一、1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．D
二、9．20 24 10．5 11．10 12．6 900 13．①②④ 14．4 15．20 16． 17．67π
三、18．四边形AEDF为菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥ ( http: / / www.21cnjy.com )AB，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵AD平分 ∠BAC，∴∠1=∠2，∵ DE∥AC，∴∠2 =∠EDA，∴∠1=∠EDA，∴AE=ED，∴平行四边形AEDF为菱形．
19．(1)证明：∵在正方形ABCD中，BC=DC，∠BOG=∠DCE=90 ，又∵ CE=CG，∴△BCG≌△DCE(SAS)．
(2)由(1)得：BG=DE，∵由旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )得：△DAE'≌△DCE，∴D E'∥=DE。AE’=CE，∴DE’=BG，AE’=CG，由∵正方形ABCD中，AB=CD，∴B E’=DG，∴四边形E’BGD是平行四边形．
20．∵在矩形ABCD中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=90 ，又∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB=∠MFB=90 ，四边形EBFM为矩形．又∵BM平分∠ABC，ME⊥AB，MF⊥BC，∴ME=MF，∴矩形EBFM为正方形．
21．(1)证明：∵在正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90 ，又∵BF=BP， ∴△BCF≌△BAP(SAS)，∴CF=AP。∠BFC=∠BPA．又由旋转得：∠EPA=90 ，PA=PE，∴PE=CF．∵∠BFC+∠BCF=90 ∴∠BPA+∠BCF=90 ， ∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180 ，∴PE∥CF．∴四边形PCFE为平行四边形．
(2)四边形PCEF是平行四边形．
证明：同(1)得：△BCF≌△BAP，∴∠B ( http: / / www.21cnjy.com )CF=∠BAP，AP=CF．由旋转得：AP=PE，∠EPA=90 ，∴PE=CF．∴／BPE+∠BPA=90 ，∵在△ABP中，∠ABP=90 ∴∠BAP+∠BPA=90 ，∠BPE=∠BAP，：∴∠BPE=∠BCF，∴PE∥CF，∴四边形PCFE为平行四边形．
22．(1)证明：在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△QABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC=∠DAC，∠BFA=∠DFA，∵∠CFE=∠BFA，∴∠AFD=∠CFE
(2)∵AB∥CD，∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC=DA，∴AB=AD=DC=CB，∴四边形ABCD是菱形．
(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )D．证明：∵菱形ABCD中，∠BCA=∠DCA，又BC=DC，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∠CBF+∠BCD=90 ，∠EFD+∠CDF=90 ，∴∠EFD=∠BCD．
23．(1)C( (t+1)， (t+1))．
(2)∵P(0，3)，∴OP=3．△OCP为等腰三角形：①若OP=OC，则OC=3，即t +1=3，
t =2；②若PC=OC，则作CE⊥y轴，OE=OP=,即 +1=，t=-1；③若P0=PC，则作PF⊥OC，则PF=OP=，OF= ,OC=3,即t+1=3,t=3-1,∴t=2或-1或3-1