2023-2024学年度茂名市七校联盟高一联考数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A B D A A AD BC ABD ABD
二、填空题
3 , 2 2, 91 13 . 14. 3 15. 1610 16. 1, 2 10
8.解： a 1 3 b 1 3 2 a b a 1 3 b 1 3 （1 a） （1 b）
a 1 3 （a 1 3） 1 b （1 b）
设f (x) x3 x,则f (x)为奇函数，在R上单调递增,
所以f (a 1) f (1 b),故a 1 1 b, a b 2,
a2 b2 a b
2 22
由基本不等式可得 2.当且仅当a b时等号成立.
2 2
所以a2 b2的最小值为2.
9.答案AD
[解]选项A： c d , c d. a b, a c b d.A正确。
B a b 0, ab 0, 1 0, a 1 b 1 1 1选项 ： 0, 0,
ab ab ab b a
1 1
（ ）2 ( )2 , 1 1即 2 2 .B错误。b a a b
选项C：若 1 a 5,2 b 3,则 3 b 2,则 4 a b 3.C错误。
选项D： c d 0, c d 0,又 a b 0, a c b d 0,
1 1
0,又 e 0, e e .D正确。
a c b d a c b d
故选：AD.
10.答案BC.
a 2 2
当0 a 1时，函数y a x 单调递减， a2 1 解得a
2
2 2
2 1
当a 1时，函数y a x a 单调递增， 2,解得a 2
2 a 2
故选BC.
答案第 1 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
11.[答案]ABD
[解]若（a,b）(a 0,a 1)为函数y log2 x图像上一点，所以log2 a b,a 2
b ,
A. 4b a （22）b a (2b )2 a a2 a 1 (a )2 1 1 ,故A正确。
2 4 4
B.log 1 a
1 1 1 1
b log 2 3 a b log 2 a b 0
8 3 3 3 3
a是函数y log x 11 b的零点.故B正确。
8 3
C.若0 a 1,则b 0, f (x)关于直线x 1对称且在（1， ）单调递减,
1 2a 2,2 b 2, f (b) f (2 b) f (2a ).故C错误。
D.当0 a 1时，显然不成立，当a 1时，要使在区间(1,2)上，
f1 ( x ) ( x 1)
2的图像在 f 2 ( x ) log a x图像的下方，只需 f1 (2) f 2 (2),即
（2 1）2 log a 2,
loga 2 1,解得1 a 2, 1 2
b 2, 0 b 1.
故选 : ABD.
12[答案]ABD
[解]若f (x 2) a为偶函数，则f (x)关于直线x 2对称， 2, a 4.故A正确。
2
a a 0时， 0, x0 [0,m],使f (x0 ) 0,不符合题意；2
a 0时，f (x)在[0,m]单调递增， f (0) 0, f (m) m,即m2 am m,
解得m （0 舍去）或m a 1 1 0 m 1.故B正确。
对C，a 0时显然不符合题意
a 0时，函数y | f (x) |与直线y x 1有4个交点，由图可知，只需
方程 x2 ax x 1有两个不同解， （1 a）2 4 0,解得a 3或a 1(舍去)
当a 0时，由图可知，a 1且 x2 ax x 1有两个不同解，显然a不存在。
综上，当a 3时，方程 | f (x) | x 1有4个不同实数根。故C错误。
答案第 2 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
y
-1 a0 x
对D，方程f ( f (x)) ax3 a2x2可化为x(x3 3ax2 2a2x ax a2 ) 0
x 0或x3 3ax2 2a2x ax a2 0
令g(x) x3 3ax2 2a2x ax a2
g(x a) x3 (a2 a)x为奇函数，
g(x)的图像关于(a,0)对称，g(a) 0
g(x) 0的实数解为1个或3个，
当a 0时，g(x) x3只有唯一实数根x 0,则原方程只有一个实数根；
当a 0时，g(0) a2 0，g(x) 0有异于0的1个或3个实数根，
此时，原方程有2个实数根或4个实数根，故D正确。
故选ABD.
15【答案】1610
【解】设顾客选购物品的总金额为 x元,获得的折扣优惠金额为 y元,
则当 x (0,1000]时, y 0 ,
当 x (1000,1500] 时 , y (x 1000) 5% 0.05x 50 , 令 y 40 , 得 0.05x 50 40 , 解 得
x 1800 1500 ,所以应舍去;
当 x (1500, )时 , y 500 0.05 (x 1500) 0.1 25 0.1x 150 0.1x 125 ,令 y 40 ,所以
0.1x 125 40 ,解得 x 1650 ,符合题意,
所以他实际所付金额为 1650-40=1610元.
故答案为:1610.
91
16 【答案】 1,
10
2x 1, x 0【解】因为， f x
lg x, x 0
2 x 1,
1
x 0
2
1
所以有 f x 2 x 1, x 2 ，画出函数图象如下图所示：
lg x , x 1
lg x , 0 x 1
答案第 3 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
要想方程 f x a有四个不同的根，必有0 a 1，
1
此时有 x1 x2 1，且 f f 10 1，
10
1
所以 x3 1 x4 10，则有 lg x 3 lg x 4 lg x 3 lg x10 4
lg x3 lg x4 0 lg x3 x4
1
0 x3x4 1，即 x4 x ，3
x x x x 1 x 1所以 1 2 3 4 3 x ，3
令 g x x 1 1 1 x 1 ，对勾函数 g x 在 ,1 上单调递减，x 10 10
1 101
所以 g 1 1 g x g 101 ，即2 g x ，则2 x ，
10 10
3
x3 10
x x x x 1 x 1 91所以 1 2 3 4 3
x
1,
10
.
3
91
故答案为： 1, .
10
17解.（1）由题意，集合 A x 3 x 6 ， B x 4 x 8 ..................................1分
所以 A∩B={x|4A B {∣x3 x 8},.......................................................................................................3分
CR(A B) {x∣x 3或x 8}.................................................................................................4分
（2）∵C {x∣a x 2a 1}， B {x∣4 x 8}，C B，
当 C 时，则 a 2 a 1 ...........................................................................................5分
a 1 ............................................................................................................................6分
a 2a 1
当C 时，则 a 4 （3个全对给2分，不全对给1分）..............8分，
2a 1 8
答案第 4 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
4 a 9 ...................................................9分
2
a 9 的 取 值 范 围 为 ，1 4， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 0分 2
18.解： 1 法一 若函数 f (x)为奇函数，则 f x f x .……………………1分
f (x) 1 2a 2
x a , f ( x) 2a 1 a 2
x
x x 1 x x ,………………3分2 a 2 a 2 a 1 a 2
1 a 2 x 2 x a
所以
1 a 2 x
x ，…………………………………………………………4分2 a
解得a 1.又a 0,所以a 1.……………………………………………………5分
法二 若函数 f (x)为奇函数， x R, 1分
则f 0 0.………………………………… 2分
1 2a即 0 0,解得a 1，符合a 0.……………………… …………4分2 a
2 2 x 1 x
经检验，当 a 1时， f (x) 1 x x ，f ( x) 1
2 1 2
x x ,2 1 2 1 2 1 1 2
满足 f x f x ，
所以a 1.………………………………………………………………………………5分
2 由 1 知， f (x) 1 2 x ，函数 y f x 在R上为增函数 .……6分2 1
证明如下：
设 x1, x2 R且x1 x2 , 7分
f x f x 1 2 2 2 2
x1 2 x2
则 1 2 （ x ） (1 x ) x …………………9分2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x2 1
因为x1 x2 ,所以2
x1 2 x2 ,即2 x1 2 x2 0,且2 x1 1 0,2 x2 1 0,……………10分
所以 f x1 f x2 0,即f x1 f x2 ,……………………………………………11分
所以函数 y f x 在R上为增函数 .………………………………………………12分
19.[解（] 1）由题意，设 1 x 0,则0 x 1,……………………………………1分
f ( x) ln(x 1)…………………………………………………………………………2分
f (x)的图像关于y轴对称， f ( x) f (x)…………………………………………3分
f (x) f ( x) ln(x 1（) 1 x 0）…………………………………………………4分
ln( x 1),0 x 1
f (x)的解析式为f (x) …………………………………………5分
ln(x 1), 1 x 0
（2）解法1：由题意得函数g(x) f (x) k为偶函数，g(0) k 0,………………6分
答案第 5 页，共 9页
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且在（ 1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，g(m) g(n) 0
且m n, m n 0. ………………7分
em en 2 em en 2 em n 2 e0 2……………………………………………9分
当且仅当em en ,即m n时取等号。………………………………………………10分
又因为m n，所以em en 2.………………………………………………………12分
解法2：显然g(0) k 0………………………………………………………………6分
当x 0时，g(x) ln( x 1) k 0,解得x 1 e k
当x 0时，令g(x) ln(x 1) k 0,解得x 1 e k
函数g(x)的两个零点为1 e k和 1 e k ……………………………………8分
k k
em en e1 e e 1 e e1 e
k 1
2 e1 e
k 1
k k 2……………………9分
e1 e e1 e
当且仅当e1 e
k 1
k ,即k 0时取“ ”，……………………………………10分
e1 e
k 0, em en 2.………………………………………………………………12分
20.【解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢
选择③ y m ax n（ a 0且a 1）…………………………………………2分
m 8
14 ma n
20 ma2 n
3
代入表格中的前三个点可得： ，解得： a ………………5分
2
29 ma
3 n
n 2
3 x
y 8 2
2， x N .……………………………………………………6分
3 x
（2）由（1）可知： f x 8 * 2 2
， x N
8 3则 （ ）x 2 1002………………………………………………………………7分
2
3
（ ）x 125
2
答案第 6 页，共 9页
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x log 125 ln125 3ln5 3
ln 3 ln3 ln 2 ………………………………………………9分2
2
3 1.6094 …………………………………………11分
11.9
1.0986 0.6931
所以，预计平台建立 12年后会员数超过 1002千人。………………………………12分
21.解：(1)因为 g(x) 0在区间 3， 上恒成立，
即 x 3, , x 2 (m 1)x 3m 1 0恒成立.…………………………1分
2
3 x m x 2 x 1 0 m x x 1 .…………………………2分
x 3
2
x 3, x 3 0, x x 1 x 3
2 7 x 3 11
又 则 则 x 3 11 7
x 3 x 3 x 3
11
2 (x 3) 2 11 7.……………3分
x 3
11
当且仅当x 3 即x 3 11时等号成立.…………………………4分
x 3
故实数m的取值范围为：m 2 11 7.…………………………………5分
(2)当x2 2,4 时，f (x2 ) x2 1 1 , 3 .……………………………………6分
2
g(x) x 2 (m 1)x 3m 1 (x m 1 (m 1) )2 3m 1.…………………7分
2 4
m 1
①当 0,即m 1时，g(x1 )在 0,1 上单调递增 .2
故对任意x1 0,1 , g(x1 ) 3m 1 , 2m 1 1,3 ,
3m 1 1 …………………8分
2m 1 3,
2
解得 m 1 .
3
m 1
m 1
②当 1 ,即m 3时，g(x
2 1
)在 0,1 上单调递减 .
故对任意x1 0,1 , g(x1 ) 2m 1,3m 1 1,3 ,
2m 1 1 …………………9分
3m 1 3 ,不等式组无解 .
m 3
答案第 7 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
0 m 1 1③当 , 即1 m 2时，g(x1 )在 0,1 上先减后增 ,2 2
g x g m 1 1 min , g x1 max g 1 ,
2
2m 1 3 …………………10分
m -1 2 3m 1 1 ,不等式组无解 .
4
1 m 2
1 m 1
④当 1 ,即2 m 3时，g(x1 )在 0,1 上先减后增 ,2 2
g x1
m 1
min g , g x1 max g 0 ,
2
3m 1 3 …………………11分
m -1 2 3m 1 1 ,不等式组无解 .
4
2 m 3
2
综上，实数m的取值范围为： ,1 . ……………………………………12分 3
22 2解.（1）因为函数 h x x bx c是偶函数，故b 0．.........................................1分
而 h 2 4 c 3 2，可得 c 1，则 h x x 1，.........................................................2分
f x x
2 1 1
故 x ，
x x
易知 f x x 1 在 x 1,2 上单调递增，所以 f (x)min f 1 0, f (x)max f 2
3
，
x 2
故 f x 3 的值域为 0, ．....................................................................................................3分 2
2
（2） F x x 2 1 2a x 1 x 1 2
2a x 1 2,x 1 , 2 ，
x x x x
3
令m x
1
, x 1, 2 ，故m 0,
，...............................................................................4分x 2
则G m m 2 2am 2,m 0, 3 ，对称轴为m a . 2
2 3
①当 a 0时，G m m 2am 2在m 0, 上单调递增，故G(m)min G 0 2 ； 2
...........................................................................................5分
②当 a
3 3
0, 2 时，G m m 2am 2在m 0,a 上单调递减，在 a,
2 2
上单调递增，
答案第 8 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
2
故G(m)min G a 2 a ；........................................................................6分
3 3 3 17
③当 a 时，G m m2 2am 2 在m 0, 上单减，故G(m)2 2 min
G 3a ；
2 4
.......................................................................................................................................................7分
2,a 0
2
故函数 F x 的最小值 g a 2 a ,0 a 3 ........................................................8分
2
17
3a,a
3
4 2
3
3 2（ ）由（2）知当 a 1, 时， g a 2 a .
2
则 2a 2a tg a 2a 2a 2t ta2 0，即 ta2 2a 2t 2a，..............................9分
2 x 3
令 1 x tx 2x 2t , 2 x 2 ,x 1,
2
3
问题等价于两个函数 1 x 与 2 x 的图象在 x 1, 上有且只有一个交点，
2
............................................................................................................................................10分
由 t 0 2，函数 1 x tx 2x 2t的图象开口向下，对称轴为 x 1t 0，
1 x x
3 3
在
1,
上单调递减， 2 x 在 x 2 1, 2 上单调递增，
1 1 2 1
由图可知 3 3 .............................................11分
1 2
2
2
2 t 2
t 4 t t 4
3 2 2 t 8 2 12 4
故 t , 4 .......................................................................................................12分
答案第 9 页，共 9页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}2023-2024学年度茂名市七校联盟高一联考
数学试题
本试卷共 5页,22题。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第 I 卷
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U R,集合A x | 2 x 1 ,集合B 2, 1,0,1 ，则（CUA）∩ B =
A.{ 2，1} B.{ 1} C.{1} D.{ 2， 1,0}
2.命题“ x 0, x2 x 1 0”的否定是（ ）
A. x 0, x 2 x 1 0 B. x 0, x 2 x 1 0
C. x 0, x 2 x 1 0 D. x 0, x 2 x 1 0
3．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核
污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福
岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 3H 含量非常高，它可以进入生物体内，
还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知 3H 的质量M kg 随时间 t
0.008t
（年）的指数衰减规律是：M M 0 a （其中M0为 3H 的初始质量）．已知经过 125
年 3H 1 1的质量衰减为最初的 2 ，则当 3H 的质量衰减为最初的 时，所经过的时间为（ ）16
A.250 B.375 C.500 D.1000
4. 1已知条件 p : 2 x ,条件 q : x 2 5x 6 0，则 p是q的（ ）
2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
ln x5．函数 f x 的部分图象大致为（ ）
x
试卷第 1页，共 5 页
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A． B．
C． D．
1
3
6.已知a 2log 2,b log 6,c 1 3 2 ,则（ ）
2
A.a b c B.b c a C.c b a D.c a b
a,a b7.定义min a,b ,若f (x) min 2 x , 1 ，当f (a) 1 时，正实数a的取
b,a b x 4
值范围为（ ）
A. 0, 1 1
2
4, B. ,0 0, 4, 2
C. 0,
1 1
2, D. ,0 0, 2, 4 4
8.已知正实数a,b, 3满足 a 1 b 1 3 2 a b,则a2 b2的最小值为（ ）
A.2 B.1 C. 1 D.4
2
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选
项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得
0分。
9.下列命题中，正确的是（ ）
A.如果a b,c d ,那么a c b d;
B.如果a b 0, 1 1那么 2 ;a b2
C.若 1 a 5,2 b 3,则 3 a b 2;
D.如果a b 0,c d 0,e 0, e e那么 .
a c b d
试卷第 2页，共 5 页
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10.函数 y a x (a 0且a 1)当 2 x 2时,值域为 [ 1 ,2],则a的值可能是（ ）
2
A. 1 B. 2 C. 2 D.2
2 2
11.若（a,b）(a 0,a 1)为函数y log2 x图像上的一点，则下列选项正确的是（ ）
A.4b 1 a .
4
B .函数 y log 1 x
1
b的零点为 a .
8 3
C.若0 a 1, f (x) bx2 2bx a,则f (b) f (2a ).
D.当x (1,2)时，不等式 (x 1)2 log a x恒成立，则 b的取值范围是 (0,1].
12.已知函数f (x) x2 ax,则下列判断正确的是( )
A.若f (x 2)为偶函数，则 a 4.
B.若x [0,m]，f (x)的值域为 [0,m],则0 m 1.
C.若关于x的方程 | f (x) | x 1有4个不同的实数根，则a 1或a 3.
D. a R,关于x的方程f ( f (x)) ax3 a2x2不可能有3个不同的实数根。
第 II 卷
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分。
f x 3 2x 113．函数 的定义域为____________.
x 2
14．函数 f x 是定义在 R上的奇函数，并且当 x 0, 时， f x 2x，那么
f log 1 4 ____________．
9
15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过 1000 元，
则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过 1000 元，则超过 1000 元部分享受
一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过 500 元的部分 5%
超过 500 元的部分 10%
试卷第 3页，共 5 页
{#{QQABIYCEogiIABBAARhCAQ06CAIQkBAAAIoGhFAIsAABgRNABAA=}#}
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为 40 元，则他实际所付金额为____________元．
2x 1, x 0
16．已知 f x ，方程 f x a有四个不同的根 x , xlg x, x 0 1 2 , x3 , x4 ，且满足
x1 x2 x3 x4 ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围为_____________.
四、解答题:本题共 6小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17 10 A x 3 x 6 B x x2．（本小题满分 分）已知集合 ， 12x 32 0 .
（1）分别求 A B，CR(A B)；
（2）已知C x a x 2a 1 ，若C B，求实数 a的取值范围.
18（. 本小题满分12分）设a 0,函数f (x) 1 2a x 为奇函数.2 a
1 求a的值；
2 请判断函数y f (x)的单调性，并用定义证明.
19（. 本小题满分12分）已知定义在区间 ( 1,1)的函数 f (x)图像关于y轴对称，且当
x [0,1)时，f (x) ln( x 1).
(1)求函数 f (x)的解析式；
（2）若函数g(x) f (x) k (k 0)有两个不同的零点 m、n，证明不等式 em en 2.
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20.（本小题满分 12 分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一
个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，
也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前 3 年平台会员的个数如
下表所示（其中第 4 年为预估人数，仅供参考）：
建立平台第 x年 1 2 3 4
会员个数 y（千人） 14 20 29 43
(1) *依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台 x x N 年后平台
t
会员人数 y（千人），并求出你选择模型的解析式：① y b t 0 ，
x
② y d logr x s(d 0, r 1) ，③ y m a x n(m 0,a 1)
(2) 根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过 1002 千人？
参考数据： ln 2 0.6931 , ln3 1.0986, ln5 1.6094.
21（. 本小题满分12分）已知函数 f (x) x 1, g(x) x 2 (m 1)x 3m 1,
(1)若不等式 g(x) 0 在区间 3， 上恒成立，求实数 m的取值范围；
(2)若对任意的 x1 0 ,1 ，存在x2 2 , 4 ，使得g(x1) f (x2 ),求实数 m
的取值范围.
22．（本小题满分 12 分）已知函数 h x x2 bx c h x 是偶函数，且 h 2 3 ， f x ．
x
(1)当 x 1,2 时，求函数 f x 的值域；
(2)设 F x x 2 1 2a x 1 2 ,x 1,2 ，求函数 F x 的最小值 g a ；x x
(3)设 t 0，对于（2 a）中的 g a ，是否存在实数 t，使得关于 a的方程 2 2a tg a 0在
a 1,
3
时有且只有一个解？若存在，求出实数 t的取值范围；若不存在，请说明理由．
2
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