2
高一年级 12 月份阶段性测试 x 4ax，x 1
6. 若函数 f x （a 0且a 1）在 R 上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
loga x 2, x 1
数学试题
1 1 1 3 1 3
考试时间：120分钟 2023.12 A． ,1 B． ,1 C． ， D． ，
2 2
2 4 2 4
第 I卷（选择题）
7. 设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0, 单调递减，则（ ）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
3 2 2 3
合题目要求的。 1
1
2 3
A． f log3 f 2 f 2 B． f
3
log3 f 2 f 2
2
4 4
1．已知集合 A x y log2 (x 2) ， B x 2x 2 0 ，则 R A B （ ）
3 2 2 3 1 1
A．{0,1} B．[1,2) C．{1,2} D．[1,2] C． f 2
2
f
3
2 f log3 D． f 2
3 2
f 2 f log3
4 4
2． “ 是锐角”是“ 是第一象限角” 的（ ）
8. 记 x 为不超过 x的最大整数，如 2.7 2, 1.3 2，则函数 f (x) ln(x 1) x 的所有零点之
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
和为（ ）
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1 1
1 A．e B．e 2 C．e 1 D． 1
3. 若 是第二象限角，P x,1 为其终边上一点，且cos x，则 tan （ ） e e e
3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多个选项符合题目要求。全
2 2 2
A． B． C． D． 部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 2 2
4 4 8
4
9. 已知 0,π ， cos ，则下列结论正确的是（ ）
4．函数 f (x) ex 2x2，则它的部分图象大致是（ ） 5
A． 为第二象限角 B． 位于第一象限或第三象限
2
4 2 16
C． tan D．4sin cos 2cos
A． B． C． D． 3 5
10. 已知a 0，b 0，a 2b 2，则（ ）
5．17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数 1 2 5
A． 的最小值为 9 B．a2 b2 的最小值为
a b 5
的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在
1 a
C．ab的最大值为 D． 2 2b 的最小值为2 2
实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 lg2 0.3010,lg3 0.4771，设 N 410 59 ，则 N 所
2
11. 下列说法正确的是（ ）
在的区间为（ ）
9 10 10 A y x
1
10 ,10 10 ,1011 1011,1012 1012 ,1013 ．函数 是R 上的奇函数 B．若 f x 是定义在R 上的幂函数，则 f 0 f 1 1 A． B． C． D．
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2
C．函数 y 2 x ax 在 ,1 内单调递增，则a的取值范围是 2, 18．已知sin 、cos 是关于 x 的方程 x2 2 2ax a 0的两个根.
D．若函数 f (x) ln x2 a x 为奇函数，则a 1 （1）求实数a 的值；
12. 已知函数 f x 的定义域为 0, , f x f y f xy 1，当 x 1时， f x 1，则（ ） （2）若 ,0 ，求sin cos 的值.
2
A． f 1 1 B． f f 2 1
C． f x 是增函数 D．当0 x 1时， f x 1
第 II 卷（非选择题） 19．已知函数 f x 4x a 2x 1 4 .
三、填空题，本题共 4 题，每空 5 分，共 20 分。
（1）若a 4，求 f x 在 0,1 上的值域；
log 3 1 lg 2
13. lg 5 2 2 log2 ln1 .
16 2 （2）若关于 x的方程 f x 0 有解，求a的取值范围.
π
tan x 1, x 0
32
14. 函数 f x ，则 f f 3 x .
1
, x 0
2 20. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总
15. 函数 f (x) log 3 2x x2 的单调递减区间是 . 奖金额 y（单位：万元）是销售利润 x0.3 （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图
2x 2 1 , x 0
示；②销售利润 x 为 0 万元时，总奖金 y 为 0 万元；③销售利润 x 为 30 万元时，总奖金 y 为 3 万元．现
2
16. 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f x mf x 2 0 恰有 6 个不同的
log x , x 0 有以下三个函数模型供公司选择： 2
实数根，则 m 的取值范围是 .
四、解答题：共 6 题，17 题 10 分，18-22 各 12 分，总分 70 分。
17. 已知全集为R, M 2,2 , N x∣0 x 2 . x
A． y kx b(k 0) ；B． y k 1.5x b(k 0)；C． y k log2 2 n(k 0)．
15
（1）求M R N ；
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）若C x∣1 2a x a ，且C M C，求a的取值范围. （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于 9 万元，则至少应完成销售利润多少万元
②总奖金能否超过销售利润的五分之一
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ax b 1
21. 函数 f x 2 是定义在 2，2 上的奇函数，且 f 1 . 4 x 3
（1）判断 f x 在 2，2 上的单调性，并用定义证明；
（2）解关于 t的不等式 f t 1 f t 0 .
22．已知函数 f (x) log3 x .
（1）设函数 g(x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， g(x) f (x)，求函数 g(x)的解析式；
2
（2）已知集合 A= x 3 log3x 20log9x+3 0
①求集合 A；
x x
②当 x A时，函数h(x) f a f 的最小值为 2，求实数a的值．
3 9
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高一年级 12 月份阶段性测试 19．（1）a 4时， f x 4x 2 2x 4 2x 1 3
2
数学试题答案 令2x t ，则 y t 1 3 .-----------------------------------------------------------------------------2 分
一、单选题 2x 0,1 , 2x 1, 2 ，即 t 1, 2 ，而 y t 1 3的对称轴为 t 1，
1-5 D A B A B 6-8 D C B
2
所以函数 y t 1 3在 1,2 上单调递增，-------------------------------------------------------4 分
二、多选题
2
3 t 1 3 4，即 3 f x 4 . f x 在 0,19. AD 10. CD 11. BCD 12. ACD 上的值域为 3, 4 .-----------------6 分
三、填空题 a a（2） f x 4x 2x 4,令2x 2 m(m 0)，则 y m m 4
2 2
1 11
13. 14. 0 15. 1,1 16. m 或 3 m 2 2 a
2 3 f x 0 m
2
有解， m 4 0在 0, 上有解，----------------------------------------8 分
2
四、解答题
a2
Δ 16 0
17.（1）因为M [ 2,2]， N {x∣0 x 2}，所以 4R N {x∣x 0或 x 2}，-------------2 分 ，解得a 8， a 的取值范围为 8, .------------------------------------12 分
a 0
所以M R N {x∣ 2 x 0} .------------------------------------------------------------------5 分 2
20. （1）模型 A． y kx b(k 0) ，因为k 0，所以匀速增长，
（2）因为C M C，所以M C，-------------------------------------------------------------6 分
模型 B． y k 1.5x b(k 0)，因为k 0，先慢后快增长，
a 1 2a
所以 a 2 ，解得a 2， x
模型 C． y k log2 2 n(k 0)，因为k 0，先快后慢增长，
1 2a 2 15
所以模型 C 最符合题意.-------------------------------------------------------------------------------3 分
故 a的取值范围为 2, . ---------------------------------------------------------------------------10 分
（2）因为销售利润 x 为 0 万元时，总奖金 y 为 0 万元，所以k log2 2 n 0，即k n 0，
18.（1） sin 、cos 是方程 x2 2 2ax a 0 的两个实根
又因为销售利润 x 为 30 万元时，总奖金 y 为 3 万元，
1
①，sin cos a②， 8a2 sin cos 2 2a 4a 0，即a 0或 a ，--3 分
2 所以k log2 4 n 3，即2k n 3，
2
sin cos 1 2sin cos 1 2a 8a2 ，即8a2 2a 1 0，-------------------5 分
k n 0 k 3 x
由 解得 ，所以 y 3log2 2 3，-------------------------------------5 分
1 1 2k n 3 n 3 15
解得：a 或 .-----------------------------------------------------------------------------------------6 分
4 2
x
①如果总奖金不少于 9 万元，即 y 3log2 2 3 9，
1 15
（2） ,0 ， sin 0，cos 0，可得sin cos a 0，由（1）可得a ，
2 4 x x
即 log2 2 4，即 2 16，解得 x 210，
15 15
2 1 6
sin cos ， sin cos ， sin cos 1 2sin cos .-----12 分 所以至少应完成销售利润 210 万元.--------------------------------------------------------------8 分
2 4 2
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x x x x
②设3log2 2 3 ，即 log
因为函数 g(x)是定义在R 上的奇函数，
2 2 1，
15 5 15 15
x x 所以， g 0 0， g(x) g( x) log3( x)
因为 y log2 2 与 y 1有交点 0,1 ，
15 15
x x log3x,x>0
且 y log2 2 增长速度比 y 1慢，
15 15 所以， g x = 0,x=0 ---------------------------------------------------------------------3 分
x x log3 x ,x<0
所以当 x 0时， y log2 2 恒在 y 1的下方，
15 15
2 2
x x （2）解：①3 log3 x 20log x 3 0，即3 loglog 9 3
x 10log9 x 3 0
所以 2 2 1无解，
15 15
3log x 1 log x 3 0
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.------------------------------------------------------------------------12 分 所以， 3 3
ax b b 1
21. （1）解：由函数 f x 是定义在 2，2 2 上的奇函数，得 f 0 0，解得b 0， 所以， log x 3，解得 33 3 x 27 4 x 4 3
a x ax 3ax 所以， A 3,27 ----------------------------------------------------------------------------------6 分
经检验，b 0时， f x f x2 2 ，所以 f x 是 2，2 2 上的奇函数，满足
4 x 4 x 4 x
x x 2
②h(x) log3 log3 log3 x a log3 x 2 log3 x (a 2) loga 3 x 2a
a 1 x 3 9
题意，又 f 1 ，解得a 1，故 f x ，x 2，2 .--------------------------------------3 分
42 1 3 4 x2 1
由①可得 t log3 x ,3 3
函数 f x 在 2，2 上为增函数.证明如下：
2
a 2 (a 2)
2 1
h(x)
x x 4 x x 所以，函数 等价转化为m t t ，
t
,3 ， x2 x1 2 1 1 2 2 4 3
在 2，2 任取 x1，x2 且 x1 x ，则 f x2 f x1 0
2 ， 4 x2 4 x2 4 x2 4 x22 1 2 1
下面分三种情况讨论求解：
因为 x2 x1 0，4 x1x2 0，4 x
2
1 0，4 x
2
2 0，所以 f x2 f x1 0，即 f x2 f x1 ， a 2 1 4 1 1 5 5
当 ，即a ， (t) 在 ,3 上是增函数，所以，h(x)min (t)min a 2，解得
2 3 3 3 3 3 9
所以 f x 在 2，2 上为增函数.-----------------------------------------------------------------------------------8 分 13 4
a ，与a 矛盾，舍；
15 3
（3）解：因为 f x 为奇函数所以 f x f x ， a 2 1
当 3，即a 4时， (t) 在 ,3 上是减函数，所以h(x)min (t)min (3) 3 a 2 ，解得a=5，
2 3
不等式 f t 1 f t 0可化为 f t 1 f t ，即 f t 1 f t ， 满足题意；
1 a 2 4 (a 2)2
t 1 t 当 3，即 a 4时，h(x) (t) 2，解得a 2 2 2 或a 2 2 2（舍）
3 2 min min 1
3
4
又 f x 在 2，2 上是增函数，所以 2 t 1 2 ，解得 1 t .
2 综上：a的值为 或 5.---------------------------------------------------------------------12 分
2 t 2 2 2 2
1
所以关于 t的不等式解集为 1， .----------------------------------------------------------------------------12 分
2
22．（1）解：根据题意，当 x 0时， g(x) log3 x，
当 x 0时， x 0，则 g( x) log3( x)，----------------------------------------------------1 分
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