高二数学试卷参考答案
1.A因为A={xx>2},所以A∩B={3,4}.
2.D=名7-D2+D-15+5i-3+i
5
3.C因为点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，所以=3，则p=6.
4.B因为l1∥l2,所以-a2十a十2=0，解得a=一1或a=2.当a=一1时，l1与2重合，不符
合题意.当a=2时，1∥L2,符合题意.
5.A记3克的砝码为A1,A2,1克的砝码为C1,C2,2克的砝码为B,从中随机选取两个砝码，
样本空间2={(A1,A2),(A1,B),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B),(A2,C1),(A2,C2),(B,C1),
(B,C2),(C1,C2)},共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样
本点，故所求的概率为品
6,B由函数f)=Asin(ar十g)的图象可知A-2,子T=竖-骨-，则。=祭=2由
f)=2sin(2×+p）=2,解得9=-+2kx,
12
3
则fx)=2sim(2x-爱).故f经)=2sin(2x经-爱)=-1
7.CSs=36(a,+a）-18(a十a)=18(as十ap)>0,S7=37a,+a）=37a16<0,则a18
气
2
>0a19<0,从而当n=18时，S取得最大值，
8.B记E的右焦点为F:,MF的中点为P,连接MF,PF(图略)，因为MN=3NF,O为FF
的中点，所以ON/PF则MFLPF,从而M,=FE=2.又tan∠MFF,=冬，所以
Os∠MFF2=4,则MF=3c,MF-ME=3c-2c=c=2a,放E的离心率
为2.
9.ACD由41=2十m=3,得m=1,则a6=26十1=65.由am一a4-1=2”一2-1=2”-1>0，得该
数列为递增数列.
10,C由题可知，该班全体学生身高的平均值为×170十号×160=16，该班全体学生身高
的方差为[24+(170-16)]+号[19+(160-166)]=46.
1.BC由题可知.F(一2.0)，F(2,0),D的离心率为2，则C的离心率为7则a=4,6=
23,PF-PF=2FF,PF:+PF=2FFl.A不正确，B正确.根据对
【高二数学·参考答案第1页（共5页）】
·24-230B2·
PF+|PF2=8,,,IPF=5,
称性，不妨设P在第一象限，则
解得
则|PF|2=|PF22
|PF|-IPF2|=2,
PF2=3,
十|FF22,所以△PFF2为直角三角形.C正确.设|QF1|=x,则|QF2|=8一x,若QF1⊥
QF2,则|QF|2+QF2|2=|F1F2|2,即x2+(8-x)2=16,方程无解.D不正确.
12.ACD如图，以O为坐标原点，OM,OB所在直线分别为y轴、z轴，建
12
立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,一√3,0)，B(0,0,3),M(0,2√3，
11 BR
/10
0.N0,-25.0若秒针0C指向了钟上数字5则C29,号.0.0时
54
=1,-5.0).=(25,号-3).0i=(0.03).则0i.C=0,
OA·O=0,所以OA⊥BC.OA⊥OB,故OA是平面OBC的一个法向量.因为NA=(1,√3，
0),所以OA·NA=一2≠0，所以OA与VA不垂直，从而NA与平面OBC不平行.A正确，
B不正确若秒针0C指向了钟上数字4，则C号，3.0).立=(-1.35,0).B心=（号，
3y53,-3),c0sAi,BC=应.
2
12=4.由AC=(2,),0),得|AC1
AM1BC2√7X3√2
AC1=1
=√19.因为∠A0C=120°，所以△0AC外接圆的半径r=2sin∠A0C=
,则四面体
√3
OABC的外接球的半径R=√P+是，则R=,故四面体OABC的外接球的表面积为
4R=193C.D正确
13.2或-4因为m⊥n,所以2×（一4）十x(x十2)=0，解得x=2或-4.
14.-2ln3因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,f(1)=一f(一1)=-ln3,则
f(0)+2f(1)=-21n3.
15.4设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则10000×1.2">20000，即1.2">2.因为
1.23=1.728<2,1.2=2.0736>2,所以至少需要经过4年.
166V而设).则%-√多-号整理得+广=4，则P是圆C,+少
=4上一点，故2PD-PC=2(PD一PA|)≤2|AD=6√10，当且仅当A,D,P三
点共线，且A在DP之间时取得最大值.
17.解：(1)设{ar}的公比为q,由a4=ag十2a2,得g2-q-2=0,…2分
解得g=2或g=一1（舍去），…3分
因为a1=4,所以an=a1·g1=2m+1.…5分
(2)由(1)可知，b=log2an=log22+1=n十1，则6+1-b,=n十2-(n十1)=1.…7分
因为b1=2,所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列，…8分
【高二数学·参考答案第2页（共5页）】
·24-230B2·湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4.3.1。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x-2>0},B={1,2,3,4},则A∩B=
A.{3,4} B.{2,3,4} C.{4} D.{1,2}
2.复数z满足(2-i)z-7+i=0,则z=
A.—3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
3.已知A为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为9,到x轴的距离为6,则p=
A.3 B.4 C.6 D.8
4.若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:(a+2)x-ay-1=0平行，则a=
A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2
5.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为
A. B. c. D.
6.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,>0)的部分图象如图所示，则f()=
A.1 B.-1 C. D.-
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S36>0,S37<0,则当Sn取得最大值时，n=
A.37 B.36 C.18 D.19
8.已知F是双曲线E:0,b0)的左焦点,O为坐标原点,过点F且斜率为的
直线与E的右支交于点M,=3,MF⊥ON,则E的离心率为
A.3 B.2 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.甲同学通过数列3,5,9,17,33,…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an=2n+m,根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是
A.m=1 B.m=2
C.该数列为递增数列 D.a6=65
10.某班有男生30人；女生20人，其中男生身高(单位：厘米)的平均值为170,身高的方差为
24,女生身高的平均值为160,身高的方差为19,则
A.该班全体学生身高的平均值为165 B.该班全体学生身高的平均值为166
C.该班全体学生身高的方差为46 D.该班全体学生身高的方差为44
11.已知椭圆C:0,b0)与双曲线D:x2—=1有相同的焦点F1,F2,且它们的离心率互为倒数，P是C与D的一个公共点，则
A.|PF1|-|PF2|=|F1F2| B.|PF1|+|PF2|=2|F1F2|
C.△PF1F2为直角三角形 D.C上存在一点Q,使得QF1⊥QF2
12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角(其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9).设MN的中点为O,|MN|=4,已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8,长度为3的分针OB指向了钟上数字12,现在小王准备安装长度为3的秒针OC(安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细),则下列说法正确的是
A.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则OA⊥BC
B.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则NA//平面OBC
C.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,则BC与AM所成角的余弦值为
D.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,则四面体OABC的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量m=(2,x),n=(-4,x+2),若m⊥n,则x= .
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=1n(x2+2),则f(0)+2f(1)= .
15.某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前
一年的120%,则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过 年.
16.若A,B是平面内不同的两定点，动点P满足=k(k>0且k≠1),则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点A(1,0),C(4,0),D(4,9),动点P满足=,则2|PD|-|PC|的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在正项等比数列{an}中，a1=4,a4=a3+2a2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=log2an,证明{bn}是等差数列并求{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)
已知圆C1:x2+y2-4x-5=0与圆C2关于直线l:x-y+1=0对称.
(1)求C2的标准方程；
(2)记C1与C2的公共点为A,B,求四边形AC1BC2的面积.
19.(12分)
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c2,a2,3b2成等差数列.
sn合；
(1)若(a-c)cos B=b(cos A-cos C),求
(2)若c=1,当cosB取得最小值时，求△ABC的面积
20.(12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且8Sn=(an+2)2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD=2,△PAB与△PAD均为正三角形.
(1)证明：AD//平面PBC.
(2)证明：PB⊥平面PCD.
(3)设平面PAB∩平面PCD=l1,平面PAD∩平面PBC=l2,若直线l1与l2确定的平面为平面α,线段AC的中点为N,求点N到平面α的距离.
22.(12分)
已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为2，点M(4,3)在C上.
(1)求C的方程；
(2)F1,F2分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A,B,若直线PA,PB互相垂直，求△PF1F2周长的最大值.
