广东省湛江第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试
高二级数学文科试卷
考试时间：120分钟 满分150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则中元素的个数为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知向量a=(2,-1), b=(x-2,-2),若a∥b，则a-b等于（ ）
A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(2，1)
4．下列函数为偶函数的是( )
A. y=lnx B． C． D．
5.若满足约束条件,则的最小值为( )
A．5 B．6 C．7 D．9
6.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图,则“计划”受影响的主要因(　　)
A.4个　　　　 B.3个　　　　 C.2个　　　　 D7个
7、命题“” 的否定是( )
A. B.
C. . D.
8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两个品牌的彩电都齐全的概率是（ ）
9．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(4,4)为的中点，则抛物线C的方程为( )
A． B. C. D.
10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝78，则n＝( )．
A．20 B．19 C．10 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11、函数在点（1,1）处的切线方程为 .
12．执行如图的程序框图，则输出S的值为　 ．
13.满足方程x2－3x－4+(y2－6y+9)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是　 　
14．如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=8,MC=2，则CD=　 　．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15.(本小题满分12分)
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最小值.
16．.(本小题满分12分)
在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性400人，其中有30人患色盲，调查的600名女性中有20人患色盲．
(1)根据以上数据建立一个22列联表；
(2)有多大把握认为“性别与患色盲有关系”？
参考公式及数据：K2＝
附临界值参考表：
P(K2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17．（本小题满分14分）
已知在等差数列中，，，
（1）求的通项公式；
（ ）设数列的前项和为，证明：
18．（本小题满分14分）
如图，矩形中，平面，且，为的中点，且平面，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
19．（本小题满分14分）
在直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦点在y轴上，椭圆与x轴交点坐标为（-1，0），（1，0），直线l:与椭圆交于、两点。
（1）求出椭圆的方程；
（2）若=1，求的面积；
（3）是否存在直线l,使得，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由。
20.（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
高二级期中考试数学文科试卷答案
一选择体（每小题5分，共50分）
二．填空题（每小题5分，共20分）
11. ；　　　12．36　　　　　　13．2　　　　14．6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．解：（1）曲线的极坐标方程可化为
　　又……………………………………………………2分
　　所以曲线的直角坐标方程为…………………………………4分
（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 …………………………6分
　　令得,即点的坐标为(0,-3). ………………………………………8分
　　又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，
则 ，……………………………………………………11分
所以的最小值为………………………………………………………………12分
16． 解：(1)性别与色盲的22列联表建立如下：
患色盲 不患色盲 总计
男 30 370 400
女 20 580 600
总计 50 950 1 000
…… ………………………… ……………………………………5分
(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中22列联表中数据，可求得
………………………… ……………8分
又P(K2≥7.879)＝0.005，即H0成立的概率不超过0.005，…… …………………10分
故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率不超过0.005.所以有99.5%的把握认为“性别与患色盲有关系”…… ……………………………………………12分.
17．解：（1）因为数列为等差数列，所以即
所以d=3…… ………………………… ………………………… ……3分
故的通项公式为=3n+1…… ………………………… ……………………5分
（2）因为，…… ……………8分 所以
…… ……………………11分
（） …… ………………………… 14分
18．（１）证明：连结 ，矩形中，
∴ 为中点，又为的中点，
∴ . …… …………………………２分
∵ ， ∴平面.
………………………………3分
（２）证明：∵平面，∴.
又 ∵平面, ∴，…………………5分
∵,且∴ …………………6分
（3）解：取中点，连结，∵,∴
∵平面，∴
, ∴ ……………8分
∵平面,，∴，
又为的中点，∴，………………………………………10分
由（２）知，又，∴．
∴，∴ ………………………12分
∴，故三棱锥的体积为：
……………………………14分
19．解：（1），
由题知b=1,,即，又，所以。
故曲线C的方程为． ……………………………………4分
（2）设，由解得， ……6分
所以……………………………………8分
（3）设存在这样的实数k.再设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． ………………………………………10分
若，即．
而，
于是，
化简得，所以．………………………………………………12分
经检验都符合要求，所以存在这样的实数k，其值为……………………14分
20. 解：（1）当时，
……………………2分
…………………………………………4分
（2）因为，
所以 ，
令………………………………………6分
（Ⅰ）当a=0时，
所以当时g(x)>0,，此时，函数单调递减，
………………8分
（Ⅱ）当时，由，
解得：………………………………………………………10分
①若,函数f(x)在上单调递减，……………………………11分
②若，在单调递减，在上单调递增.
③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)时，g(x)>0,此时f,(x)<0函数f(x)单调递减；
x∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f,(x)<0单调递增。……………………12分
综上所述：当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;函数f(x)在 (1, +∞)上单调递增
当时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当时，函数f(x)在上单调递减；
函数 f(x)在上单调递增；…………………………………………14分